Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2012- 2013 trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ (Hòa Bình) môn Toán (chung)

SỞ GD & ĐT HÒA BÌNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2012- 2013
ĐỀ CHÍNH THỨC
 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ
 	 ĐỀ THI MÔN TOÁN (CHUNG)
 Ngày thi: 29 tháng 6 năm 2012
 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
 Đề thi gồm có 01 trang
 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM(2 Điểm) 
(Thí sinh không cần giải thích và không phải chép lại đề bài, hãy viết kết quả các bài toán sau vào tờ giấy thi)
Biểu thức A = có nghĩa với các giá trị của x là
Giá trị m để 2 đường thẳng (d1): y = 3x – 2 và (d2): y = mx + 3m – 1 cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung là....
Các nghiệm của phương trình là...
Giá trị của m để phương trình x2 – (m+1)x - 2 = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn 
 x12x2 + x1x22 = 4 là...
PHẦN II. TỰ LUẬN (8 điểm)
Bài 1. (2 điểm)
Giải hệ phương trình 
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC). Đường phân giác AD chia cạnh huyền BC thành 2 đoạn theo tỷ lệ và BC = 20cm. Tính độ dài hai cạnh góc vuông.
Bài 2. (2 điểm) Tìm một số có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 5 và nếu đem số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 7 và dư là 6.
Bài 3.(3 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Các đường cao AD, BE, CF của tám giác cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:
Tứ giác BCEF nội tiếp được.
EF vuông góc với AO.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC bằng R.
Bài 4. (1 điểm) Trên các cạnh của một hình chữ nhật đặt lần lượt 4 điểm tùy ý. Bốn điểm này tạo thành một tứ giác có độ dài các cạnh lần lượt là x, y, z , t. Chứng minh rằng 
25 x2 + y2 + z2 + t2 50. Biết rằng hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng là 4 và 3.
ĐÁP ÁN
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM(2 Điểm) 
Biểu thức A = có nghĩa với các giá trị của x là: 
Giá trị m để 2 đường thẳng (d1): y = 3x – 2 và (d2): y = mx + 3m – 1 cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung là .
Các nghiệm của phương trình là: x = 2; x = .
Giá trị của m để phương trình x2 – (m+1)x - 2 = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn 
 x12x2 + x1x22 = 4 là m = -3.
PHẦN II. TỰ LUẬN(8 điểm)
Bài 1. (2 điểm)
Giải hệ phương trình: 
Điều kiện: 
Lấy (1) cộng (2) theo vế, ta được: , thế vào (1) ta có pt:
 (thỏa mãn đk )
Với (thỏa mãn đk )
Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm 
Đặt độ dài cạnh AB = x (cm) và AC = y (cm); đk: x > y > 0
Theo tính chất đường phân giác và định lý pitago ta có:
	Vậy độ dài cạnh AB = 16 (cm) ; AC = 14 (cm)
Bài 2. (2 điểm) Gọi số cần tìm có 2 chữ số là , với .
Theo giả thiết ta có hệ phương trình: 
(t/m đk)
Vậy số cần tìm là: 83
Bài 3.(3 điểm)
Vì BE, CF là đường cao của tam giác ABC 
E, F thuộc đường tròn đường kính BC 
Tứ giác BCEF nội tiếp.
EF vuông góc với AO.
Xét AOB ta có:
 sđ (1)
Do BCEF nội tiếp nên (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
(đpcm)
Bán kính đường tròn ngoại tiếpBHC bằng R.
Gọi . Ta có:
 (3)
 (4)
Từ (3) và (4) 
Mà BH'C nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R BHC cũng nội tiếp đường tròn có bán kính R, tức là bán kính đường tròn ngoại tiếp BHC bằng R.
Bài 4. (1 điểm) Giả sử hình chữ nhật có độ dài các cạnh được đặt như hình vẽ.
Với: 0 a, b, e, f và a+b = e+f = 4; 
 0 c, d, g, h và c+d = g+h = 3.
Ta có: 
 (*)
Chứng minh: .
Vì nên . Tương tự: .
Từ (*) (1)
Chứng minh: .
Áp dụng bất đẳng thức Bu - nhi - a- cốp – xki , ta có:
Tương tự: .
Từ (*) (2)
Từ (1) và (2) (đpcm)