Hướng dẫn tự học Chương I môn Giải tích lớp 12

 a) . b) 
Giải
a)
ŸTập xác định: 
Ÿ Đạo hàm: 
Ÿ Hàm số có cực đại và cực tiểuÛcó hai nghiệm phân biệt 
Vậy giá trị cần tìm là: và .
b)
ŸTập xác định: 
Ÿ Đạo hàm: 
Ÿ Hàm số có cực đại và cực tiểu Û có hai nghiệm phân biệt khác –1 Vậy giá trị cần tìm là: 
2. Với giá trị nào của tham số m thì hàm số không có cực trị. 
Giải
ŸTập xác định: 
Ÿ Đạo hàm: 
 (1)
Ÿ Xét :
 đổi dấu khi x đi qua 
Hàm số có cực trị không thỏa
Ÿ Xét :
Ÿ Hàm số không có cực trị phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
Vậy giá trị cần tìm là .
3. Cho hàm số . Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều.
Giải
Ÿ Tập xác định: 
Ÿ Đạo hàm: 
Hàm số có cực đại và cực tiểu Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0
. Khi đó :
Đồ thị hàm số có một điểm cực đại là và hai điểm cực tiểu là 
Các điểm A, B, C lập thành một tam giác đều (do ). Vậy giá trị cần tìm là: 
4.Cho hàm số . Xác định m để đồ thị của hàm số có cực tiểu mà không có cực đại.
Giải
Ÿ Tập xác định: 
Ÿ Đạo hàm: ; 
Hàm số có cực tiểu mà không có cực đại Phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 	
Vậy giá trị cần tìm là: 
B. Bài tập tự giải: 
Bài 1: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
y= 
y= 2sinx +cos2x trên 
y= 
Bài 2: Xác định tham số m để hàm số y=x3-3mx2+(m2-1)x+2 đạt cực đại tại x=2. 
Bài 3: Định m để hàm số sau đạt cực đại tại x=1: y = f(x) =-mx2+(m+3)x-5m+1
Bài 4: Xác định tham số m để hàm số y=x3-3mx2+(m2-1)x+2 đạt cực đại tại x=2. 	 
Bài 5: Định m để hàm số y = f(x) = x3-3x2+3mx+3m+4 
a.Không có cực trị.	b.Có cực đại và cực tiểu.	
Bài 6: Cho hàm số . Xác định m để đồ thị của hàm số có cực tiểu mà không có cực đại.
Bài 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Chuẩn kiến thức kỹ năng cần đạt
Ÿ Biết các khái niệm GTLN, GTNN của hàm số
Ÿ Kỹ năng tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [a;b]
Ÿ Kỹ năng tìm GTLN, GTNN của hàm số trên khoảng (a;b)
Ÿ Kỹ năng tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác đơn giản
3.1.Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s trên [a;b]:
 Ÿ Tính y’ 
 Ÿ Tìm nghiệm của y/ = 0 ( nếu có ) giả sử phương trình có các nghiệm thuộc (a;b) là x1 , x2,,xn
 + Tính y(a), y(b), y(x1), y(x2) y(xn)	
 + So sánh các giá trị vừa tính số lớn nhất, số nhỏ nhất.
3.2.Phương pháp tìm GTLN hoặc GTNN của hàm số trên (a;b) hoặc TXÐ :
 + Tìm TXÐ trong trường hợp chưa biết TXĐ
 + Tìm đạo hàm y/ . Tìm nghiệm y/ =0 ( nếu có ) .
 +Lập BBT: căn cứ bảng biến thiên kết luận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
II.BÀI TẬP:
A.Bài tập mẫu:
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
y= 2x3– 3x2– 12x+ 1 trên b) y= x2 + trong 
Giải
a)Xét x, ta có = 6x2 –6x –12 cho = 0 x= –1 ( vì x)
Ÿf(–2) = –3, f(–1) = 8 , f()= –17 Vậy: , 
b)Xét x, ta có = x– = cho = 0 x= 1
Ÿ Bảng biến thiên:
x
-¥ 0 1 +¥ 
y’
- 0 +
y
+¥ +¥ 
Vậy: Hàm số không có giá trị lớn nhất trong ; 
B. Bài tập tự giải: 
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x)=x2-2x+3. Kq:f(x) = f(1) = 2
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x2-2x+3 trên [0;3].	
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số 
 a/ y = 3 sinx – 4 cosx. b/ .	
 c/ 
Bài 4:ĐƯỜNG TIỆM CẬN
Chuẩn kiến thức kỹ năng cần đạt
Ÿ Biết khái niệm đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Ÿ Tìm được tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của một đồ thị hàm số
Ÿ Giả được bài toán liên quan đến tiệm cận của đồ thị hàm số
I.Tóm tắt lý thuyết:
*Tiệm cận đứng : x = x0 là tiệm cận đứng nếu có một trong các giới hạn sau 
Chú ý : Tìm x0 là những điểm hàm số không xác định 
*Tiệm cận ngang : 
 y = y0 là tiệm cận ngang nếu có một trong các giới hạn sau: 
II.BÀI TẬP:
A.Bài tập mẫu:
Ví dụ 1. Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị (C) của hàm số .
Giải.
Ÿ Vì ; Þ đường thẳng x = -2 là tiệm cận đứng của (C).
Vì nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của (C). 
Ví dụ 2. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số.
Giải.
Ÿ Vì (hoặc) nên đường thẳng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
 Þ đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang
B.Bài tập tự giải: 
Bài 1: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị của mỗi hàm số sau: 
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 
Bµi 2 X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ hµm sè: cã ®óng 2 tiÖm cËn ®øng.
Bài 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ
Chuẩn kiến thức kỹ năng cần đạt
Ÿ Biết sơ đồ tổng quát để khảo sát hàm số (tìm tập xác định, xét chiều biến thiên, tìm cực trị, tìm tiệm cận, lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị)
Ÿ Vận dụng giải được bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba, trùng phương, hàm hữu tỉ
5.1 Sơ đồ khảo sát Hàm đa thức:
b1. TXĐ
b2. Tìm y’, cho y’= 0 tìm nghiệm và giá trị y’ không xác định
b3. Giới hạn tại vô cực
x
Ghi taäp xaùc ñònh vaø nghieäm cuûa phöông trình y/=0
f’(x)
Xeùt daáu y/
f(x)
Ghi khoaûng taêng, giaûm , cöïc trò cuûa haøm soá
b4. BBT
Kết luận: Khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị.
Chú ý : y/ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì y/ luôn cùng dấu với a trừ nghiệm kép 
B5. Tìm y”, cho y”= 0 tìm nghiệm, suy ra điểm uốn ( chỉ thực hiện với hàm bậc 3 )
B6. Lập bảng giá trị. Ghi dòng x gồm hoành độ cực trị, điểm uốn và lấy thêm 2 điểm có hoành độ lớn hơn cực trị bên phải và nhỏ hơn cực trị bên phải) 
B7. Vẽ đồ thị. kết luận tâm đối xứng. trục đối xứng.
Caùc daïng ñoà thò haøm baäc 3:
 y y y y
 0 x 0 x 0 x 0 x 
Chuù yù: Ñoà thò haøm baäc 3 luoân nhaän ñieåm uoán laøm taâm ñoái xöùng.
Caùc daïng ñoà thò haøm truøng phöông:
II/ BÀI TẬP:
A/Bài tập mẫu:
 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y= 2x3– 9x2+ 12x– 4
Giải:
 Miền xác định: D= 
 = 6x2– 18x+ 12
 = 0 6x2– 18x+ 12=0
 = , 
Bảng biến thiên: 
	 x 1 2 +
 + 0 – 0 +
 y 1 +
 0 
Hàm số đồng biến trong 2 khoảng:(;1)và (2; +), nghịch biến trong khoảng: (1;2)
Hàm số đạt cực đại tại x=1; yCĐ=1, cực tiểu tại x=2; yCT=0
= 12x– 18 = 0 x= y= đồ thị có 1 điểm uốn I(;)
Điểm đặc biệt
x
0
1
2
3
y
-4
1
0
5
Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận I làm tâm đối xứng.
Ví dụ 2:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: 
y= x4– 2x2– 1
Giải:
 Miền xác định: D= 
 = 4x3– 4x cho = 0 4x3– 4x=0
 = 
Bảng biến thiên: x –1 0 1 
 – 0 + 0 – 0 + 
 y –1 
 –2 –2
Hàm số đồng biến trong 2 khoảng: (–1;0) và (1; ), nghịch biến trong 2 khoảng: (;–1) và (0;1)
Hàm số đạt cực đại tại x=0; yCĐ= -1, cực tiểu tại x= ±2; yCT= -2
Điểm đặc biệt
x
-2
-1
0
1
2
y
7
-2
-1
-2
7
Nhận xét: đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.
B/ Bài tập tự giải: Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị các hàm số sau:
1/ Dạng 1 : y = a3 + bx2 + cx +d
a/ y = 2x3 - 3x2 + 1 b/ y = x3 – x2 + x -1 c/ y = - x3 – x2 – x -1 d/y = - x3 + 3x + 1 e/y = x3-3x+1 f/ y = x3+3x-4 g/ y = (1-x)3 h/ y = 3x2-x3 i/y = -x3 –2 x2 -4 x +1 
 2/ Dạng 2 : y = ax4 + bx2 + c (a ¹ 0)
a/ y= x4 – 3x2 +2 b/ y= x4 + x2 – 4 c/ y= d/ y= 3 - 2x2 – x4 e/y= f/ y = x4 + 2x2 g/ y = - x4 + 2x2+2 h/ y = - 
5.2.Hàm phân thức : y = ( c ¹ 0; ad - bc ¹ 0 ) 
+ TXĐ : D = R\
+ Đạo hàm : y/ = kết luận tính đơn điệu của hàm số.
+ Tiệm cận: · x =là tiệm cận đứng vì 
 	 · y = là tiệm cận ngang vì 
+Bảng biến thiên :
x= -d/ c
y= a/c
x= -d/ c
y= a/c
+ Vẽ đồ thị : - Vẽ tiệm cận, trục toạ độ, điểm đặc biệt 
II/ BÀI TẬP:
A/Bài tập mẫu:
Ví dụ 1:khảo sát hàm số 
TXĐ : D
Sự biến thiên :
+ Giới hạn và tiệm cận : 
 là tiệm cận ngang
; là tiệm cận đứng
+> 0 ,D Þ Hàm số tăng trong 2 khoảng 
 x	 -	 -1	+ 	
y’	+	+	 	
y	 +	1	 	 	
 1 -
Đồ thị :	
Điểm đặc biệt
x
-3
-2
-1
0
1
y
2
3
-1
0
Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm I làm tâm đối xứng .
B/ Bài tập tự giải:
a/ b/ y= c/ y= d/y= e/y = 
f/y = g/ y = h/ y = 
MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHẢO SÁT HÀM SỐ
Bài toán 1: Viết phương tŕnh tiếp tuyến.
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C).Ta cần viết phương tŕnh tiếp tuyến với đồ thị (C) trong các trường hợp sau:
1. Tại điểm có toạ độ (x0;f(x0)) :
B1: Tìm f ’(x) f ’(x0)
B2: Phương tŕnh tiếp tuyến với (C) tại điểm (x0;f(x0)) là: y = (x–x0) + f(x0)
2.Tại điểm trên đồ thị (C) có hoành độ x0 :
B1: Tìm f ’(x) f ’(x0), f(x0) 
B2: Phương tŕnh tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0 là y = (x–x0) + f(x0)
3.Tại điểm trên đồ thị (C) có tung độ y0 :
B1: Tìm f ’(x) .
B2:Do tung độ là y0 Þf(x0)=y0. giải phương tŕnh này tìm được x0 Þ f /(x0) 
B3: Phương tŕnh tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y0 là: y = (x–x0) + y0
4.Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k:
B1: Gọi M0(x0;y0) là tiếp điểm .
B2: Hệ số góc tiếp tuyến là k nên: =k (*)
B3: Giải phương tŕnh (*) tìm x0 y0= f(x0) phương tŕnh tiếp tuyến.
Chú ý:
Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b thì có f /(x0)=a.
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b thì có f /(x0).a= -1.
5.Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x1;y1) :
B1:Phương tŕnh đường thẳng d đi qua A(x1;y1) có hệ số góc k là: y = k(x–x1) + y1 (1)
B2: d là tiếp tuyến của (C)hệ phương tŕnh sau có nghiệm:
B3:Giải hệ này ta tìm được k chính là hệ số góc của tiếp tuyến thế vào (1)Þphương tŕnh tiếp tuyến.
Bài toán 2: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ
Ÿ Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt: F(x; m) = 0 . 
Ÿ Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(m) .
Số nghiệm phương trình trên bằng số giao điểm của 2 đồ thị y=f(x) và y=g(x). Dựa vào đồ thị . ta có kết quả
Chú ý: Căn cứ tung độ cực đại và cực tiểu để phân chia các trường hợp biện luận. 
Bài toán 3: GIAO ÐIỂM HAI ÐỒ THỊ
1.Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x) ;	 (C2) : y = g(x) 
Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) nếu có là nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (1) 
· pt(1) vô nghiệm Û (C1) và (C2) không có giao điểm. 
 · pt(1) có n nghiệm Û (C1) và (C2) có n giao điểm. 
II.BÀI TẬP:
A.Bài tập mẫu:
Ví dụ 1: Cho đường cong (C): y= x3 -3x +1 và đường thẳng d đi qua điểm A(0;1) có hệ số góc k. biện luận số giao điểm của (C) và d.
Giải
Ÿ Phương trình đường thẳng d có dạng: y= kx + 1.
Ÿ Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là: x3 -3x +1=kx + 1 (1) 
 x(x2-3-k) = 0 .Ta có (2)= 3+k
Ÿ Nếu 3+k <0k<-3. Þ(2) vô nghiệm(1)có 1 nghiệm(C)và d có 1 giao điểm.
Ÿ Nếu 3+k = 0 k= -3. Phương trình (2) có nghiệm kép x=0 (C) và d có 1 giao điểm.
Ÿ Nếu 3+k >0 k> -3, g(0)=0