Luyện thi Đại học cấp tốc Hình học Oxyz - Chủ đề 1: Tọa độ điểm và vectơ - Huỳnh Văn Lượng


 và mặt phẳng   : 2 0x y z     . Lập phương trình đường thẳng d 
nằm trong   , cắt và vuông góc với  
Bài 7 : Cho mặt phẳng   : 3 4 2 0P x y z    và đường thẳng  
2 3
: 7
3 4
x t
d y t
z t
  

 
  
 Lập phương trình đường thẳng  đi qua  0 1; 4;0M  , song song với  P và cắt d. 
HD : 
 - Giả sử  cắt d tại M  2 3 ;7 ;3 4M t t t      0 3 1; 3;3 4M M t t t     

 - Vì  // P nên 0 0. 0 1n M M n M M t    
   
 - Vậy  có VTCP  0 2;2; 1M M  

 và đi qua  0 1; 4;0M  
Bài 8: Lập phương trình đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng  
2 2
: 3 3
4 5
x t
d y t
z t
 

 
   
 và 
   1 4 4' :
3 2 1
x y zd    
 
HD : - d có VTCP  2;3; 5u   , d’ có VTCP  3; 2; 1v    
 - Lấy  2 2 ;3 3 ; 4 5I t t t d     và  1 3 '; 4 2 ';4 ' 'J t t t d     
 - IJ là đường vuông góc chung của d và d’ 
 
 
0;0;1. 0 ' 1
1 2;2;3. 0
IIJ u IJ u t
t JIJ v IJ v
     
      
       
  
   
Bài 9: Lập phương trình đường thẳng đi qua  4; 5;3M   và cắt cả hai đường thẳng 
 1
1 3 2:
3 2 1
x y zd    
 
 ,  2
2 2
: 1 3
1 5
x t
d y t
z t
 

  
  
HD : - Gọi  là đường thẳng cần viết phương trình. 
 - Giả sử  cắt 1d tại  1 3 ; 3 2 ;2A t t t     và cắt 2d tại  2 2 '; 1 3 ';1 5 'B t t t    
 - Ta có  2 ' 3 3;3 ' 2 2; 5 ' 1AB t t t t t t       

 và  3 3 ; 2 2 ;1AM t t t     

 - Yêu cầu bài toán AB

 cùng phương với AM

 , 0 ' 0AB AM t t      
 
Bài 1 : Cho hai đường thẳng  1
7 4:
2 5 3
x y zd   

 và  2
1 3
: 2
2
x t
d y t
z t
 


   
. 
 Chứng minh rằng 1d và 2d cắt nhau. Viết phương trình của mặt phẳng chứa 1d và 2d 
Dạng 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 
LTĐH cấp tốc – Hình học Oxyz 01234.444.305-0918.859.305-0996.113.305-0929.105.305-066.513.305 
www.huynhvanluong.com Trang 8 Biên soạn: Huỳnh Văn Lượng 
Bài 2 : Cho hai đường thẳng  
1 5
: 5 7
3 3
x t
d y t
z t
  

  
  
 và   3 4 1' :
1 2 4
x y zd    

a. Chứng minh d và d’ chéo nhau 
b. Lập phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d và d’ 
HD : 
- d đi qua  1; 5;3A   và có VTCP  5;7;3u  , 'd đi qua  3; 4;1B   và có VTCP  1; 2;4v   
 - Gọi   là mặt phẳng cần viết phương trình. Suy ra   đi qua trung điểm I của AB và nhận  ,u v  làm 
VTPT. 
Bài 3 : Cho hai đường thẳng  
 
 
21 1
: 4
5 2 1
x a t
d y at
z a t
    
  
    
 và   3 1' :
2 1 3
x y zd   

a. Tìm a để d cắt d’ b) Tìm a để 'd d 
Bài 4: Cho hai đường thẳng  
2
: 3 3
1 2
x t
d y t
z t
 

  
   
 và    2
1 2
' : 6 2
3 2
x m mt
d y m t
z mt
  

   

  
 Tìm m để // 'd d . Khi đó hãy viết phương trình của mặt phẳng  , 'd d 
Bài 1 : Cho ba điểm      1;3;2 , 4;0; 3 , 5; 1;4A B C   Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của A trên 
đường thẳng BC. 
Bài 2: Tìm toạ độ điểm M’ đối xứng với  2; 1; 5M   qua đường thẳng   2 3 1:
2 1 1
x y z  
  

Bài 3: Cho 2 điểm    1;1;1 , 2;3;0A B  và đường thẳng  
3
: 1 2
5 3
x t
d y t
z t


 
   
. Tìm M d sao cho MA MB
 
đạt giá trị nhỏ nhất. 
HD: Gọi I là trung điểm của AB, ta có 2MA MB MI 
 
 MI nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên d. 
Bài 4: Cho 3 điểm      4;1; 28 , 4; 9;2 , 10;2; 10A B C   và đường thẳng  
9 2
:
4 3
x t
d y t
z t
 

 
   
 Tìm M d sao cho MA MB MC 
  
 đạt giá trị nhỏ nhất. 
Dạng 3: HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA ĐIỂM M 
Phương pháp giải: 
1. Tìm hình chiếu vuông góc của 1 điểm M trên một mặt phẳng )( 
 Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với )( 
 Gọi H là hình chiếu của M trên )( )( dH 
2. Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm M trên 1 đường thẳng d 
 Cách 1: _ Viết phương trình mặt phẳng )( đi qua M và vuông góc với d 
 _ Gọi H là hình chiếu của M trên d )( dH 
 Cách 2: _ Chuyển phương trình đường thẳng d về dạng tham số 
 _ Gọi I là một điểm bất kì thuộc d  tọa độ điểm I theo tham số t 
 _ I là hình chiếu của M trên d  0.  duMIdMI  t Tọa độ I. 
LTĐH cấp tốc – Hình học Oxyz 01234.444.305-0918.859.305-0996.113.305-0929.105.305-066.513.305 
www.huynhvanluong.com Trang 9 Biên soạn: Huỳnh Văn Lượng 
HD : Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC,ta có 3MA MB MC MG  
  
 MG nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của G trên d 
Bài 5: : Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M(1; –1; 2) trên mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 12 = 0 và tìm 
M’ đối xứng với M qua (P). 
Bài 1 : Tìm hình chiếu của đường thẳng   2 2 1:
3 4 1
x y zd     lên mp   : 2 3 4 0x y z     
Bài 2 : Viết phương trình hình chiếu của đt  
7 3
2
: 2
2
x t
d y t
z t
  

 
  

 trên mp   : 2 2 2 0x y z     
---------------------------- 
Chủ đề 4: MẶT CẦU 
A/. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: 
 I. Phương trình mặt cầu: 
 Dạng 1: Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R: 
2222 )()()( Rczbyax  
 Dạng 2: 0222222  dczbyaxzyx (với 0222  dcba ) là phương trình mặt cầu 
có tâm I(a; b; c) và bán kính R = dcba  222 
 II.Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng: 
Cho mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) bán kính R và mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0. 
 Nếu d(I,(P)) > R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) không có điểm chung. 
 Nếu d(I,(P)) = R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) tiếp xúc nhau. 
 Nếu d(I,(P)) < R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn có 
bán kính 2 2r R d  và tâm H của là hình chiếu của I lên mặt phẳng (P). 
B/. BÀI TẬP: 
Bài 1: Lập pt mặt cầu đi qua 3 điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1) , C(2;2;3) và có tâm nằm trên mp Oxy 
Bài 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc Ox và tiếp xúc với mp(Oyz) và (P): 2x + y - 2z + 2 = 0. 
Bài 3. cho bốn điểm A(1;2;2), B(-1;2;1), C(1;6;-1), D(-1;6;2). CMR: ABCD là tứ diện có các cặp cạnh đối 
bằng nhau. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. 
Dạng 4: HÌNH CHIẾU CỦA 1 ĐƯỜNG THẲNG TRÊN MỘT MẶT PHẲNG 
Phương pháp giải: 
Cách 1:Cho đường thẳng d và mặt phẳng   . Tìm phương trình hình chiếu của d trên   
 - Viết phương trình mặt phẳng   chứa d và      
 - Gọi d’ là hình chiếu vuông góc của d trên   . Suy ra    'd    
Cách 2:Cho đường thẳng d và mặt phẳng   . Tìm phương trình hình chiếu của d trên   
 - Tìm giao điểm A của d và   
 - Lấy B d rồi tìm toạ độ của H là hình chiếu vuông góc của B trên   
 - Viết phương trình của đường thẳng AH đi qua A và H. 
 Chú ý : Nếu  //d  thì làm như sau : 
 - Lấy A d rồi tìm toạ độ của H là hình chiếu vuông góc của A trên   
 - Gọi d’ là hình chiếu vuông góc của d trên d. Suy ra d’ song song với d và d’ đi qua H 
LTĐH cấp tốc – Hình học Oxyz 01234.444.305-0918.859.305-0996.113.305-0929.105.305-066.513.305 
www.huynhvanluong.com Trang 10 Biên soạn: Huỳnh Văn Lượng 
Bài 4: Cho mặt phẳng   : 2 3 4 0P x y z    và mặt cầu   2 2 2: 6 2 2 3 0S x y z x y z       . Lập 
phương trình mặt phẳng   song song với  P và tiếp xúc với  S . Tìm tọa độ tiếp điểm 
Bài 5: Chứng minh   2 2 2: 2 4 20 0S x y z y z      cắt mặt phẳng   : 2 8 0x y z     theo 1 
đường tròn  C . Xác định tâm và bán kính của  C 
Bài 6 Cho   2 2 2: 2 5 4 1 0S x y z x y z       Tìm m để họ mặt phẳng   : 2 0m x y z m     là tiếp 
diện của  S 
Bài 7. Lập phương trình mp   tiếp xúc với mặt cầu   2 2 2S : x y z 10x 2y 26z 113 0       và song 
song với hai đường thẳng 1
x 5 2t
d : y 1 3t
z 2 2t
  

 
   
 và 2
x 7 3t
d : y 1 2t
z 8
  

  
 
HD:    1 2u , u 4;6;5
  là VTPT của     : 4x 6y 5z D 0      Sử dụng   d I, R  tìm D 
Bài 8 Lập phương trình mặt cầu  S có tâm  2;3; 1I  và cắt đường thẳng   1 2:
2 1 2
x y zd   

 tại hai 
điểm A, B sao cho 
 a) Độ dài đoạn 16AB  
 b) Tam giác IAB vuông tại I 
 c) Tam giác IAB đều 
 d) Góc IAB bằng 120o 
Bài 9: Lập phương trình mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng  
2 4 7 0
:
4 5 14 0
x y z
d
x y z
   

   
 và tiếp xúc với 
 hai mặt phẳng   : 2 2 2 0x y z     và   : 2 2 4 0x y z     
--------------------------------------- 
TỔNG HỢP ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC 
Từ năm 2002 đến 2013 
Bài 1 : (ĐH A2002) cho hai đường thẳng: 1 : 
2 0
2 2 4 0
x y z
x y z
  

   
 và 2 : 
1
2
1 2
x t
y t
z t
 

 
  
 a) Viết ptmp(P) chứa đường thẳng 1 và song song với đường thằng 2 ĐS: ( ) : 2 0P x z  
 b) Cho M(2 ; 1,4). Tìm H thuộc 2 sao cho đoạn MH có ñoä daøi nhoû nhaát. ĐS: (2;3;3)H 
Bài 2 : (ĐH D2002) Cho mp(P) : 2x – y + 2 = 0 và đường thẳng d là giao tuyến của mặt phẳng 
(Q): (2 1) (1 ) 1 0m x m y m      và mặt phẳng (R): (2 1) 4 2 0mx m z m     
 Định m để dm song song với mặt phẳng (P). ĐS : m = -1/2 
Bài 3 : (ĐH A2003) cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc của hệ tọa độ, 
B(a; 0; 0) , D(0; a; 0), A’(0; 0; b) (a>0, b>0). Gọi M là trung điểm cạnh CC’. 
 a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b.ĐS : 
2
4
a bV  
 b) Xác định tỷ số a
b
 để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau.ĐS: 1a
b
 
Bài 4 : (ĐH B2003) cho hai điểm A(2; 0; 0), B(0;0;8) và điểm C sao cho AC

=(0; 6; 0). Tính khoảng 
cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA. ĐS : ( , ) 5d I OA  
LTĐH cấp tốc – Hình học Oxyz 01234.444.305-0918.859.305-0996.113.305-0929.105.305-066.513.305 
www.huynhvanluong.com Trang 11 Biên soạn: Huỳnh Văn Lượng 
Bài 5 : (ĐH D2003) cho đường thẳng dk: 
3 2 0
1 0
x ky z
kx y z
   

   
. Tìm k để đ