Lượng giác 11 - Bài 2: Phương trình lượng giác

an3x – 3 = 0
Bài 2. Giải các phương trình sau:
1)	cos2x . cot = 0	2)	
3)	(1 + 2cosx)(3 – cosx) = 0	4)	(cotx + 1) . sin3x = 0	
5)	sin2x . cotx = 0	6)	tan(x – 300)cos(2x – 1500) = 0
7)	(2cos2x – 1)(2sin2x –) = 0	8)	 (3tanx + )(2sinx – 1) = 0
9)	tan(2x + 600)cos(x + 750) = 0	10)	(2 + cosx)(3cos2x – 1) = 0
11)	(sinx + 1)(2cos2x – ) = 0	12) 	(sin2x – 1)(cosx + 1) = 0
Bài 3. Giải các phương trình sau:
1)	sin(2x – 150) = với – 1200 < x < 900	2)	cos(2x + 10 = 	với – p < x < p 
3)	sin	với 0 < x < 2p	4)	tan	với 0 < x < p
5)	sinx = – 	với – p < x < 0	6)	cos(x – 2) = 	với x Ỵ [0 ; p]
7)	tan(x – 100) = 1 	với – 150 < x < 150	8)	sin= 1 	với x Ỵ [p ; 2p]
Bài 4. Giải các phương trình sau:
1)	cos3x – sin2x = 0	2)	tanx tan2x = – 1
3)	sin3x + sin5x = 0	4)	cot2x cot3x = 1
5)	sinx – cos(x + 600) = 0 	6)	cos(x – 100) + sinx = 0
7)	8)	
9)	sin3x = cos2x	10)	cosx = – sin2x
11)	sin2x + cos3x = 0	12)	tan(3x + 2) + cot2x = 0
13)	tanx . tan3x = 1	14)	cot2x.cot(x + 450) = 1
15)	 = 0	16)	 = 0
17)	tan3x + tanx = 0	18)	tan3x + tan(2x – 450) = 0
Bài 5. Giải các phương trình sau:
1)	sin2x = 	2)	4cos2x – 3 = 0 	3)	sin23x – cos2x = 0	
4)	sin2(x – 450) = cos2x 	5)	8cos3x – 1 = 0	6)	tan2(x + 1) = 3
Phương trình bậc hai, bậc 3 đối với một hàm số lượng giác
Bài 6. Giải các phương trình sau:
1)	2cos2x – 2( + 1)cosx + + 2 = 0	2)	2cos2x + 4sinx + 1 = 0	
3)	cos2x + 9cosx + 5 = 0	4)	sin2x – 2cos2x + = 0	
5)	cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1	6)	cot4x – 4cot2x + 3 = 0
7)	cos2(x + ) + 4cos() = 	8)	tan2x – + 5 = 0
9)	 – 1 + tanx – (tanx + 1) = 0	10)	cos4x – 3 + 2 = 0 
11)	2cos2x + cosx – 2 = 0	12) 	2cos2x – 3cosx + 1 = 0
13)	6sin2x – 5sinx – 4 = 0	14)	
15)	16)	
17)	18)	cos2x + sinx + 1 = 0	
Bài 7. Giải các phương trình sau:
1)	tan3x – 3tan2x – 2tanx + 4 = 0	2) 	4sin3x + 4sin2x – 3sinx = 3
3)	tan3x – 1 + + 2cot = 3	4)	2sin2x = 1 + sin3x
5)	1 + sin3x = sinx + cos2x	6)	tan2x + cot2x + 2(tanx + cotx) = 6
7)	8) 	
Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx (Phương trình cổ điển)
Bài 8. Giải các phương trình sau:
1)	sinx – cosx = 	2)	cosx + sinx = – 	
3)	sin4x + cos4x = 	4)	2sinx – 9cosx = 	
5)	cos(2x – 150) + sin(2x – 150) = – 1 	6)	2cosx – 3sinx + 2 = 0
7)	cosx + 4sinx + 1 = 0	8)	sin2x + 3cos2x = 4
9)	2sinx – 2 cosx = 	10)	sinx – cos2x = 1
11)	cosx –sinx = 	12)	3sin3x – 4cosx = 5
13)	5cos2x + 12sin2x – 13 = 0	14)	3sinx + cosx = 1
Bài 9. Giải các phương trình sau:
1)	2sin22x + sin4x = – 3 	2) 	cosx +sinx = 2 cos
3)	2sin + sin = 	4)	3cosx + 4sinx = = 6
5)	3sin3x – cos9x = 1 + 4sin33x	6)	5cos(2x + 180) – 12sin(2x + 180) = –13 
7)	2cos + 3cos= 	8) 	sin2x + sin2x = 
9)	2sin2x + sin2x = 3	10)	3cos2x – sin2x – sin2x = 0
11)	4sinxcosx = sin4x + 3cos2x	12)	2cos2x – sin2x = 2(sinx + cosx)
13	2sin17x + cos5x + sin5x = 0	14) 	cosx – sinx = 2cos3x 
15)	sin9x + cos7x = sin7x + cos9x	16)	sin5x + cos5x = cos13x
17)	8sin2 – 3sinx – 4 = 0 	18)	
19)	20) 	 3cosx – 4sinx = = 3
Bài 10. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của các hàm số sau:
1)	y = 2sinx + cosx + 1	2) 	y = 2sin2x + 4sinxcosx + 3
3)	y = sin2x + cos2x – 2 	4)	y = 
Phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba đối với sinx và cosx (Phương trình đẳng cấp)
Bài 11. Giải các phương trình sau:
1)	2sin2x + sinxcosx – 3cos2x = 0	2) 	3sin2x – 4sinxcosx + 5cos2x = 2
3)	sin2x + sin2x – 2cos2x = ½	4)	2cos2x + sin2x – 4sin2x = – 4 
5)	sin2x – 10sinxcosx + 21cos2x = 0	6)	cos2x – 3sinxcosx + 1 = 0
7)	cos2x – sin2x – sin2x = 1	8) 	2cos2x – 3sinxcosx + sin2x = 0
9)	3sin2x – 2sinxcosx + cos2x – 1 = 0	10)	4sin2x – 3sin2x – 2cos2x = 4
11)	3cos2x + sinxcosx + 2sin2x = 2	12)	3cos2x + 3sinxcosx + 2sin2x = 1
13	cos2x – sin2x – sin2x = 1	14) 	sin2x + 2cos2x – 1 = 0
15)	2cos2x + 3sin2x – 8sin2x = 0	16)	3cos2x + 2sin2x – sin2x = 2 + 
17)	sin3x + cos3x = sinx + cosx	18)	sin3x + 2sin2xcosx – 3cos3x = 0
19)	sin3x – 5sin2xcosx – 3sinxcos2x + 3cos3x = 0	20) 	cos3x – 4cos2xsinx + cosxsin2x + 2sin3x = 0
*Phương trình đối xứng – Phản đối xứng*
Bài 12. Giải các phương trình sau:
1)	5sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0	2) 	(cosx – sinx) + 2sin2x – 1 = 0 
3)	2½sinx + cosx½+ 3sin2x = 2	4)	½sinx – cosx½+ 4sin2x = 1
5)	tanx + cotx = (sinx + cosx)	6)	(1 + sin2x)(cosx – sinx) = cos2x
7)	3(sinx + cosx) – sin2x – 3 = 0	8) 	2sin4x + 3(sin2x + cos2x) + 3 = 0
9)	cosx + + sinx + = 	10)	sin2x – sin + 1 = 0
Phương trình lượng giác không mẫu mực
Bài 13. Giải các phương trình sau:
1)	sin25x + 1 = cos23x	2) 	sin2x – 2sinx + 2 = sin23x
3)	sinx + cosx = (2 – sin3x)	4)	2cos2x = 3sin25x + 2
5)	(cos4x – cos2x)2 = 4 + cos23x	6)	sinx + cosx = tanx + cotx
7)	cos5x.sin3x = 1	8) 	sin2x + sin3x + sin4x = 3
Phương trình dạng khác (tổng quát)
Bài 14. Giải các phương trình sau:
1)	sin24x + sin23x = sin22x + sin2x	2) 	sin24x + sin23x + sin22x + sin2x = 2
3)	cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2	4)	sin2x + sin2x = cos23x + cos24x
5)	4sin3x + sin5x – 2sinxcos2x = 0	6)	sin2x + sin22x = sin23x
7)	cos2x – cos8x + cos6x = 1	8) 	sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0
9)	sin2x + cos2x + sin3x = cos3x	10)	sin6x.sin2x = sin5x.sinx
11)	cos8x.cos5x = cos7x.cos4x	12)	sin7x.cosx = sin5x.cos3x
13	2tan2x – 3tanx + 2cot2x + 3cosx – 3 = 0	14) 	sin3x + sin5x + sin7x = 0
15)	cos2x + 4sin4x = 8cos6x	16)	sinx = sin5x – cosx 
17)	3 + 2sinx.sin3x = 3cos2x	18)	sinx+sin2x+sin3x = cosx+cos2x+cos3x
19)	sinx+sin2x+sin3x = 1+cosx+cos2x+cos3x	20) 	1 + cosx + cos2x + cos3x = 0
21)	tanx + cot2x = 2cot4x	22)	 2cos2x + sin10x = 1
23)	tanx + tan2x = sin3x.cosx	24)	5tanx – 2cotx = 3
25)	26)	
27)	(1 – tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx	28)	4sin3x = sinx + cosx
29)	30) 	sin4x + cos4x = 
Phương trình lượng giác có tham số
Bài 15. Định m để phương trình:
1)	msinx – 2m + 1 = 0 	có nghiệm	
2) 	mcosx – 2m + 1 = (2m – 1)cosx 	có nghiệm
3)	msinx + 1 = 2(sinx + m)	vô nghiệm	
4)	cos2x – sinx.cosx – 2sin2x = m	có nghiệm
5)	(m + 2)sinx – 2mcosx = 2(m + 1)	có nghiệm	
6)	mcos2x + (m + 1)sin2x = m + 2	có nghiệm
7)	sinx + mcosx = 1	vô nghiệm	
8) 	(m + 2)sinx + mcosx = 2 	vô nghiệm	
9)	(m2 + 2)cos2x – 2msin2x + 1 = 0	có nghiệm
10)	sin2x – 4(cosx – sinx) = m	có nghiệm
Phương trình lượng giác trong các đề thi đại học, cao đẳng
1)	ĐH – A – 2002	
2) 	sin23x – cos24x = sin25x – cos26x	ĐH – B – 2002
3)	cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 , với x Ỵ [0 ; 14] 	ĐH – D – 2002	
4)	ĐH – A – 2003
5)	ĐH – B – 2003	
6)	ĐH – D – 2003
7)	5sinx – 2 = 3(1 – sinx)tan2x	ĐH – B – 2004
8) 	(2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx 	ĐH – D – 2004
9)	cos23x.cos2x – cos2x = 0	ĐH – A – 2005
10)	1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 	ĐH – B – 2005
11)	sin4x + cos4x + cos.sin = 0	ĐH – D – 2005 
12)	 (với x Ỵ (0 ; p)	Dự bị 1 ĐH – A – 2005
13)	Dự bị 2 ĐH – A – 2005	
14)	Dự bị 2 ĐH – B – 2005
15)	Dự bị 1 ĐH – D – 2005
16)	sin2x + cos2x + 3sinx – cosx – 2 = 0	Dự bị 2 ĐH – D – 2005
17)	ĐH – A – 2006
18)	ĐH – B – 2006
19) 	cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0 	ĐH – D – 2006
20)	cos3x.cos3x – sin3x.sin3x = 	Dự bị 1 ĐH – A – 2006
21)	2sin 	Dự bị 2 ĐH – A – 2006
22)	(2sin2x – 1)tan22x + 3(2cos2x – 1) = 0	Dự bị 1 ĐH – B – 2006
23)	cos2x + (1 + 2cosx)(sinx – cosx) = 0	Dự bị 2 ĐH – B – 2006
24)	cos3x + sin3x + 2sin2x = 1	Dự bị 1 ĐH – D – 2006
25)	4sin3x + 4sin2x + 3sin2x + 6cosx = 0	Dự bị 2 ĐH – D – 2006	
26)	(1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x	ĐH – A – 2007	
27)	2sin22x + sin7x – 1 = sinx	ĐH – B – 2007
28)	ĐH – D – 2007	
29)	Dự bị 1 ĐH – A – 2007
30)	 	Dự bị 2 ĐH – A – 2007
31)	Dự bị 1 ĐH – B – 2007
32)	Dự bị 2 ĐH – B – 2007
33)	Dự bị 1 ĐH – D – 2007
34)	(1 – tgx)(1 + sin2x) = 1 + tgx	Dự bị 2 ĐH – D – 2007
35)	ĐH – A – 2008
36)	sin3x – cos3x = sinxcos2x – sin2xcosx 	ĐH – B – 2008
37) 	2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx	ĐH – D – 2008
Bài tập trắc nghiệm: 
Nghiệm của phương trình sinx = cosx là:
Ⓐ	x = + k2p	Ⓑ	x = – + k2p	Ⓒ	x = + k	Ⓓ	x = ± + k2p.
Nghiệm của phương trình 1 – cos2x = 0 là:
Ⓐ	x = + k2p	Ⓑ	x = k2p	Ⓒ	x = kp 	Ⓓ	x = + k2p.
Nghiệm của phương trình tan2x = 0 là:
Ⓐ	x = k2p	Ⓑ	x = k	Ⓒ	x = kp 	Ⓓ	x = + kp.
Nghiệm của phương trình cos = là:
Ⓐ	x = 	Ⓑ	x = 	Ⓒ	x = 	Ⓓ	x = 
Nghiệm của phương trình cos + = 0 là:
Ⓐ	x = 	Ⓑ	x = 	Ⓒ	Cả A và B	Ⓓ	Đáp án khác
Nghiệm của phương trình cosx + cos = 0 là:
Ⓐ	x = 	Ⓑ	x = 
Ⓒ	x = 	Ⓓ	x = 
Nghiệm của phương trình cos + = 0 là:
Ⓐ	x = 	Ⓑ	x = 
Ⓒ	x = 	Ⓓ	x = 
Nghiệm của phương trình tan4x – 1 = 0 là:
Ⓐ	x = 	Ⓑ	x = 	Ⓒ	x = 	Ⓓ	x = 
Nghiệm của phương trình cot3x + 1 = 0 là:
Ⓐ	x = 	Ⓑ	x = 	Ⓒ	x = 	Ⓓ	x = 
Nghiệm của phương trình cot(x + 300) + = 0 là:
Ⓐ	x = 900 + k1800	Ⓑ	x = – 300 + k1800	Ⓒ	x = –900 + k1800	Ⓓ	x = –300 + k3600
Nghiệm của phương trình cos(x – 100) + sinx = 0 là:
Ⓐ	x = 1400 + k1800	Ⓑ	x = –1400 + k3600	Ⓒ	x = –1400 + k1800	Ⓓ	x = 1400 + k3600
Nghiệm của phương trình sin6x = sin là:
Ⓐ	x = + k	Ⓑ	x = + k	Ⓒ	Cả 2 nghiệm trên	Ⓓ	Kết quả khác
Nghiệm của phương trình sinx – cos = 0 là:
Ⓐ	x = – – k	Ⓑ	x = – k	Ⓒ	x = – – k2p	Ⓓ	x = – k2p
Nghiệm của phương trình sin(2x + 300) = sinx là:
Ⓐ	x = 300 + k3600	Ⓑ	x = 500 + k1200	Ⓒ	Cả 2 nghiệm trên	Ⓓ	Kết quả khác
Nghiệm của phương trình cot3x = 0 là:
Ⓐ	x = + kp	Ⓑ	x = + kp	Ⓒ	x = + k2p 	Ⓓ	x = + k
Một nghiệm của phương trình sin2x – cosx = 0 là:
Ⓐ	x = + k	Ⓑ	x = + k2p	Ⓒ	x = + kp 	Ⓓ	x = + k
Nghiệm của phương trình sinx + sin(x – 100) = 0 là:
Ⓐ	x = 50 + k1800 	Ⓑ	x = –50 + k1800	Ⓒx = 50 + k3600	Ⓓ	x = –50 + k3600
Nghiệm của phương trình tan(x – 100) + cot2x = 0 là:
Ⓐ	x = 1000 – k1800	Ⓑ	x = –1000 – k1800	Ⓒ	x = 800 – k1800	Ⓓ	x = 800 + k1800
Số nghiệm của phương trình sin2x = trên (– p ; 0) là:
Ⓐ	1	Ⓑ	2	Ⓒ	3	Ⓓ	4
Số nghiệm của phương trình cos(x – 2) = trên [0 ; p] là:
Ⓐ	1	Ⓑ	2	Ⓒ	3	Ⓓ	4
Số nghiệm của phương trình tan(x – 100) = 1 trên (–150 ; 150) là:
Ⓐ	0	Ⓑ	1	Ⓒ	2	Ⓓ	3
Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
Ⓐ	pcos(2x – 1) + = 0	Ⓑ	2008cosx – 2007 = 0
Ⓒ	(1 + )cos7x + 1 = 0 	Ⓓ	cosx + cos2007 = 0
Với giá trị nào