Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin - Nguyễn Hải Thanh

 U có khuynh hướng tăng lên λ ñơn vị. 
Phân tích ñường bàng quan 
ðường bàng quan là quỹ tích (tập hợp) tất cả các tổ hợp mức tiêu 
dùng hai mặt hàng (x, y) sao cho U = c cố ñịnh (xem hình IV.6). Lúc ñó 
cũng có dU = Uxdx + Uydy = 0. 
Như vậy x và y có thể thay thế lẫn nhau ñể giữ nguyên ñược mức 
thỏa dụng U của người tiêu dùng, hay U(x, y) − c = 0. Với một số ñiều 
kiện nhất ñịnh (như ñã phân tích trong ñịnh lí hàm ẩn), có thể coi y là 
x 
ðường 
ngân quỹ 
x 
y 
O 
E y 
ðường 
bàng quan 
Hình IV.6 
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..86 
hàm ẩn của x, hay y = y(x). Do dU = Uxdx + Uydy = 0 nên trên ñường 
bàng quan ta có: 
y
x
y
x
P
P
U
U
dx
dy
−=−=
ðây là tỉ lệ thay thế biên giữa hai loại hàng hóa ñể giữ cho mức thỏa 
mãn U của người tiêu dùng cố ñịnh trên ñường bàng quan. Muốn ñạt 
Umax với ngân quỹ B ñã cho, cần xác ñịnh tiếp ñiểm ( )y,x của ñường 
ngân quỹ (xPx + yPy = B) với một trong các ñường bàng quan. 
Theo phân tích trên tại ( )y,x ta có 
y
x
y
x
P
P
U
U
= . 
ðiều kiện ñủ ñể có Umax ñạt tại ( )y,x : 
0
UUP
UUP
PP0
H
yyxyy
xyxxx
yx
>= 0UPUPUPP2H yy
2
xxx
2
yxyyx >−−=⇔ . 
Sau ñây chúng ta tính 2
2
dx
yd
 cho hàm ẩn y = y(x) (khi U(x, y) = c = 
const): 
2
yx x
y x2 2
y y
dUU dUd y d dy d 1 U U
dx dx dx U dx dxdx U
    
= = − = − −          
 











+−





+−=
dx
dyUUU
dx
dyUUU
U
1
yyxyxxyxxy2
y
. 
Từ ñiều kiện x x
y y
U Pdy
dx U P
= − = − , ta có: 
2
2
dx
yd x x
y xx xy x xy yy2
y yy
P P1 U U U U U U
P PU
    
= − − − −            
. 
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..87 
Thay y xx
y
U P
U
P
= vào biểu thức trên và rút gọn, cuối cùng sẽ nhận ñược: 
2 22
x y xy y xx x yy
2 2 2
y y y y
H2P P U P U P Ud y
dx U P U P
− −
= = . 
Vậy nếu ñiều kiện ñủ ñược thỏa mãn thì 2
2
dx
yd
 > 0. Do ñó ñường bàng 
quan (là ñồ thị hàm lồi) có tính lõm xuống. 
Phân tích so sánh tĩnh 
Xét bài toán cực ñại hóa hàm thỏa dụng (với hai loại hàng hóa), thì 
ñiều kiện cần là: 
x y
x x x
y y y
B xP yP 0Z 0
Z 0 U (x, y) P 0
Z 0 U (x, y) P 0.
λ
− − = =

= ⇔ − λ = 
 
=
− λ = 
với Z = U(x, y) – (B – Pxx – Pyy). Có thể áp dụng ñịnh lí hàm ẩn, ñể có: 
1
x y x y x y
2
x y x x x y
3
x yx y y y
F ( , x, y, B,P ,P ) B xP yP 0 (B,P ,P )
F ( , x, y, B,P ,P ) U (x, y) P 0 x x(B,P ,P )
y y(B,P ,P ).F ( , x, y, B,P ,P ) U (x, y) P 0
 λ = − − = λ = λ
  λ = − λ = ⇒ = 
 
=λ = − λ = 
Ma trận Jacoby là: 










−
−
−−
=
yyxyy
xyxxx
yx
UUP
UUP
PP0
J 
Theo ñịnh lí hàm ẩn sẽ có: 
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..88 
1
x y 2
x xx xy
3y xy yy
F
BB0 P P 1
x FP U U 0
B B
0P U U y F
B B
 ∂ ∂λ
   ∂∂   − −   − 
   ∂ ∂   
− × = − =      ∂ ∂      
−  ∂   ∂ 
  ∂ ∂   
⇒ 
x xy
y yy
x xx
y xy
P Ux 1
P UB J
P Uy 1
 .
P UB J
 −∂
=
−∂

−∂ −
=
−∂
Dấu của các ñạo hàm riêng trên có thể dương hay âm tùy theo từng 
trường hợp. Cần nói tới một số thuật ngữ sau: Mặt hàng thứ nhất là mặt 
hàng thông thường nếu 0
B
x
>
∂
∂ (tức là nếu ngân quỹ B tăng thì mức tiêu 
dùng cân bằng ñối với mặt hàng thứ nhất có khuynh hướng tăng), là thứ 
cấp nếu 0
B
x
<
∂
∂ (tức là nếu ngân quỹ B tăng thì mức tiêu dùng cân bằng 
ñối với mặt hàng thứ nhất lại có khuynh hướng giảm). ðiều tương tự 
cũng ñược phát biểu cho với mặt hàng thứ hai. Ngoài ra, cũng có thể 
phân tích các ảnh hưởng của giá cả ñến x , y nếu tiếp tục ñánh giá 
x
x
P
∂
∂
, 
x
y
P
∂
∂
,
y
x
P
∂
∂
,
y
y
P
∂
∂
. Tuy nhiên những phân tích kiểu này khá phức tạp nên 
chúng ta không trình bày ở ñây, bạn ñọc quan tâm có thể xem thêm trong 
tài liệu tham khảo. 
3. Hàm sản xuất và vấn ñề phân bố ñầu vào tối ưu 
3.1. Hàm ñẳng cấp 
ðịnh nghĩa 5. Hàm z = f(x1, x2, ..., xn) ñược gọi là hàm ñẳng cấp bậc r 
hay hàm thuần nhất bậc r nếu f(jx1, jx2, ..., jxn) = jr f(x1, x2, ..., xn) ñúng với 
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..89 
giá trị j bất kỳ (giả sử rằng cả hai ñiểm (x1, x2, ..., xn) và (jx1, jx2, ..., jxn) 
ñều nằm trong miền xác ñịnh của hàm f). 
Ví dụ 14. Hàm
x
w2
y
x)w,y,x(f
22
+= là hàm ñẳng cấp bậc một. 
Hàm f(x, y, w) = x
y
 + 
2w
3x
 là hàm ñẳng cấp bậc 0. 
Ví dụ 15. Xét hàm sản xuất có dạng Q = f(K, L) với Q là lượng sản 
xuất ñầu ra, K là mức vốn, còn L mức lao ñộng. Thông thường giả sử 
hàm sản xuất là hàm ñẳng cấp bậc một, tức là: f(jK, jL) = j×f(K, L). Các 
hàm sản xuất ñẳng cấp bậc một còn ñược gọi là hàm sản xuất với hiệu 
suất không ñổi (constant – return – to – scale), tức là nếu chúng ta mở 
rộng quy mô sản xuất một cách cộng tính, bố trí j nhà máy cùng cỡ tương 
tự như nhà máy hiện có, thì mức sản xuất ñầu ra sẽ tăng j lần). Sau ñây là 
các tính chất của hàm sản xuất bậc một. 
Tính chất 1. Xét hàm sản xuất ñẳng cấp bậc một: Q = f(K, L). Lúc 
ñó, hàm sản phẩm trung bình theo lao ñộng APPL = Q/L và hàm sản 
phẩm trung bình theo vốn APPK = Q/K là các hàm số của tỉ lệ mức vốn 
trên mức lao ñộng k = K/L. 
Chứng minh 
L
Q f (K,L) K LAPP f , f (k,1) (k)
L L L L
 
= = = = = Φ 
 
và K
Q Q L (k)APP
K L K k
Φ
= = × = . 
Tính chất 2. Cho hàm sản xuất Q = f(K, L) ñẳng cấp bậc một. Lúc 
ñó hàm sản phẩm biên theo lao ñộng MPPL và hàm sản phẩm biên theo 
vốn MPPK cũng là các hàm của tỉ lệ mức vốn trên mức lao ñộng k = K/L. 
Chứng minh 
Ta có: 
[ ]K QMPP L (k) L ( (k))K K K
∂ ∂ ∂
= = Φ = Φ
∂ ∂ ∂
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..90 
Ld (k) k 1L (k) (k)
dk K L
Φ ∂
′ ′= × = Φ × = Φ
∂
. 
Tương tự ta tính ñược: 
[ ]L Q d kMPP (L (k)) (k) L (k)L L dk L
∂ ∂ ∂
= = Φ = Φ + Φ ×
∂ ∂ ∂
 2
K(k) L (k) (k) k (k)
L
 
′ ′= Φ + Φ × − = Φ − Φ 
 
. 
Tính chất 3 (ðịnh lí Euler). 
Xét hàm sản xuất ñẳng cấp bậc một: Q = f(K, L). Lúc ñó ta có: 
Q
L
QL
K
QK =
∂
∂
+
∂
∂
. 
Chứng minh 
Q QK L K (k) L( (k) k '(k))
K L
∂ ∂
′+ = × Φ + Φ − Φ
∂ ∂
 ( )K (k) Lk '(k) L (k) L (k) Q′= ×Φ − Φ + Φ = Φ = . 
Phân tích ý nghĩa của ñịnh lí Euler: Giả sử chúng ta ñịnh lượng K, L 
và Q theo ñơn vị tiền tệ. Nếu trả công ñóng góp vốn K theo tỉ lệ quy ñịnh 
bởi hàm sản phẩm biên theo vốn MPPK, và nếu trả công ñóng góp lao 
ñộng theo tỉ lệ quy ñịnh bởi hàm sản phẩm biên theo lao ñộng MPPL thì 
tổng giá trị sản phẩm làm ra cũng bị “vét cạn” theo tỉ lệ phân phối 
(distributive shares) trên ñây. Do ñó, lãi dòng về mặt kinh tế sẽ còn lại 
bằng 0. ðây là ñiểm hạn chế của hàm sản xuất ñẳng cấp bậc một hay hàm 
sản xuất hiệu suất không ñổi. ðặc biệt trong ñiều kiện cạnh tranh không 
hoàn hảo, tiền trả công không nhất thiết tuân theo các tỉ lệ MPPK và 
MPPL, thì ñịnh lí Euler cũng không ñóng vai trò gì trong bức tranh phân 
phối tổng giá trị sản phẩm làm ra. Tuy nhiên, do tính chất dễ áp dụng và 
tính toán ñơn giản, hàm sản xuất ñẳng cấp bậc một vẫn ñược sử dụng 
rộng rãi trong các phân tích kinh tế. 
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..91 
3.2. Hàm sản xuất dạng Cobb–Douglas 
Hàm sản xuất Cobb–Douglas phụ thuộc vào các ñầu vào là mức vốn 
ñầu tư K và lượng lao ñộng L có dạng βα ××== LKA)L,K(fQ , với 
ñiều kiện α > 0 và β > 0. Ở ñây, A là hệ số công nghệ (ñược coi là hằng 
số tại thời ñiểm t nào ñó), Q là mức sản xuất ñầu ra. Có thể chứng minh 
ñược, hàm sản xuất ñã cho là hàm ñẳng cấp bậc α + β vì: 
f ( jK, jL) A(Kj) (Lj) j AK L j AK L j f (K, L)α β α+β α β α+β α β α+β= = = = . 
Bằng cách xét hàm ẩn K = K(L) ñối với các ñiểm (K, L) nằm trên 
cùng một ñường ñồng mức sản xuất Q = Q0 = const (tức là F(K, L) = 
Q(K, L) – Q0 = 0), có thể áp dụng ñịnh lí hàm ẩn ñể chứng minh ñược: 
dK F / L / L K
dL F / K / K L
∂ ∂ β β
= − = − = −
∂ ∂ α α
< 0 
và 
2
2 2
d K d K d K 1 dKL K
dL L dL L dLdL L
β β β     
= − = − = − −     α α α     
 > 0. 
Do ñó, ñường ñồng mức của hàm sản xuất dạng Cobb – Douglas có 
dạng lõm xuống. 
Xét trường hợp α + β = 1 ta có hàm sản xuất α−α= 1LAKQ . ðây là 
hàm ñẳng cấp bậc một. Chúng ta ñi kiểm tra lại kết quả của ñịnh lí Euler. 
Ta có: 
α
αα−α
=





=== Ak
L
KA
L
LAK
L
QAPP
1
L , 
1
K
Q Q L AkAPP Ak
K L K k
α
α−
= = × = = , 
1
L kAMPP
−αα= , 
αα−= k)1(AMPPK . 
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..92 
Do ñó: 
L
QL
K
QK
∂
∂
+
∂
∂
=
1 1KA K L LAK (1 )Lα− −α α −αα + − α 
1 1A K L (1 )K Lα −α α −α = α + − α  =
1AK L Qα −α = 
Ta có nhận xét: α=∂∂ Q
)K/Q(K
 còn α−=∂∂ 1Q
)L/Q(L
, nên có thể 
kết luận rằng nếu trả công vốn K và lao ñộng L theo các tỉ lệ tương ứng 
MPPK và MPPL thì các tỉ lệ phân chia tương ñối (relative share) của tổng 
giá trị sản phẩm làm ra Q cho K và L sẽ ñúng bằng các số mũ α và 1 − α. 
Mặt khác có thể thấy 
QL
Q / Q Q / L A(1 )K L 1
L / L Q / L AK L
α −α
α −α
∂ ∂ ∂ − α ×
ε = = = = − α
∂ ×
1 1
QK 1 1
Q / Q Q / K A K L
K / K Q / K AK L
α− −α
α− −α
∂ ∂ ∂ α
ε = = = = α
∂
. 
Vậy hệ số co giãn của sản lượng Q theo K (vốn) chính là lũy thừa α 
của K trong biểu thức α−α= 1LAKQ , còn theo L (lao ñộng) là 1 − α. 
Ví dụ 16. Xét hàm sản xuất Q = 100×K0,6L0,4 có QKε = 0,6 và 
QL 0,4ε = . ðiều này có nghĩa rằng: Khi K tăng thêm 1% thì Q tăng thêm 
0,6% , còn nếu L tăng thêm 1% thì Q tăng thêm 0,4%. 
Ví dụ 17. Xét hàm sản xuất dạng Cobb – Douglas tổng quát với 3 
biến ñầu vào trong một mô hình chăn nuôi: 1 2 3Q Ax x xα β δ= tức là Q phụ 
thuộc vào các ñầu vào x1 (chẳng hạn là tiền mua thức ăn ñể chăn nuôi), 
x2 (tiền mua giống), x3 (tiền trả công lao ñộng). Hãy trả lời các câu hỏi 
sau ñây: 
a) Với ñiều kiện nào của α, β, δ thì hàm sản xuất trên ñây là hiệu 
suất không ñổi ha