Luyện thi Đại học, Cao đẳng - Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số phần 1 - Nguyễn Dương

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths . Nguyễn Dương 093 252 8949 
.. 
 Ứng Dụng Tính Đơn Điệu Của Hàm Số 
 (phần 1) 
I- Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình. 
Ví dụ 1: 
 Giải phương trình 3x = 4 - x. 
Bài giải: 
Tập xác định D= R. Phương trình tương đương với 3x + x - 4 = 0. 
Xét hàm số f(x ) = 3x + x - 4 . Hàm số xác định và liên tục trên R 
f’(x) = 3x.ln3 + 1 > 0  x R. Vậy hàm số f(x) đồng biến trên R.  phương trình (1) có không quá một 
nghiệm . mà f(1) = 0 ; vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình 
ví dụ 2 : 
giải phương trình : 24 1 4 1 1x x    
bài giải : 
điều kiện : 
2
4 1 0 1
24 1 0
x
x
x
 
 
 
xét hàm số 2( ) 4 1 4 1f x x x    xác định và liên tục trong nửa đoạn 1 ;
2
  
ta có 
2
2 4'( ) 0
4 1 4 1
xf x
x x
  
 
với mọi 1
2
x  ; vậy hàm số đồng biến trên nửa đoạn 1 ;
2
  
  
phương trình (1) không có quá một nghiệm . mặt khác 1 1( ) 1
2 2
f   là nghiệm duy nhất của phương trình 
Ví dụ 3: 
Giải bất phương trình sau : 27 7 7 6 2 49 7 42 181 14x x x x x        (1) 
Bài giải : 
(1) 27 7 7 6 2 49 7 42 181 14 0x x x x x         
Đặt t  2 27 7 7 6 14 2 49 7 42x x t x x x        ( 0)t  
Phương trình trở thành : 2 182 0 14 13t t t       kết hợp điều kiện ( 0)t  
 ta được : 0 13 (1) 7 7 7 6 1t x x        3 (2) ; điều kiện 6 ;
7
x    
http:chuyentoan.wordpress.com 
1) Định lí 1: 
 Nếu hàm số f(x) luôn đồng biến và liên tục trên D thì phương trình f(x) = m không có quá một 
nghiệm D 
Chứng minh: 
 Giả sử phương trình f(x) = m có nghiệm x = 0x nghĩa là 0( )f x m 
Nếu 0x x thì 0( ) ( )f x f x m   phương trình vô nghiệm. 
 Nếu 0x x thì 0( ) ( )f x f x m   phương trình vô nghiệm 
Chú ý : 
Nếu hàm số ( )f x luôn nghịch biến và liên tục trên D thì phương trình f(x) = m không có quá 
một nghiệm D 
Cách chứng minh hoàn toàn giống với định lí được phát biểu ở trên 
Luyện thi ĐH chất lượng cao ths . Nguyễn Dương 093 252 8949 
.. 
xét hàm : ( ) 7 7 7 6f x x x    ; hàm số xác định và liên tục trên 6 ;
7
x    
ta có 1 1 6'( ) 0 ; ( ; )
72 7 7 2 7 6
f x x
x x
     
 
 hàm số đồng biến trên 6 ;
7
x    
 ; mặt khác 
(6) 13f  nên ( ) 13 6f x x   vậy nghiệm của bất phương trình là 6 6
7
x  hay 6 .6
7
x    
Ví dụ 4: 
 giải bất phương trình 6 7 1x x    
bài giải: 
Tập xác định D = - 6; 7 . Xét hàm số f(x) = 6 7x x   . 
Ta có f’(x) = 1 1 0
2 6 2 7x x
 
 
  x  (- 6; 7). 
Vậy hàm số f(x) đồng biến trên đoạn - 6; 7 
Mặt khác f(3) = 1. Do đó bất phương trình tương đương với f(x)  f(3)  x  3. 
 Bài Tập áp dụng 
bài tập 1: Giải phương trình 1 2 3x x    
bài tập 2: Giải phương trình : 31 4 5x x x     
bài tập3: Giải phương trình: log 11x x  
bài tập 4: Giải phương trình: 
2 22 29 (13 ).3 9 36 0xx xx     
bài tập 5 :Giải bất phương trình 9 2 4 5x x    
bài tập 6: Giải bất phương trình 2 22 3 6 11 3 1x x x x x x         
bài 8 : Giải bất phương Trình 2 1 7x x   . 
Bài tập 9: Giải bất phương trình 3 23 6 16 2 3 4x xx x      
Bài tập 10 : Giải bất phương trình 6 8 6
3 2x x
 
 
Ví dụ 1 : 
 Giải phương trình : 
2
2
3 2
3log 3 2
2 4 5
x
x x
x x x        
Bài giải: 
Tập xác định D = R. Phương trình đã cho tương đương với 
2 2 2 2
3 3log ( 3) ( 3) log (2 4 5) (2 4 5)x x x xx x x x           (*) 
Định lý 2 : cho hàm số ( )y f t ; xác định trên D 
Nếu ( )y f t là hàm luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến ) , với ,x y D 
Nếu ( ) ( )x y f x f y   phương trình ( ) ( )f x f y 
Nếu ( ) ( )x y f x f y   phương trình ( ) ( )f x f y 
Vậy để ( ) ( )f x f y thì x y ( khi ( )y f t là hàm luôn nghịch biến làm hoàn toàn tương tự) 
Luyện thi ĐH chất lượng cao ths . Nguyễn Dương 093 252 8949 
.. 
Xét hàm số f(t) = 3log t t .Hàm số xác định và liên tục trên khoảng(0;+ ) 
 f’(t) = 1 1
. ln 3t
 > 0 t > 0. Vậy hàm số f(t) đồng biến trên khoảng(0;+ ) 
Phương trình (*)  f(x2 +x + 3) = f(2x2 + 4x + 5) 
 x2 +x + 3 = 2x2 + 4x + 5  2
1
3 2 0
2
x
x x
x
 
      
Ví dụ 2 : 
 Giải phương trình : 
21 22 2 ( 1)x x x x    (1) 
Bài giải : 
 (1) 
2 2 21 2 1 2 1 22 2 2 1 2 2 ( ) ( 1) 2 ( 1) 2 ( )x x x x x x x x xx x x x x x x x                      xét hàm 
trung gian : ( ) 2tf t t  ; t R 
 '( ) 2 ln 2 1 0tf t t    , vậy ( )f t là hàm đồng biến 
vậy 2 2 2( 1) ( ) 1 2 1 0 1f x f x x x x x x x x             
 Bài Tập Áp Dụng 
Bài tập 1: Giải hệ phương trình 
3 3
2 2
3 3
4
x
2x
x y y
y
   

 
Bài tập 2: Giải hệ phương trình 
3 3
2 2
3 3
1
x
3x
x y y
y
   

 
Bài tập 3: Giải hệ phương trình 
3 10 5
3 10 5
x y
y x
    

   
Bài tập 4 : Tìm m để hệ phương trình có nghiệm 
3 3 2
2 2 2
3 3 2 0
1 3 2 0
xx y y
x x y y m
     

     
Bài tập 5 : giải phương trình 
2 2sin os2009 2009 os2xx c x c  
Bài tập 7 : giải và biện luận theo m : 
2 22 2 2 4 2 25 5 2x mx x mx m x mx m        
Bài tập 8 :Giải hệ Phương Trình 
3 3
6 6
3 3
1
x x y y
x y
   

 
Bài tập 9 : Giả hệ phương trình 
3
1 1
2 1
x y
x y
y x
   

  
Bài giảng này gồm tất cả 10 phần trên đây là phần 1 , các phần tiếp theo tôi tiếp tục đăng trên trang web của 
tôi để các bạn tham khảo 
 Nha trang 8/2009