Đề thi chọn HSG môn Toán lớp 12 năm học 2008-2009 - THPT Quốc Học

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO	 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 
 THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2008-2009
TRƯỜNG THPT QUỐC HỌC MÔN: TOÁN
	 (180 phút, không kể thời gian giao đề)
Bài 1. Cho phương trình: cos3x +asinx.cosx +sin3x = 0
	a. Giải phương trình khi a = 
	b. Với giá trị nào của a thì phương trình có nghiệm.
Bài 2. Giả sử phương trình x3 + x2 +ax +b = 0 có 3 nghiệm phân biêt
	Hãy xét dấu của biểu thức: a2 – 3b.
Bài 3. Cho hàm số f(x) = 
	a. Tìm đạo hàm của hàm số và chứng minh hàm số đạt cực tiểu tại x =0.
	b. Tìm số a nhỏ nhất để cho: x2 (1 –cos, với mọi x
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = b, 
SA = SB = SC = SD = c. K là hình chiếu vuông góc của B xuống AC.
a. Tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và BK.
b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AK và CD. Chứng minh: Các đường thẳng BM và MN vuông góc với nhau.
ĐÁP ÁN
Bài 1. (5 điểm). cos3x +asinx.cosx +sin3x = 0	 	 (1)	
(0,5đ) + Đặt t = sinx + cosx = cos(x - ), │t│
 cos3x +sin3x = (cosx +sinx) (sin2x +cos2x –sinxcosx) = (cosx +sinx)(1- sinxcosx)
 Vì t2 =1 +2sinxcosx nên sinxcosx = và cos3x +sin3x = (3- t2)
(0,5đ) + Phương trình (1) trở thành: (3- t2) +a. = 0 t3- at2 -3t +a = 0 (2)
Câu a.
(1đ) + Với a = : (2) trở thành: t3 -t2 -3t + = 0 (1 +)(t2-2t +1) = 0
	 t = - hay t = -1 hay t = +1
(1đ) + Đối chiếu với điều kiện: │t│ nên phương trình (1) tương đương với:
Câu b. 
(0,25đ) + Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi f(t) = t3 –at2- 3t +a = 0 có nghiệm t[-; ]
(1,5đ) + f(t) liên tục trên R
	 f(-) = - a; f() = --a; f(0) = a.
	 * a = 0: f(t) có nghiệm t = 0[-; ]
	 * a<0: f(-).f(0) = a(-a) <0 f(t) = 0 có nghiệm t(-; 0).
	 * a>0: f(0).f() = a(--a) <0 f(t) = 0 có nghiệm t(0; ).
(0,25đ) + Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi a.
Bài 2. (5 điểm) y = f(x) = x3 +x2 +ax +b
(0,5đ) + Tập xác định: R.
	 y’ = 3x2 +2x +a là tam thức bậc hai có biệt số = 1- 3a.
(0,5đ) + Pt: x3 +x2 +ax +b = 0 có 3 nghiệm phân biệt nên y’ =0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và f(x1).f(x2) <0.
(0,5đ) + Suy ra: (x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình 3x2 +2x +a =0)
(1đ) + Thực hiện phép chia đa thức ta được:
	 f(x) = x3 +x2 +ax +b = y’ +[(6a -2)x +9b- a] 
	Suy ra f(x1) = [(6a -2)x1 +9b- a]; f(x2) = [(6a -2)x2 +9b- a]
(0,5đ) + f(x1).f(x2) < 0 (6a -2)2 x1x2 +(6a -2)(9b –a)(x1+ x2) +(9b –a)2 <0.
(1đ) + Vì x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình: 3x2 +2x +a = 0.
	 Nên x1+ x2 = -; x1.x2 = 
	 Do đó: (6a -2)2 –(6a -2)(9b –a)+(9b –a)2 <0
	 Suy ra: 4(3a -1)(a2 -3b)+ (9b –a)2 <0.
(1đ) + Vì (9b –a)2 0 và 3a -1 0 
Bài 3.( 5 điểm)
Câu a. (2 điểm) 
(1,5đ) +Tính đạo hàm của hàm số: x0 ta có: f’(x) = 2x -2x.cos- sin.
	 * f’(0) = = 0.
(0,5đ) + f(x) = 2x2sin2 với x 0 f(x) 0 =f(0), xR, 
 Do đó f(x) đạt cực tiểu tại x =0.
Câu b. (3 điểm)
(0,5đ) + x2(1-cos) = 2x2sin2 = 
(1đ) + Chứng minh: -1 < < 1, x0	(1)
	Xét y = g(x) = , x0 . Biết rằng 0< x < sinx < x và với: x 
 sinx 1<x 	 0 < < 1. Mà g(x) là hàm số chẵn trên D = R \ {0} nên g(x) = <1, xD. Vậy (1) là đúng.
(1đ) + Tìm a nhỏ nhất: Từ (1) được: < 1, x0 < 1, x0
 h(x) = x2(1 - cos) < x0 (2) và h(x) = = 
(0,5đ) h(x) <a, x0 (gt) mà = h(x) a a (3).
Dấu đẳng thức xảy ra tại (3) khi: a = là đúng theo (2). Vậy a = .
Bài 4. (5 điểm)
Câu a. (2,5 điểm)
(0,25đ) + Theo giả thiết ta được: SO(ABCD) (SAC)(ABCD)
 Mà BK(SAC) và BKAC BKSA 
(0,5đ) +Gọi H là hình chiếu của K xuống SA
	 HKSA và HKBK HK là đoạn vuông góc chung của SA và BK
	 Vậy tam giác HBK vuông tại K.
(0,5đ) + Do tam giác ABC vuông tại B có BK là đường cao nên BK2 = 
(0,5đ) + Tam giác SAB cân tại Scó BH là đường cao nên: HB= 
(0,5đ) + Tam giác HBK vuông tại K nên HK2 =HB2- BK2, do đó 
 HK =
Câu b. (2,5 điểm).
	 2=+ (Vì M là trung điểm của AK)
	 = ++= +, do đó:
	4. = (+).(+2)
 = .(+- 2) 
 = .(-+ -) = 0
	Vậy BMMN