Lý thuyết và bài tập về phần Dãy số - Mai Tuấn Anh

(n) 
ta đi tìm hàm số F(k) sao cho f(k) = F(k+1) – F(k). Khi đó 
Sn = F(2) – F(1) + F(3) – F(2) +  + F(n+1) – F(n) = F(n+1) – F(1) 
Với loại toán thứ hai, ta cần nắm vững định nghĩa của giới hạn dãy số và các định lý cơ bản về giới hạn dãy số, bao gồm:
1) Định lý Veierstrass: Dãy đơn điệu và bị chặn thì hội tụ.
2) Định lý kẹp: Nếu xn £ yn £ zn với mọi n ³ n0 và 	thì .
3) Tiêu chuẩn Cô-si: Dãy {xn} có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi với mọi e > 0, tồn tại số tự nhiên N sao cho với mọi m, n ³ N ta có |xm – xn| < e.
Một trong những dạng dãy số thường gặp nhất là dãy số xác định bởi x0 = a, xn+1 = f(xn) với f là một hàm số nào đó. Và với loại dãy số này, câu hỏi thường gặp nhất là:
1) Chứng minh dãy số {xn} có giới hạn hữu hạn
2) Tìm tất cả các giá trị của a sao cho dãy số {xn} có giới hạn hữu hạn 
Để giải các bài toán dạng này, ta có một số tính chất cơ bản sau
1) Nếu f là hàm số tăng thì dãy {xn} sẽ là dãy đơn điệu. 
2) Nếu f là hàm số giảm thì các dãy {x2n} (dãy với chỉ số chẵn) và {x2n+1} (dãy với chỉ số lẻ) sẽ là các dãy đơn điệu.
3) Nếu với mọi x, y ta có |f(x) – f(y)| £ q|x-y| với q là hằng số 0 < q < 1 và {xn} bị chặn thì {xn} hội tụ. Đặc biệt nếu |f’(x)| £ q < 1 thì ta luôn có điều này.
Một trường hợp đặc biệt của dãy số dạng xn+1 = f(xn) là dãy số dạng xn+1 = xn + a(xn)a. Với dãy số dạng này thì giới hạn của {xn} thường bằng 0 hoặc bằng ¥ (một cách hiển nhiên), do đó người ta thường nghiên cứu thêm “bậc của 0” cũng như “bậc của ¥” của các dãy số này. Với dãy số dạng này, định lý dưới đây sẽ rất có ích: Định lý (Cesaro). Nếu thì 
2. Một số bài tập có lời giải
Bài toán 1. Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số {an} xác định bởi a0 = 1, đều nguyên.
Lời giải. Chuyển vế và bình phương công thức truy hồi, ta được
	an+12 – 4anan+1 + 4an2 = 3an2 – 2
ó	an+12 – 4anan+1 + an2 + 2 = 0
Thay n bằng n-1, ta được 
	an2 – 4anan-1 + an-12 + 2 = 0
Từ đây suy ra an-1 và an+1 là hai nghiệm của phương trình x2 – 4anx + an2 + 2 = 0. Suy ra an+1 + an-1 = 4an hay an+1 = 4an – an-1. Từ đây suy ra tất cả các số hạng trong dãy đều nguyên, vì a0 = 1 và a1 = 3 nguyên.
Bài toán 2. Cho dãy số {an} xác định bởi a1 = 1, a2 = 2 và an+2 = 2an+1 – an + 2 với mọi n ³ 1. Chứng minh rằng với mọi m, amam+1 cũng là một số hạng của dãy số. 
Lời giải. Ta có 
 	an+2 = 2an+1 – an + 2
Thay n bằng n-1, ta được
	an+1 = 2an – an-1 + 2
Trừ hai đẳng thức vế theo vế, ta được
	an+2 – 3an+1 + 3an – an-1 = 0
Phương trình đặc trưng x3 – 3x2 + 3x – 1 = 0 có nghiệm bội 3 x1,2,3 = 1 nên ta có nghiệm tổng quát an có dạng an = an2 + bn + c. Thay n = 1, 2, 3 ta được
	a + b + c = 1
	4a + 2b + c = 2
	9a + 3b + c = 5
Từ đó giải ra được a = 1, b = -2, c = 2. Vậy an = n2 – 2n + 2 = (n-1)2+1. Do đó amam+1 = ((m-1)2+1)(m2+1) = (m2 – m + 1)2 + 1 = a_{m2-m+2}.
Bài toán 3. (Nghệ An 2009) Cho dãy số thực {xn} xác định bởi với mọi n Î N. Ta xác định dãy {yn} bởi công thức Tìm công thức tổng quát của dãy {yn}.
Lời giải. Ta có 
Từ đó tính được
Ta viết
Nhân đẳng thức đầu với 2, đẳng thức thứ hai với 22, đẳng thức thứ ba với 23  đẳng thức thứ n với 2n rồi cộng vế theo vế, chú ý đến những sự giản ước, ta được. 
	.
Bài toán 4. Cho dãy số un xác định bởi
	a) Chứng minh rằng un ¹ 0 với mọi n nguyên dương
	b) Chứng minh dãy không tuần hoàn
Lời giải. 
Gọi j là góc sao cho tg(j) = 2 thì u1 = tg(j), u2 = 2tg(j)/(1-tg2j) = tg(2j), , un = tg(nj). 
a) Từ công thức tính un ta suy ra u2n = 2un/(1-un2). Từ đó suy ra nếu tồn tại n để un = 0 thì sẽ tồn tại n lẻ để un = 0. Giả sử u2k+1 = 0. Khi đó u2k = -2 và ta có
	-2 = u2k = 2uk/(1-u2k) => uk2 + uk – 1 = 0 => mâu thuẫn vì lúc đó uk vô tỷ, trong khi đó theo công thức truy hồi thì uk luôn hữu tỷ.
b) Dãy tuần hoàn thì phải tồn tại n và k sao cho tg(nj) = tg(kj) ó (n-k)j = mp ó un-k = 0. Điều này không xảy ra do kết quả câu a).
Bài toán 5. Cho dãy số {xn} xác định bởi và với n=0, 1, 2,  Chứng minh rằng dãy {xn} có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. 
Lời giải. Đặt thì dãy số có dạng và xn+1 = f(xn). Ta thấy f(x) là hàm số tăng và . Từ đó, do f(x) là hàm số tăng nên ta có 
x2 = f(x1) > f(x0) = x1, x3 = f(x2) > f(x1) = x2,  Suy ra {xn} là dãy số tăng. Tiếp theo, ta chứng minh bằng quy nạp rằng xn < 2 với mọi n. Điều này đúng với n = 0. Giả sử ra đã có xk < 2 thì rõ ràng Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta có xn < 2 với mọi n.
Vậy dãy {xn} tăng và bị chặn trên bởi 2 nên dãy có giới hạn hữu hạn. Gọi a là giới hạn đó thì chuyển đẳng thức sang giới hạn, ta được . Ngoài ra ta cũng có a £ 2. 
Xét phương trình . Khảo sát hàm số lnx/x ta thấy rằng phương trình trên chỉ có 1 nghiệm < e và một nghiệm lớn hơn e. Vì 2 là một nghiệm của phương trình nên rõ ràng chỉ có 1 nghiệm duy nhất của phương trình thoả mãn điều kiện £ 2. Từ đó suy ra a = 2.
Vậy giới hạn của xn khi n dần đến vô cùng là 2.
Bài toán 6. Cho dãy số {xn} xác định bởi x1 Î (1, 2) và xn+1 = 1 + xn – xn2/2. Chứng minh rằng {xn} có giới hạn hữu hạn khi n dần đến vô cùng và tìm giới hạn đó. 
Lời giải. Giả sử xn có giới hạn là a thì a = 1 + a – a2/2 từ đó suy ra a = Ta sẽ dùng định nghĩa để chứng minh lim xn = 
Ta có .
Tiếp theo ta có thể chứng minh bằng quy nạp rằng 1 < xn < 3/2 với mọi n = 2, 3,  Từ đó, do + 1/2 < 2 nên suy ra lim xn = 2.
Bài toán 7. (Đề dự bị VMO 2008) Cho số thực a và dãy số thực {xn} xác định bởi:
x1 = a và xn+1 = ln(3+cosxn + sinxn) – 2008 với mọi n = 1, 2, 3, 
Chứng minh rằng dãy số {xn} có giới hạn hữu hạn khi n tiến đến dương vô cùng.
Lời giải. Đặt f(x) = ln(3+sinx+cosx) – 2008 thì 
Từ đó, sử dụng đánh giá ta suy ra 
Áp dụng định lý Lagrange cho x, y thuộc R, ta có
	f(x) – f(y) = f’(z)(x-y)
Từ đó suy ra |f(x) – f(y)| £ q|x – y| với mọi x, y thuộc R.
Áp dụng tính chất này với m > n ³ N, ta có
	|xm – xn| = |f(xm-1) – f(xn-1)| £ q|xm-1-xn-1| £ £ qn-1|xm-n+1 – x1| £ qN-1|xm-n+1 – x1|.
Do dãy {xn} bị chặn và q 0 tồn tại N đủ lớn để qN-1|xm-n+1 – x1| < e. Như vậy dãy {xn} thoả mãn điều kiện Cauchy do đó hội tụ. 
Nhận xét. 
1) Thực chất trong lời giải trên, ta đã chứng minh lại các tính chất đã nêu trong phần lý thuyết (chỉ sử dụng tiêu chuẩn Cauchy).
2) Nếu đánh giá chặt chẽ thì ta có thể chứng minh được . Tuy nhiên, với bài toán của chúng ta, đánh giá như trong bài giải là đủ.
Bài toán 8. (VMO 2005). Cho dãy số {xn} xác định bởi x1 = a, xn+1 = 3xn3 – 7xn2 + 5xn. Tìm tất cả các giá trị a để dãy {xn} có giới hạn hữu hạn.
Tóm tắt lời giải. 
Khảo sát hàm số y = f(x) = 3x3 – 7x2 + 5x và xét sự tương giao của nó với hàm số y = x, ta được đồ thị sau
Từ đồ thị này (và bảng biến thiên), ta thấy 
x tăng trên (-¥, 5/9), (1, +¥) và giảm trên (5/9, 1)
f(5/9) < 4/3
f(x) = x khi và chỉ khi x = 0, 1, 4/3
Với x > 4/3 hoặc 0 x. Với x < 0 hoặc 1 < x < 4/3 thì f(x) < x.
Tiếp theo, ta có f((4/3, +¥)) = (4/3, +¥), f((1, 4/3)) = (1, 4/3), f((-¥, 0)) = (-¥, 0). Hơn nữa, trong các khoảng này f(x) là hàm số tăng. Như vậy, nếu a thuộc các khoảng này thì dãy {xn} sẽ đơn điệu. Cụ thể:
a) Với a Î (4/3, +¥) thì x2 = f(x1) = f(a) > a và f tăng trên khoảng này, do đó {xn} là dãy tăng. Nếu {xn} bị chặn trên thì {xn} phải có giới hạn hữu hạn a và a phải là nghiệm của phương trình f(x) = x, suy ra a Î {0, 1, 4/3}. Điều này mâu thuẫn vì do xn > x1 = a > 4/3 nên a = lim xn ³ a > 4/3. Vậy {xn} không bị chặn trên, tức là {xn} không có giới hạn hữu hạn.
b) Tương tự với a Î (-¥, 0) thì {xn} giảm và cũng không có giới hạn hữu hạn.
c) Với a Î (1, 4/3) thì dãy {xn} giảm và bị chặn dưới bởi 1, do đó có giới hạn hữu hạn a. a là nghiệm của phương trình f(x) = x và 1 £ a £ a < 4/3, suy ra a = 1.
Tiếp theo, ta nghiên cứu các đoạn còn lại:
d) Với a = 0, 1, 4/3 thì {xn} là các dãy hằng và có giới hạn tương ứng là 0, 1, 4/3.
e) Với a Î [1/3, 1) thì x2 = f(x1) = f(a) Î [1, 4/3), từ đó, áp dụng phần c, ta có dãy {xn}n=2 là dãy giảm và có giới hạn là 1.
f) Cuối cùng, với a Î (0, 1/3), ta chứng minh rằng tồn tại n sao cho xn > 1/3. Thật vậy, giả sử ngược lại thì an £ 1/3 với mọi n. Chú ý rằng khi đó do f là hàm tăng trên (0, 1/3) và x2 = f(x1) = f(a) > a = x1 nên dãy {xn} tăng. Dãy {xn} tăng và bị chặn trên bởi 1/3 nên có giới hạn hữu hạn a và 0 1/3. Gọi k là số nhỏ nhất thoả mãn điều kiện này thì ta có xk-1 < 1/3, suy ra xk = f(xk-1) < 1 suy ra xk+1 = f(xk) Î (1, 4/3) và như thế, áp dụng c) cho dãy số {xn}n=k+1 ta có dãy này giảm và có giới hạn là 1, vì thế {xn} cũng có giới hạn là 1.
Bài toán 9. Với n ³ 2 gọi xn là nghiệm dương duy nhất của phương trình
	xn = xn-1 + xn-2 +  + x + 1
Chứng minh rằng lim xn = 2;
Hãy tìm lim (2-xn)1/n
Lời giải. 
Sử dụng hằng đẳng thức xn – 1 = (x-1)( xn-1 + xn-2 +  + x + 1) ta viết phương trình lại dưới dạng
	xn(x-2) + 1 = 0
Từ đó suy ra 2-xn = 1/xnn.
Đặt Pn(x) = xn – xn-1 – xn-2 -  - x – 1 thì 
	Pn+1(2) = 1 > 0 và Pn+1(xn) = xnPn(xn) – 1 = - 1, suy ra 2 > xn+1 > xn. Như thế, ta luôn có 
	2-xn = 1/xnn < 1/x1n à 0, suy ra
lim xn = 2. Và cũng từ đây
	(2-xn)1/n = 1/xn à 1/2.
Bài toán 10. (Romania 2007) Cho a Î (0, 1) và dãy số {xn} xác định bởi x0 = a, xn+1 = xn(1-xn2) với mọi n = 0, 1, 2,  Hãy tính 
Phân tích. Dạng gợi cho chúng ta nhớ đến định lý trung bình Cesaro. Tuy nhiên để dãy thực sự có dạng này (xn/n) ta phải xét bình phương của dãy và nghịch đảo lại, tức là 1/nxn2. Từ đó dẫn đến việc xét hiệu 1/xn+22 – 1/xn2.
Lời giải. Dễ dàng chứng minh được rằng dãy xn giảm và bị chặn dưới bởi 0. Từ đó dãy {xn} có giới hạn hữu hạn. Chuyển hệ thức truy hồi sang giới hạn, ta dễ dàng tính được lim xn = 0.
Xét 
Từ đó, theo định lý trung bình Cesaro (xem bài tập 6 dưới đây) ta suy ra
Suy ra 
3. Bài tập tự giải 
Bài 1. (Cần Thơ 2009) Cho dãy số {an} xác định bởi công thức truy hồi a1 = 1/2, .
Chứng minh rằng a1 + a2 +  + an < 1 với mọi số nguyên dương n. 
Bài 2. (Moldova 2007) Cho dãy {xn} xác định bởi . Chứng minh rằng dãy {xn} có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 3. (Hà Tĩnh 2009) Cho dãy {xn} biết với mọi n = 1, 2, 3,  Tìm giới hạn của dãy {xn} khi n dần tới vô cùng. 
Bài 4. (Bà Rịa Vũng