Đề cương học tập Toán 10 tập 1 - Lê Văn Đoàn

 + = =
1 2
x , x 3 3 2 2
1 2 1 2
x x 0, x x 3+ = + =
( ) ( )2x 2 m 2 x m m 3 0− − + − = ( )2 2x 2 m 1 x m 0+ − + =
( )2 2x 2 m 1 x m 2 0− + + − = ( ) ( )2m 2 x 2 m 1 x m 2 0+ − − + − =
( ) ( )2m 1 x 2 m 4 x m 1 0+ + + + + = 2x 4x m 1 0− + + =
1 2
x , x
1 2
x , x
( )2x m 1 x m 0+ − − = ( ) ( )2x 2 m 2 x m m 3 0− − + − =
( ) ( )2m 2 x 2 m 1 x m 2 0+ − − + − = ( )2 2x 2 m 1 x m 2 0− + + − =
2 2x x 6 12+ − = 2 2x x 11 31+ + =
 www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn 
"Cần cù bù thông minh" Page - 105 - 
c/ . d/ . 
e/ . f/ . 
g/ . h/ . 
Bài	556. Giải các phương trình sau 
a/ . b/ 
c/ . d/ . 
e/ . f/ . 
g/ . h/ . 
Bài	557. Giải các phương trình sau 
a/ . b/ . 
c/ . d/ . 
e/ . f/ . 
g/ . h/ . 
Bài	558. Giải các hệ phương trình sau 
a/ b/ 
c/ d/ 
e/ f/ 
Bài	559. Giải các hệ phương trình sau 
a/ b/ 
c/ d/ 
16x 17 8x 23+ = − ( )2x 2x 8 3 x 4− − = −
23x 9x 1 x 2 0− + + − = 251 2x x 1 x− − = −
( ) 2 2x 3 x 4 x 9− − = − x 3 1 3x 1+ + = −
4 3 10 3x x 2− − = − x 1 1 x x 8+ − = − +
x 5 x 3 2x 4− + + = + 3x 4 2x 1 x 3+ − − = +
2 2x 3x 3 x 3x 6 3− + + − + = x 2 2x 3 3x 5+ − − = −
3x 3 5 x 2x 4− − − = − 2 x 2 2 x 1 x 1 4+ + + − + =
x 2 x 1 x 2 x 1 2+ − − − − =
4 2 2x x 1 x x 1 2− − + + − =
x 3
x 2 x 1 x 2 x 1
2
+
+ − + − − = 2 2x x x x 13 7− − − + =
2 2x 2 x 3x 1 3x 4+ − + = + 2 22x 3 2x x 1 9 x+ + + = −
2 2x x 2x 4 2x 2− − + = − 2 22x 5 x 3x 5 23 6x+ + + = −
2 2
x xy y 1
x y y x 6
 + + = −

 + = −
2 2
4 2 2 4
x y 5
x x y y 13
 + =

 − + =
2 2
3 3
x y y x 30
x y 35
 + =

 + =
3 3
5 5 2 2
x y 1
x y x y
 + =

 + = +
2 2
4 4 2 2
x y xy 7
x y x y 21
 + + =

 + + = ( )
2 2
x y xy 11
x y 3 x y 28
 + + =

 + + + =
( )
( )2 2 2 2
1
x y 1 5
xy
1
x y 1 49
x y
     + + =    
    + + =   
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2 2
y x 1 2x y 1
1
x y 1 24
x y
 + = +    + + =    
2 2
2 2
1 1
x y 4
x y
1 1
x y 4
x y
 + + + =
 + + + =
( )
2 2
x y 2
3x 1 y 1
1
x y 1 6
xy
 + = + +
    + + =   
 www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số 
 Page - 106 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today" 
Chương 



 
A – BẤT ĐẲNG THỨC 
 Tính chất 
Điều kiện Nội dung 
Cộng hai vế với số bất kì 
a b a c b c< ⇔ + < + ( )1 
Nhân hai vế 
c 0>
 (một số dương) 
a b ac bc< ⇔ <
( )2a 
c 0<
 (một số âm) 
a b ac bc
( )2b 
Cộng vế theo vế các BĐT cùng chiều 
a b<
 và c d< a c b d⇔ + < + ( )3 
Nhân từng vế BĐT khi biết nó dương 
 a 0, c 0> > 
a b< và c d< ac bd⇔ < 
( )4 
Nâng lũy thừa với n +∈  
Mũ lẻ 2n 1 2n 1a b a b+ +< ⇔ < ( )5a 
Mũ chẵn 2n 2n0 a b a b< < ⇔ < ( )5b 
Lấy căn hai vế 
a 0>
 a b a b< ⇔ < ( )6a 
a bất kỳ 3 3a b a b< ⇔ < ( )6b 
Nghịch đảo 
Nếu a, b cùng dấu: ab 0> 1 1a b
a b
> ⇔ <
( )7a
Nếu a, b trái dấu: ab 0< 1 1a b
a b
> ⇔ > 
( )7b
Cộng hai vế BĐT cùng chiều 
a b
c d
 >

 >
a c b d+ > +
( )8a
Nhân hai vế BĐT cùng chiều 
khi biết chúng dương 
a b 0
c d 0
 > >

 > >
ac bd>
( )8b
  Lưu ý 
 Không và không có quy tắc chia hai vế bất đẳng thức cùng chiều. 
 Ta chỉ nhân hai vế bất đẳng thức khi biết chúng dương. 
 Cần nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ và cách biến đổi. 
BẤT	ĐẲNG	THỨC	VÀ	BẤT	PHƯƠNG	TRÌNH	4 
 www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn 
"Cần cù bù thông minh" Page - 107 - 
 Một số bất đẳng thức thông dụng 
a/ Số chính phương: 2a 0, a≥ ∀ ∈ 
 2 2a b 2ab+ ≥
. 
b/ Bất đẳng thức Cauchy ( ) Arithmetic Means Geometric Means− 
 Với x,y 0≥ thì ( )
( )
2 2
x y 2 xy 1
x y 2xy 2
 + ≥
 + ≥
. Dấu " "= xảy ra khi x y= . 
 Với x,y ∈ 
 thì ( )
( ) ( )
 4
2
2
x y
xy 3
2
x y 4xy
   +  ≤     
 + ≥
. Dấu " "= xảy ra khi x y= . 
 Với x,y,z 0≥ thì 
( )
( )
3
3
x y z 3. xyz 5
x y z
xyz 6
3
 + + ≥
  + +   ≤    
. Dấu " "= xảy ra khi x y z= = . 
 Mở rộng cho n số 
1 2 3 n
a ,a ,a ,...,a không âm ta có: n
1 2 n 1 2 n
a a ... a n. a .a ...a+ + + ≥ . 
Dấu " "= xảy ra khi 
1 2 3 n
a a a ... a= = = = . 
 Hệ quả 
+ Nếu x,y 0> có S x y= + không đổi thì P xy= lớn nhất x y⇔ = . 
+ Nếu x,y 0> có P xy= không đổi thì S x y= + nhỏ nhất x y⇔ = . 
c/ Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối 
Điều kiện Nội dung 
x ∈ 
 x 0, x x, x x≥ ≥ ≥− 
x 0> 
x a a x a≤ ⇔ − ≤ ≤ 
x a
x a
x a
 ≤ −≥ ⇔  ≥
a,b ∈ 
 a b a b a b− ≤ + ≥ + 
d/ Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác 
Với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, ta có 
● a,b, c 0> . ● a b c a b− < < + . 
● b c a b c− < < + . ● c a b c a− < < + . 
e/ Bất đẳng thức Bunhiacôpxki ( )B.C.S . 
 Với x,y bất kỳ, ta luôn có: 
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )
2
2 2 2 2
2 2 2 2
a.x b.y a b x y 7
a.x b.y a b x y 8
 + ≤ + +

 + ≤ + +
 www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số 
 Page - 108 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today" 



 
BÀI TẬP ÁP DỤNG 
Bài	605. Cho a,b, c,d, e ∈ 
 . Chứng minh các bất đẳng thức sau 
a/ 2 2 2a b c ab bc ca+ + ≥ + + . b/ 2 2a b 1 ab a b+ + ≥ + + . 
c/ ( )2 2 2a b c 3 2 a b c+ + + ≥ + + . d/ ( )2 2 2a b c 2 ab bc ca+ + ≥ + − . 
e/ ( )4 4 2 2a b c 1 2a ab a c 1+ + + ≥ − + + . f/ 
2
2 2a b c ab ac 2bc
4
+ + ≥ − + . 
Dấu " "= xảy ra khi a b x yhay
x y a b
= = . 
 Với x,y,z bất kỳ, ta luôn có: 
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a.x b.y c.z a b c x y z 9
a.x b.y c.z a b c x y z 10
 + + ≤ + + + +

 + + ≤ + + + +
Dấu " "= xảy ra khi = a b c x y zhay
x y z a b c
= = = . 
f/ Bất đẳng thức cộng mẫu số 
Bất đẳng thức cộng mẫu số (BĐT Cauchy Schwarz) là hệ quả trực tiếp của bất đẳng thức BCS. 
 Với a,b ∈ 
 và x,y 0> , ta luôn có: 
( )
( ) 
2
2 2 a ba b
11
x y x y
+
+ ≥
+
. 
 Với a,b,c ∈ 
 và x,y,z 0> , ta luôn có: 
( )
( ) 
2
2 2 2 a b ca b c
12
x y z x y z
+ +
+ + ≥
+ +
. 
Dấu " "= xảy ra khi và chỉ khi a b c
x y z
= = . 
Dạng toán 1. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất 
 Để chứng minh một BĐT ta có thể sử dụng các cách sau 
 Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một BĐT đã biết. 
 Sử dụng một BĐT đã biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh. 
 Một số BĐT thường dùng 
● 2A 0≥ . ● 2 2A B 0+ ≥ . ● A.B 0≥ với A,B 0≥ ● 2 2A B 2AB+ ≥ . 
 Lưu ý 
 Trong quá trình biến đổi, ta thường chú ý đến các hằng đẳng thức. 
 Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy ra. 
Khi đó ta có thể tìm GTLN, GTNN của biểu thức. 
 www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn 
"Cần cù bù thông minh" Page - 109 - 
g/ ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2a 1 b b 1 c c 1 a 6abc+ + + + + ≥ . h/ ( )2 2 2 2 2a b c d e a b c d e+ + + + ≥ + + + . 
i/ ( )
1 1 1 1 1 1
, a,b,c 0
a b c ab bc ca
+ + ≥ + + > . j/ ( )a b c ab bc ca, a,b,c 0+ + ≥ + + ≥ . 
Bài	606. Cho a,b, c ∈ 
 . Chứng minh các bất đẳng thức sau 
a/ ( )
3
3 3a b a b
, a,b 0
2 2
 + +  ≥ ≥   
. b/ 4 4 3 3a b a b ab+ ≥ + . 
c/ 4a 3 4a+ ≥ . d/ ( )3 3 3a b c 3abc, a,b, c 0+ + ≥ ≥ . 
e/ ( )
6 6
4 4
2 2
a b
a b , a,b 0
b a
+ ≤ + ≠ . f/ ( )2 2
1 1 2
, ab 1
1 ab1 a 1 b
+ ≥ >
++ +
. 
g/ 
2
2
a 3
2
a 2
+
>
+
. h/ ( )( ) ( )( ) ( )5 5 4 4 2 2a b a b a b a b , ab 0+ + ≥ + + > . 
Bài	607. Cho a,b, c,d, e ∈ 
 . Chứng minh rằng ( ) 2 2a b 2ab 1+ ≥ . Áp dụng bất đẳng thức ( )1 để 
chứng minh các bất đẳng thức sau 
a/ ( )( )( )2 2 2a 1 b 1 c 1 8abc+ + + ≥ . 
b/ ( )( )( )( )2 2 2 2a 4 b 4 c 4 d 4 256abcd+ + + + ≥ . 
c/ 4 4 4 4a b c d 4abcd+ + + ≥ . 
Bài	608. Cho a,b, c ∈ 
 . Chứng minh bất đẳng thức: ( ) 2 2 2a b c ab bc ca 2+ + ≥ + + . Áp dụng 
bất đẳng thức ( )2 để chứng minh các bất đẳng thức sau 
a/ ( ) ( )
2
2 2 2a b c 3 a b c+ + ≤ + + . b/ 
2
2 2 2a b c a b c
3 3
 + + + +  ≥   
. 
c/ ( ) ( )
2
a b c 3 ab bc ca+ + ≥ + + . d/ ( )4 4 4a b c abc a b c+ + ≥ + + . 
e/ ( )
a b c ab bc ca
, a, b, c 0
3 3
+ + + +
≥ > . f/ ( ) 4 4 4a b c abc, a b c 1+ + ≥ + + = . 
Bài	609. Cho a,b, c,d 0> . Chứng minh rằng nếu a 1
b
<
 thì ( ) 
a a c
b b c
+
< ∗
+
. Áp dụng ( )∗ chứng minh 
các bất đẳng thức sau 
a/ a b c 2
a b b c c a
+ + <
+ + +
. 
b/ a b c d1 2
a b c b c d c d a d a b
< + + + <
+ + + + + + + +
c/ a b b c c d d a2 3
a b c b c d c d a d a b
+ + + +
< + + + <
+ + + + + + + +
. 
Bài	610. Cho a,b 0≥ . Chứng minh bất đẳng thức: ( ) ( ) 3 3 2 2a b a b b a ab a b 3+ ≥ + = + . Áp dụng 
bất đẳng thức ( )3 để chứng minh các bất đẳng thức sau 
 www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số 
 Page - 110 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today" 
a/ ( )
3 3 3 3 3 3a b b c c a
2 a b c
ab bc ca
+ + +
+ + ≥ + + . 
b/ 
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
abca b abc b c abc c a abc
+ + ≤
+ + + + + +
 với a,b, c 0> . 
c/ 
3 3 3 3 3 3
1 1 1
1
a b 1 b c 1 c a 1
+ + ≤
+ + + + + +
 với a,b, c 0> và abc 1= . 
d/ 1 1 1 1
a b 1 b c 1 c a 1
+ + ≤
+ + + + + +
 với a,b, c 0> và abc 1= . 
e/ ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 33 3 34 a b 4 b c 4 c a 2 a b c+ + + + + ≥ + + với a,b, c 0≥ . 
f/ 
3 3 3
2 2 2 2 2 2
a b c a b c
3a ab b b bc c c ac a
+ +
+ + ≥
+ + + + + +
 với a,b, c 0> . 
g/ 
3 3 3 3 2 2
1 1 1 1
abca abc b b abc c a abc c
+ + ≤
+ + + + + +
 với a,b, c 0> . 
h/ 
3 3 2 3 2 3
2 2 2
5b a 5c b 5a c
a b c
ab 3b cb 3c ac 3a
− − −
+ + ≤ + +
+ + +
 với a,b, c 0> . 
Bài	611. Cho a,b, x, y ∈ 
 . Chứng minh bất đẳng thức sau ( )Min côp xki− − 
( ) ( ) ( ) 
2 2
2 2 2 2a x b y a b x y 4+ + + ≥ + + + 
Áp dụng chứng minh các bất đẳng thức sau: 
a/ Cho