Hệ thống lý thuyết và các bài tập về Khảo sát hàm số

KHẢO SÁT HÀM SỐ
BÀI 1. MIỀN XÁC ĐỊNH, TRỤC ĐỐI XỨNG, TÂM ĐỐI XỨNG
I. Miền xác định: Tìm miền xác định của hàm số cho bởi công thức 
Lưu ý: 
 có nghĩa khi 
có nghĩa khi 
có nghĩa khi 
Ví dụ: Tìm miền xác định của các hàm số:
1) 
2) 	3) 
II. Trục đối xứng, tâm đối xứng: 
1) Trục đối xứng: để chứng minh đường thẳng là trục đối xứng của đồ thị ta đi chứng minh với 
Ví dụ: chứng minh dường thẳng là trục đối xứng của đồ thị 
2) Tâm đối xứng: 
Điểm là tâm đối xứng của 
Ví dụ: Cho đồ thị 
Chứng minh (H) nhận làm tâm đối xứng
3) Tìm tâm đối xứng cùa đồ thị hàm số
Ví dụ: Cho Tìm tất cả tâm đối xứng của 
Giải.
Miền xác định 
Ta tìm sao cho: 	(1)
Ta có: 
(1) xảy ra 
Vậy (C) chỉ có 1 tâm đối xứng I trên với 
BÀI 2. TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ
I. Tính đơn điệu
Cho hàm số có đạo hàm trong khoảng 
1) Hàm là hàm hằng trong khoảng 
2) 	a) Hàm tăng trong khoảng 
	b) Hàm giảm trong khoảng 
II. CỰC TRỊ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Điều kiện cần để có cực trị
Cho hàm số có đạo hàm tại 
Nếu hàm có đạt cực trị tại thì 
2.Điều kiện đủ để có cực trị
Điều kiện 1. Cho hàm số có đạo hàm trên và 
Nếu khi đi qua mà đổi dấu thì hàm số đạt cực trị tại 
Điều kiện 2. Cho hàm số có đạo hàm cấp 2 liên tục trên và 
Nếu thì hàm số đạt cực đại tại 
Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại 
B. CÁC DẠNG TOÁN
1. Cực trị của hàm đa thức
Cho là hàm đa thức
Cực trị của hàm số trên xảy ra tại các nghiệm đơn của 
2. Cực trị của hàm hữu tỷ
Cho hàm số ( là các đa thức) có miền xác định là 
Dấu của là dấu của 
Cực trị của hàm số xảy ra tại các nghiệm đơn thuộc của 
Nếu hàm số đạt cực trị tại thì giá trị cực trị được tính bởi công thức 
	(với )
BÀI 3. ĐIỂM UỐN, TÍNH LỒI, LÕM
A. TÓM TẮT
1. Định nghĩa
Gọi là đồ thị của hàm số có đạo hàm trên khoảng 
_ gọi là lồi trên khoảng nếu tiếp tuyến tại với luôn ở phía trên của .
_gọi là lõm trên khoảng nếu tiếp tuyến tại với luôn ở phía dưới của .
_ Điểm uốn là điểm ngăn cách phần lồi và phần lõm của .
2. Dấu hiệu của tính lồi, lõm
Cho hàm số có đạo hàm cấp hai trên khoảng có đồ thị là và 
Dấu hiệu
Kết luận
lồi trong khoảng 
lõm trong khoảng 
đổi dấu khi vượt qua 
là điểm uốn của 
B. CÁC DẠNG TOÁN
1. Tìm khoảng lồi, lõm, điểm uốn.
Để tìm khoảng lồi, lõm, điểm uốn của đồ thị hàm số ta thực hiện các bước
_ Tìm miền xác định D
_ Lập bảng xét dấu trên D
_ Dựa vào các dấu hiệu ở trên để xét tính lồi, lõm và điểm uốn.
Lưu ý: Nếu và không đổi dấu khi đi qua thì là điểm uốn.
BÀI 4. TIỆM CẬN
A. Tóm tắt
1. Định nghĩa: 
* 
* đồ thị :
 tiệm cận của 
2. Các dấu hiệu của tiệm cận
Cho đồ thị 
a) Tiệm cận đứng:
là tiệm cận đứng của 
b) Tiệm cận ngang
là tiệm cận ngang của 
c) Tiệm cận xiên
là tiệm cận xiên của 
B. PHƯƠNG PHÁP TÌM TIỆM CẬN
Để tìm tất cả các tiệm cận của hàm số ta thực hiện các bước
Tìm miền xác định của 
Tìm giới hạn của khi tiến đến các biên của miền xác định
Nhận dạng các loại tiệm cận dựa vào dấu hiệu sau:
 Dấu hiệu
Kết luận về tiệm cận 
 Tiệm cận đứng 
 Tiệm cận ngang 
 * Có thể có tiệm cận
_ Tìm 
_ Nếu và thì ta tìm 
_ Nếu thì có tiệm cận xiên 
_ Nếu thì có phương tiệm cận