Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT Chuyên Nguyễn Trãi - Môn Toán - Năm học 2009-2010

Ii ( 3 điểm) :
 Cho phương trình : (1) , (m là tham số).
Giải phương trình (1) với m = -5.
Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt mọi m.
Tìm m để đạt giá trị nhỏ nhất ( là hai nghiệm của phương trình (1) nói trong phần 2/ ) .
Bài Iii ( 3,5 điểm) :
 Cho đường tròn (O) và hai điểm A , B phân biệt thuộc (O) sao cho đường thẳng AB không đi qua tâm O . Trên tia đối của tia AB lấy điểm M khác điểm A , từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến phân biệt ME , MF với đường tròn (O) , ( E , F là hai tiếp điểm ) . Gọi H là trung điểm của dây cung AB ; các điểm K ,I theo thứ tự là giao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng OM và OH .
Chứng minh 5 điểm M , H , O , E , F cùng nằm trên một đường tròn .
Chứng minh : OH . OI = OK . OM
Chứng minh IA , IB là các tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài Iv( 1 điểm) :
 Tìm tất cả các cặp số (x;y ) thoả mãn : để x+ y là số nguyên.
đề thi số 16
Năm học 2007- 2008
ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT – TP hà nội
Bài 1: (2,5 điểm)
Cho biểu thức P= 
1. Rỳt gọn biểu thức P
2. Tỡm x để P < 
Bài 2: (2,5 điểm)
Giải bài toỏn sau bằng cỏch lập phương trỡnh
Một người đi xe đạp từ A đến B cỏch nhau 24km. Khi từ B trở về A người đú tăng vận tốc thờm 4km/h so với lỳc đi, vỡ vậy thời gian về ớt hơn thời gian đi 30 phỳt. Tớnh vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B.
Bài 3: (1 điểm)
Cho phương trỡnh 
 1. Giải phương trỡnh khi b= -3 và c=2
 2. Tỡm b,c để phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm phõn biệt và tớch của chỳng bằng 1
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho đường trũn (O; R) tiếp xỳc với đường thẳng d tại A. Trờn d lấy điểm H khụng trựng với điểm A và AH <R. Qua H kẻ đường thẳng vuụng gúc với d, đường thẳng này cắt đường trũn tại hai điểm E và B ( E nằm giữa B và H)
1. Chứng minh gúc ABE bằng gúc EAH và tam giỏc ABH đồng dạng với tam giỏc EAH.
2. Lấy điểm C trờn d sao cho H là trung điểm của đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB tại K. Chứng minh AHEK là tứ giỏc nội tiếp.
3. Xỏc định vị trớ điểm H để AB= R.
Bài 5: (0,5 điểm)
Cho đường thẳng y = (m-1)x+2
Tỡm m để khoảng cỏch từ gốc tọa độ đến đường thẳng đú là lớn nhất.
Gợi ý một phương ỏn bài giải đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT- Hà Nội
Năm học 2007-2008
Bài 1:
P= 
1. Kết quả rỳt gọn với điều kiện xỏc định của biểu thức P là 
2. Yờu cầu . Đối chiếu với điều kiện xỏc định của P cú kết quả cần tỡm là 
Bài 2: 
Gọi vận tốc khi đi là x (đơn vị tớnh km/h, điều kiện là x>0) ta cú phương trỡnh . Giải ra ta cú nghiệm x=12(km/h)
Bài 3: 
1. Khi b=-3, c= 2 phương trỡnh x2-3x+2=0 cú nghiệm là x=1, x=2
2. Điều kiện cần tỡm là 
Bài 4:
1. vỡ cựng chắn cung AE. Do đú tam giỏc ABH và EHA đồng dạng.
2. nờn hay. Vậy tứ giỏc AHEK là nội tiếp đường trũn đường kớnh AE.
3. M là trung điểm EB thỡ OM vuụng gúc BE, OM=AH. Ta cú đều cạnh R. Vậy AH= OM=
Bài 5: 
Đường thẳng y = (m-1)x+2 mx= y+x-2đi qua điểm cố định A(0;2). Do đố OA=2. Khoảng cỏch lớn nhất từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là OA=2, xảy ra khi d vuụng gúc với OA hay hệ số gúc đường thẳng d là 0 tức là m-1.
đề thi số 17
Năm học 2007- 2008
Kè THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – TP HO CHI MINH
 (TG: 120 phỳt)
Cõu 1: (1, 5 điểm)
Giải cỏc phương trỡnh và hệ phương trỡnh sau:
x2 – 2x + 4 = 0
x4 – 29x2 + 100 = 0
Cõu 2: (1, 5 điểm)
Thu gọn cỏc biểu thức sau:
a) 
b)
Cõu 3: (1 điểm)
Một khu vườn hỡnh chữ nhật cú diện tớch bằng 675 m2 và cú chu vi bằng 120 m. Tỡm chiều dài và chiều rộng của khu vườn.
Cõu 4: (2 điểm)
Cho phương trỡnh x2 – 2mx + m2 – m + 1 = 0 với m là tham số và x là ẩn số.
a) Giải phương trỡnh với m = 1.
b) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt x1 ,x2.
c) Với điều kiện của cõu b hóy tỡm m để biểu thức A = x1 x2 - x1 - x2 đạt giỏ trị nhỏ nhất.
Cõu 5: (4 điểm)
Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn (AB < AC). Đường trũn đường kớnh BC cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F. Biết BF cắt CE tại H và AH cắt BC tại D.
a) Chứng minh tứ giỏc BEFC nội tiếp và AH vuụng gúc với BC.
b) Chứng minh AE.AB = AF.AC.
c) Gọi O là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC và K là trung điểm của BC.
Tớnh tỉ số khi tứ giỏc BHOC nội tiếp.
d) Cho HF = 3 cm, HB = 4 cm, CE = 8 cm và HC > HE. Tớnh HC.
Gợi ý một phương ỏn bài giải đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT
Năm học 2007-2008
Cõu 1: 
a) Ta cú Δ’ = 1 nờn phương trỡnh cú 2 nghiệm phõn biệt là x1 = 5 – 1 và x2 = 5 + 1.
b) Đặt t = x2 ≥ 0, ta được phương trỡnh trở thành t2 – 29t + 100 = 0 t = 25 hay t =2.
* t = 25 x2 = 25 x = ± 5.
* t = 4 x2 = 4 x = ± 2.
Vậy phương trỡnh đó cho cú 4 nghiệm là ± 2; ±5.
c)
Cõu 2: 
a) 
b) 
Cõu 3: 
Gọi chiều dài là x (m) và chiều rộng là y (m) (x > y > 0).
Theo đề bài ta cú: 
Ta cú: (*) x2 – 60x + 675 = 0 x = 45 hay x = 15.
Khi x = 45 thỡ y = 15 (nhận)
Khi x = 15 thỡ y = 45 (loại)
Vậy chiều dài là 45(m) và chiều rộng là 15 (m)
Cõu 4: 
Cho phương trỡnh x2 – 2mx + m2 – m + 1 = 0 (1)
a) Khi m = 1 thỡ (1) trở thành:
x2 – 2x + 1 = 0 (x – 1)2 = 0 x = 1.
b) (1) cú hai nghiệm phõn biệt x1, x2
Δ’ = m – 1 > 0 m > 1.
Vậy (1) cú hai nghiệm phõn biệt x1, x2 m > 1.
c) Khi m > 1 ta cú:
S = x1 + x2 = 2m và P = x1x2 = m2 – m + 1
Do đú: A = P – S = m2 – m + 1 – 2m = m2 – 3m + 1 = − ≥ –.
Dấu “=” xảy ra m= (thỏa điều kiện m > 1)
Vậy khi m = thỡ A đạt giỏ trị nhỏ nhất và GTNN của A là –.
Cõu 5: 
a) * Ta cú E, F lần lượt là giao điểm của AB, AC với đường trũn đường kớnh BC.
Tứ giỏc BEFC nội tiếp đường trũn đường kớnh BC.
* Ta cú (gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn)
BF, CE là hai đường cao của ΔABC.
H là trực tõm của Δ ABC.
AH vuụng gúc với BC.
b) Xột Δ AEC và Δ AFB cú:
chung và 
Δ AEC đồng dạng với Δ AFB
c) Khi BHOC nội tiếp ta cú:
mà và (do AEHF nội tiếp) 
Ta cú: K là trung điểm của BC, O là tõm đường trũn ngoại tiếp ABC
OK vuụng gúc với BC mà tam giỏc OBC cõn tại O (OB = OC )
Vậy mà BC = 2KC nờn 
d) d) Xột Δ EHB và Δ FHC cú:
(đối đỉnh)
Δ EHB đồng dạng với Δ FHC
HE.HC = HB.HF = 4.3 = 12
HC(CE – HC) = 12 HC2 – 8.HC + 12 = 0 HC = 2 hoặc HC = 6.
* Khi HC = 2 thỡ HE = 6 (khụng thỏa HC > HE)
* Khi HC = 6 thỡ HE = 2 (thỏa HC > HE)
Vậy HC = 6 (cm).
đề thi số 18
Năm học 1999- 2000 
Đề thi vào lớp 10
trường PTTH chuyên Lê Hồng phong – Nam định
Môn toán (đề chung) - ( Thời gian 150’)
Bài I ( 2 điểm) :
 Cho biểu thức Với a,b là 2 số dương khác nhau
1) Rút gọn biểu thức N
Tính giá trị của biểu thứcN khi : và 
Bài II ( 2,5 điểm) : 
 Cho phương trình ( ẩn x) : x4 - 2mx2 + m2 – 3 = 0
Giải phương trình với m = 
2) Tìm m để phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt
Bài III ( 1,5 điểm) : 
 Trên hệ trục toạ độ Oxy cho điểm A (2;3) và Parapol (P) có ptrình là : (P)
Viết ptrình đường thẳng có hệ số góc bằng k và đi qua điểm A(2;-3).
CMR bất cứ đường thẳng nào đi qua điểm A(2;-3) và không song song với trục tung bao giờ cũng cắt parabol tại 2 điểm phân biệt.
Bài IV( 4 điểm):
 Cho đtròn (O,R) và đường thẳng (d) cắt đtròn tại 2 điểm A và B . Từ điểm M nằm trên đường thẳng (d) và ở ngoài đtròn (O,R) kẻ 2 tiếp tuyến MP và MQ đến đtròn , trong đó P và Q là các tiếp điểm .
Gọi I là giao điểm của đoạn thẳng MO với đtròn (O,R) . CMR I là tâm đtròn nội tiếp tam giác MPQ.
Xác định vị trí của M trên đường thẩng (d) để tứ giác MPOQ là hình vuông.
CMR khi điểm M di chuyển trên đường thẳng (d) thì tâm đtròn ngoại tiếp tam giác MPQ chạy trên một đường thẳng cố định.
đề thi số 19
Năm học 2000 - 2001 
Đề thi vào lớp 10
trường PTTH chuyên Lê Hồng phong – Nam định
Môn toán (đề chung) - ( Thời gian 150’)
Bài I ( 2,5 điểm) :
 Cho biểu thức Với x > 0 và x ≠ 1 
Rút gọn biểu thức T
CMR với mọi x > 0 và x ≠ 1 luôn có T < 
Bài II ( 2,5 điểm) : 
 Cho phương trình ( ẩn x) : x2 - 2mx + m2 – = 0 (1)
1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm và các nghiệm của ptrình có giá trị tuyệt đối bằng nhau
2) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm và các nghiệm ấy là số đo của 2 cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3.
Bài III ( 1 điểm) : 
 Trên hệ trục toạ độ Oxy Parapol (P) có ptrình là : (P)
Viết ptrình đthẳng song song với đthẳng y = 3x + 12 và có với parabol (P) đúng một điểm chung. 
Bài IV( 4 điểm):
 Cho đtròn (O) đường kính AB = 2R . Một điểm M chuyển động trên đtròn (O) (M khác Avà B). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường kính AB . Vẽ đtròn (T) có tâm là M và bán kính là MH . Từ A và B lần lượt kẻ các tiếp tuyến AD , BC đến đtròn (T) ( D và C là các tiếp điểm ) .
CMR khi M di chuyển trên đtròn (O) thì AD + BC có giá trị không đổi.
CM đthẳng CD là tiếp tuyến của đtròn (O) .
CM với bất kỳ vị trí nào của M trên đtròn (O) luôn có bất đẳng thức AD. BC ≤ R2. Xác định vị trí của M trên đtròn (O) để đẳng thức xảy ra.
Trên đtròn (O) lấy điểm N cố định . Gọi I là trung điểm của MN và P là hình chiếu vuông góc của I trên AB . Khi M di chuyển trên đtròn (O) thì P chạy trên đường nào? 
đề thi số 20
Năm học 2001 - 2002 
Đề thi vào lớp 10
PTTH chuyên Lê Hồng phong – Nam định
Môn toán (đề chung) ( thời gian 150’)
Bài I ( 2 điểm) :
 Cho hệ phương trình : ( x,y là ẩn , a là tham số)
Giải hệ phương trình trên.
Tìm số nguyên a lớn nhất để hệ phương trình có nghiệm ( x0 ; y0 )thoả mãn bất đẳng thức x0 y0 < 0.
Bài iI ( 1,5 điểm) :
Lập phương trình bậc hai với hệ số nguyên có hai nghiệm là: và 
Tính : P = 
Bài iIi ( 2 điểm) :
 Tìm m để phương trình : có đúng hai nghiệm phân biệt.
Bài iV ( 1 điểm) :
Giả sử x và y là các số thoả mãn đẳng thức :
Tính giá trị của biểu thức : M = x + y.
Bài V ( 3,5 điểm) :
 Cho tứ giác ABCD có AB = AD và CB = CD.
Chứng minh rằng :
Tứ giác ABCD ngoại tiếp được đường tròn .
Tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn khi và chỉ khi AB và BC vuông góc với nhau.
Giả sử AB BC . Gọi ( N ; r) là đường tròn nội tiếp và ( M; R ) là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD . Chứng minh:
 a) AB + BC = r + 
b) 
đề thi số 21
Năm học 2002 - 2003 
Đề thi vào lớp 10
PTTH chuyên Lê Hồng phong – Nam định
Môn toán (đề chung) ( Thời gian 150’)
Bài I ( 2 điểm) :
CMR với mọi giá trị dương của n ta luôn có : 
Tính tổng : S = 
Bài Ii( 1,5 điểm) :
 Trên đường thẳng y = x + 1, tìm những điểm có toạ độ thoả mãn đẳng th