Giải pháp nâng cao chất lượng môn Toán - Vấn đề phương pháp tọa độ trong không gian dành cho học sinh trung bình yếu - Nguyễn Thành Nam

rong không gian Oxyz Cho và ta có
 và cùng phương
Cho A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB) thì 	
 là trung điểm AB thì M
Tích vô hướng và ứng dụng 
Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của và là:
 (với )
 và vuông góc 
Phương trình mặt cầu
Mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán kính r có phưong trình (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = r2 
Phương trình : x2 + y2  + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với A2+B2+C2-D > 0 
 là phương trình mặt cầu tâm I(-A;-B;-C) , bán kính .
BÀI TẬP:
Bài 1. 
Viết tọa độ của các vectơ say đây: +; ; 	;	
Bài 2. 
Cho ba vectơ = ( 2; -1 ; 0 ),= ( -1; -2; 2) , = (-2 ; 1; 0 ).
Tìm tọa độ của vectơ : = -2+ 3- 5 và = 3- 2
Chứng tỏ và 
Bài 3. Cho 2 vectơ = (1; 2; 3) Tìm tọa độ của vectơ , biết rằng: 
 a) 	b) 
Bài 4.
 Cho ba điểm không thẳng hàng: 
Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Tính chu vi tam giác ABC
Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
Tìm tọa độ diểm M sao cho 
Bài 5. 
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). 
Tìm tọa độ các đỉnh còn lại.
Tìm tọa độ trọng tâm G, G’ lần lượt của tứ diện A.A’BD và C’.CB’D’
Chứng tỏ rằng: 3GG’ = AC’
Bài 6: 
Xác định tọa độ của tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây:
Bài 7.
Viết phương trình mặt cầu:
Tâm I(2;1;-1), bán kính R = 4.	
Đi qua điểm A(2;1;-3) và tâm I(3;-2;-1).
Hai đầu đường kính là A(-1;2;3), B(3;2;-7)
Đi qua bốn điểm (0; 0; 0), A(2; 2; 3), B(1; 2; -4), C(1; -3; -1)
Đi qua điểm A(1;3;0) ,B(1;1;0) và tâm I thuộc 0x.
§ 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng: 
 ≠ là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (a) ^ (a)
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
* Định nghĩa: 
Trong không gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0 
 với A2+B2+C2 ≠ 0 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng 
Mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = 0 có véctơ pháp tuyến là 
 Mặt phẳng (P) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và nhận làm vectơ pháp tuyến có phương trình dạng: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0.
Nếu (P) có cặp vectơ không cùng phương và có giá song song hoặc nằm trên (P) thì vectơ pháp tuyến của (P) được xác định 
 = 
* Các trường hợp riêng của phương trình măt phẳng
Trong không gian Oxyz cho mp(: Ax + By + Cz + D = 0. Khi đó:
D = 0 khi và chỉ khi (đi qua gốc tọa độ.
A=0 ,B ,C , D khi và chỉ khi song song với trục Ox
A=0 ,B = 0 ,C, D khi và chỉ khi song song mp (Oxy )
A,B,C,D . Đặt Khi đó 
(Các trường hợp còn lại xét tương tự)
3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho (): Ax+By+Cz+D = 0, (’):A’x+B’y+C’z+D’= 0 
()cắt (’) Û A : B : C ≠ A’: B’: C’
() // (’) Û A : A’ = B : B’ = C : C’ ≠ D : D’
() ≡ (’) Û A : B : C : D = A’: B’: C’: D’
Đặc biệt
() (’) 
4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mp(α): Ax + By + Cz + D = 0 cho bởi công thức :
BÀI TẬP
Bài 1. 
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vtpt biết
a. Điểm	b. 	
c, 	d, 
Bài 2: 
Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A( 3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D(-1;1;2)
Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AC.
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD.
Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa CD và vuông góc với mp(ABC)
Bài 3.
	Lập phương trình mp đi qua điểm M và song song với mp biết:
a. 	b. 
c. 	d. 
Bài 4: 
Lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua M(1;1;1) và 
a. Song song với các trục 0x và 0y.	
b. Song song với các trục 0x,0z.
c. Song song với các trục 0y, 0z.
Bài 6: 
Lập phương trình của mặt phẳng đi qua 2 điểm M(1;-1;1) và B(2;1;1) và :
	 a. Cùng phương với trục 0x.
	 b. Cùng phương với trục 0y.
 c. Cùng phương với trục 0z.
Bài 7:
	Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) biết :
 a. (P) đi qua điểm A(-1;3;-2) và nhận làm VTPT.
 b. (P) đi qua điểm M(-1;3;-2) và song song với (Q): x+2y+z+4=0.
 c. (P) đi qua I(2;6;-3) và song song với các mặt phẳng toạ độ
Bài 8: 
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y - z - 6 = 0
Viết phương trình mp (Q) đi qua gốc tọa độ O và song song với mp (P).
Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P). ( TNPT năm 1993)
Bài 9*: 
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y – z +5 = 0 và (Q): 2x – z = 0 
Chứng tỏ hai mặt phẳng đó cắt nhau
Lập phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) và đi qua A(-1;2;3).
Lập phương trình mặt phẳng (b) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) và song song với Oz.
Lập phương trình mặt phẳng () đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q).
Bài 10: 
Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a. Đi qua hai điểm A(0;-1;4) và có cặp VTCP là và 
b. Đi qua hai điểm B(4;-1;1) và C(3;1;-1) và cùng phương với trục 0x.
Bài 11: 
Cho tứ diện ABCD có A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) .
a. Viết phương trình tổng quát các mặt phẳng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD).
b. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua cạnh AB và song song vói CD. 
Bài 12:
Viết phương trình tổng quát của (P) 
a. Đi qua ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3) .
b. Đi qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (Q) : x+2y+3z+4=0
c. Chứa 0x và đi qua A(4;-1;2) ,
d. Chứa 0y và đi qua B(1;4;-3)
Bài 15: 
Cho hai điểm A(3;2;3) B(3;4;1) trong không gian 0xyz 
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) là trung trực của AB.
b. Viết phương trình mp(Q) qua A vuông góc (P) và vuông góc với (y0z) 
 c. Viết phương trình mặt phẳng (R) qua A và song song với mp(P).
Bài 16: 
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x + ky + 3z – 5 = 0 và 
 (Q): mx - 6y - 6z + 2 = 0
Xác định giá trị k và m để hai mặt phẳng (P) và (Q) song song nhau, lúc đó hãy tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng.
Trong trường hợp k = m = 0 gọi (d) là giao tuyến của (P) và (Q)
Bài 17: 
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. 
Chứng minh rằng mp(AB’D’) song song mp(BC’D)
Tính khoảng cách giửa hai mặt phẳng trên.
Chứng minh rằng A’C vuông góc (BB’D’D)
§ 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
Phương trình tham số của đường thẳng:
* Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vec tơ chỉ phương :
 * Nếu a1, a2 , a3 đều khác không. Phương trình đường thẳng viết dưới dạng chính tắc như sau:
Vị trí tương đối của các đường thẳng và các mặt phẳng
1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Trong Kg Oxyz cho hai đường thẳng 
d có vtcp đi qua M(xo;yozo); 
d’có vtcp đi qua M’(xo;yozo);
, cùng phương 
d // d’Û 
d ≡ d’ Û 
, không cùng phương 
 (I)
d cắt d’ Û Hệ Phương trình (I) có một nghiệm
d chéo d’Û Hệ Phương trình (I) vô nghiệm
2. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng 
Trong Kg Oxyz cho (α): Ax+By+Cz+D = 0 và 
pt: A(xo+a1t) + B(yo+a2t) + C(z0+a3t) + D = 0 (1)
Phương trình (1) vô nghiệm thì d // (α)
Phương trình (1) có một nghiệm thì d cắt (α)
Phương trình (1) có vô số nghiệm thì d(α)
Đặc biệt :
 () () cùng phương
E. BÀI TẬP
Bài 1 
Lập phương trình tham số và chính của đường thẳng (d) trong các trường hợp sau :
a. (d) đi qua điểm M(1;0;1) và nhận làm VTCP
b. (d) đi qua 2 điểm A(1;0;-1) và B(2;-1;3)
c. (d) đi qua A(2; -1; 3) và vuông góc mặt phẳng (P): 3x + 2y – z + 1 = 0
Bài 2 
Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm M(2;3;-5) và song song với đường thẳng (d) có phương trình: 
Bài 3 
Viết phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng (d) trong trường hợp sau:
Đi qua hai điểm A(1;3;1) và B(4;1;2).
Đi qua M(2;-1;1) vuông góc với mặt phẳng (P) : 2x – z + 1= 0. Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
(d) là giao tuyến của hai mặt phẳng 
Bài 4
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
 d: và d’ : 
 d: và d’: 
Bài 5
Cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi : 
a) CMR hai đường thẳng đó cắt nhau. Xác định toạ độ giao điểm của nó.
b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d1),(d2).
Bài 6 
Xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P), tìm giao điểm nếu có.
a) (P): x-y+z+3=0	
b) (P): y+4z+17=0
Bài 7
Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng d: 
Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d
Tìm tọa độ điể A’ đối xứng với A qua đường thẳng d.
Bài 8 
Cho điểm M(1; 4; 2) và mặt phẳng 
Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên 
Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng 
Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng 
Bài 9 	
Trong không gian Oxyz cho A(3;-1;0) , B(0;-7;3) , C(-2;1;-1) , D(3;2;6).
Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
Viết phương trình đường thẳng (d) qua D vuông góc với mặt phẳng (ABC).
Tìm tọa độ điểm D’ đối xứng D qua mặt phẳng (ABC).
Tìm tọa độ điểm C’ đối xứng C qua đường thẳng AB
Bài 10 
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. 
Tính khoảng cách từ đỉnh A đến các mặt phẳng (A’BD) và (B’D’C).
Chứng tỏ rằng AC’ vuông góc mặt phẳng (A’BD) và (B’D’C).
MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TỔNG HỢP
Bài 1: 
Trong không gian tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(-1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4).
Chứng minh tam giác ABC vuông. Viết phương trình tham số của đương thẳng AB.
Gọi M là điểm sao cho . Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng BC. (Đề thi tốt nghiệp 2006)
Bài 2: 
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm E(1; 2; 3) và mặt phẳng có phương trình x + 2y – 2z + 6 = 0.
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là góc tọa độ O và tiếp xúc mặt phẳng .
Viết phương trình tham số của đường thẳng () đi qua điểm E và vuông góc mặt phẳng . (Đề thi tốt nghiệp 2007 Lần 1)
Bài 3: 
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(1; 0; 2), N(3; 1; 5) và đường thẳng (d) có phương trình 	
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng (d).
Viết phương trình tham số của đương thẳng đi qua hai điểm M và N.
(Đề thi tốt nghiệp 2007 Lần 2)
Bài 4: 
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 4; -1), B(2; 4; 3) và C(2; 2; -1)
Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC.
Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
(Đề thi tốt nghiệp 2008)
Bài 5: 
Trong kh