Tổng hợp kiến thức toán 9

 = 
Tập nghiệm của phương trình: S = 
d) x + 5y = 0 x = – 5y 
Tập nghiệm của phương trình: S = 
e) 4x + 0y = – 2 4x = – 2 x = 
Tập nghiệm của phương trình: S = 
g) 0x + 2y = 5 2y = 5 y = 2,5
Tập nghiệm của phương trình: S = 
* Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
+ Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:
(I) Số nghiệm của hệ phương trình (I) dựa vào quan hệ của hai đường thẳng trong hệ.
Với a, b, c, a’, b’, c’ khác 0. 
- Nếu hai đường thẳng cắt nhau, hệ phương trình (I) có duy nhất một nghiệm. 
- Nếu hai đường thẳng song song, hệ phương trình vô nghiệm. 
- Nếu hai đường thẳng trùng nhau, hệ phương trình có vô số nghiệm. 
* Cách giải hệ phương trình:
+ Giải bằng phương pháp thế:
Quy tắc thế: ( xem SGK trang 13)
VD: 
Ta có: (1) x = 3y + 2 . Thay x = 3y + 2 vào (2), ta được:
– 2.(3y + 2) + 5y = 1 – 6y – 4 + 5y = 1– y = 1 + 4 y = – 5 
Thay y = – 5 vào (1), ta được:
x – 3. (– 5) = 2 x = 2 – 15 x = – 13.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: (x; y) = (– 13; –15) 
( có thể trình bày bài giải theo các hệ phương trình tương đương)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: (x; y) = (– 13; –15)
+ Giải hệ phương trình: (*)
(*)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: (x; y) = (2; 1)
+ Giải hệ phương trình:
Giải: 
Phương trình có nghiệm duy nhất: (x; y) = (7; 5)
+ Giải hệ bằng phương pháp cộng đại số:
Quy tắc cộng đại số: (xem SGK trang 16)
( Chú ý: Sử dụng phương pháp cộng đại số đối với các hệ phương trình có hệ số đi chung với cùng một biến bằng nhau hoặc đối nhau. Nếu đối nhau thì cộng vế với vế của hai phương trình trong hệ; nếu bằng nhau thì trừ vế với vế của hai phương trình trong hệ.)
+ Ghpt: 
Giải:
Cộng vế với vế của phương trình (1) và (2), ta được:
(2x – y) + (x + y) = 1 + 2 3x = 3 x = 1.
Thay x = 1 vào (2), ta được: (2) 1 + y = 2 y = 1.
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất: (x; y) = (1; 1)
( giải theo các hệ phương trình tương đương)
Vậy: (1; 1) là nghiệm duy nhất của hệ phương trình đã cho.
+Ghpt:
Giải: Trừ vế với vế của hai phương trình trong hệ, ta được:
(2x + 2y) – (2x – 3y) = 9 – 4 2x – 2x + 2y + 3y = 5 5y = 5 y = 1.
Vậy: Hệ có nghiệm duy nhất là (x; y) = (3,5 ; 1)
( Với hệ phương trình mà các hệ số đi chung cùng một biến khong bằng nhau hoặc không đối nhau, ta có thể nhân hay chia một số cho hai vế của một phương trình hay hai phương trình trong hệ để làm cho các hệ số đó bằng nhau hoặc đối nhau)
+ Ghpt: 
Giải:
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (3; – 1)
* Giải các hệ phương trình sau:
a)
Vậy: (2; – 3) là nghiệm của hệ phương trình.
b)
Vậy: (3; – 2) là nghiệm của hệ phương trình.
c)	Đặt a = ; b = , ta được:
*
*
Vậy hệ phương trình có nghiệm là ()
d)
Phương trình 0x + 0y = – 3 vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm. ( hai đường thẳng trong hệ song song)
e) 
Vậy: (2; – 1) là nghiệm duy nhất của hệ phương trình đã cho.
* Chương IV: HÀM SỐ y = ax2 (a0)
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
* Hàm số y = ax2 (a0).
+ Tính chất của hàm số bậc hai y = ax2 (a0) 
- Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x 0.
- Nếu a 0.
- Nếu a > 0 thì y > 0 , y = 0 khi x = 0. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là y = 0.
- Nếu a < 0 thì y < 0 , y = 0 khi x = 0. Giá trị lớn nhất của hàm số là y = 0.
+ Đồ thị hàm số y = ax2 (a0) là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là một Parabol với đỉnh O.
- Nếu a > 0 thì đồ thị nằm trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.
- Nếu a < 0 thì đồ thị nằm dưỡi trục hoành, O là điển cao nhất của đồ thị.
+ Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax2 (a0) .
- Tìm một số điểm thuộc đồ thị bằng cách cho x một số giá trị để tìm các giá trị của y tương ứng. ( cho x = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …)
- Vẽ hệ trục tọa độ Oxy, biểu diễn các điểm thuộc đồ thị tìm được ở trên.
- Nối các điểm đó để được đường cong Parabol.
VD: Hàm số y = 2x2.
Giải: Các điểm thuộc đồ thị chho theo bảng sau:
x
- 3
- 2
- 1
0
1
2
3
y = 2x2
18
8
2
0
2
8
18
Đồ thị hàm số y = 2x2 là đường cong Parabol 
đi qua gốc tọa độ O(0; 0) 
và các điểm A(- 3; 18); B(- 2; 8); C(- 1; 2);
 A’(3; 18); B’(2; 8); C’(1; 2).
* Các bài tập rèn luyện:
1) Cho hàm số y = x2 .
a) Vẽ đồ thị hàm số đó.
b) Tìm các giá trị f(- 8), f(- 13),f(1,5).
2) Cho hàm số y = ax2, điểm M(2; 1) thuộc đồ thị hàm số.
a) Tìm hệ số a.
b) Điểm A(4; 4) có thuộc đồ thị không?
c) Tìm tung độ của điểm thuộc Parabol có hoành độ x = -3.
d) Tìm các điểm thuộc Parabol có tung độ y = 8.
3) Cho hai hàm số y = x2 và y = - x + 6.
a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị đó (nếu có)
* Hướng dẫn giải:
1) 
a) Đồ thị của hàm số y = x2 là một đường cong Parabol đi qua 
các điểm có tọa độ:
 O(0; 0), A(1; 1), B(2; 4),C(-1; 1), D(-2; 4).
b)
f(-8) = (-8)2 = 64
f(-13) = (-13)2 = 169
f(1,5) = 1,52 = 2,25
2)a) Điểm M(2; 1) thuộc đồ thị, ta có:	
1 = a. 22 4a = 1 a = . Hàm số đã cho là y = x2.
b) Với x = 4, ta có y = . 42 = .16 = 4. Vậy điểm A(4; 4) thuộc đồ thị hàm số y = x2.
c) Với x = -3, ta có y = . (-3)2 = .9 = 2,25.
Vậy: y = 2,25 là tung độ của điểm cần tìm.
d) Với y = 8, ta có:
8 = x2 x2 = 32 x = hoặc x = 
Vậy: các điểm (; 8) và (; 8) thuộc Parabol y = x2.
3) - Đồ thị hàm số y = x2 là Parabol 
đi qua các điểm O(0; 0), A(1; ), B(3; 3),
 A’(-1; ), B’(-3; 3), C(6; 12), C’(-6; 12).
- Đồ thị hàm số y = - x + 6 là đường thẳng
 đi qua hai điểm M(0; 6) và N(6; 0).
 b) Phương trình hoành độ giao điểm:
Giải phương trình ta được: x = - 6 hoặc x = 3.
Với x = - 6, ta có: y = - (- 6) + 6 = 12
Điểm (- 6; 12) là giao điểm thứ nhất.
Với x = 3, ta có: y = - 3 + 6 = 3
Điểm (3; 3) là giao điểm thứ hai.
* Phương trình bậc hai một ẩn:
- Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0, trong đó x là ẩn; a, b, c là các số cho trước và a 0.
VD: x2 + 5x + 50 = 0; -2x2 + 5x = 0; x2 – 4 = 0; - 3x2 = 0; 2x2 = 8 là các phươngn trình bậc hai một ẩn.
- Các ví dụ về giải phương trình bậc hai một ẩn:
+ Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a0) (1).
- Nếu b0 và c = 0, ta giải như sau:
(1) ax2 + bx = 0 
x(ax + b) = 0
x = 0 hoặc ax + b = 0.
* ax + b = 0 ax = - b x = 
Vậy phương trình có nghiệm là x1 = 0 và x2 = 
VD: Gpt: a) 2x2 + 5x = 0.	b) 2x2 + 10x = 0
a) 2x2 + 5x = 0 x(2x + 5) = 0 x = 0 hoặc 2x + 5 = 0 x = 
Vậy: phương trình có hai nghiệm: x1 = 0; x2 = 
b) 2x2 + 10x = 0 2x(x + 5) = 0
 Vậy: phương trình có hai nghiệm là x1 = 0; x2 = - 5.
- Nếu b = 0 và c0, ta giải như sau:
(1) ax2 + c = 0.
 ax2 = - c x2 = 
( Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm; 
Nếu > 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = ; x2 = 
VD: Gpt: a) x2 – 3 = 0 	b) 2x2 + 6 = 0 	c) 5x2 – 20 = 0
Giải:
a) x2 – 3 = 0 x2 = 3 x = hoặc x = 
Vậy: phương trình có hai nghiệm: x1 = ; x2 = .
b) 2x2 + 6 = 0 2x2 = - 6 x2 = - 3 
Vì – 3 < 0 , nên phương trình đã cho vô nghiệm.
c) 5x2 – 20 = 0 5x2 = 20 x2 = 4 x = 2 hoặc x = - 2.
Vậy: phương trình có hai nghiệm: x1 = 2 ; x2 = - 2.
- Nếu b0 và c0, ta giải như sau:
Phương trình ax2 + bx + c = 0. ( Sử dung công thức nghiệm tìm )
Ta có: = b2 – 4ac.
* > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
	x1 = 	;	x2 = 
* = 0, phương trình có nghiệm kép:
	x1 = x2 = 
* < 0, phương trình vô nghiệm.
VD: Gpt: 2x2 + 5x + 2 = 0.
Ta có: = b2 – 4ac = 52 – 4. 2. 2 = 25 – 16 = 9 > 0.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
 x1 = = 
x2 = = 
Gpt: x2 – 2x + 1 = 0.
Ta có: = (- 2)2 – 4.1.1 = 4 – 4 = 0 
Phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = = 
* Ứng dụng hệ thức Vi-et giải phương trình bậc hai:
+ Định lý Vi-et:
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a0) thì:
+ Gpt: ax2 + bx + c = 0 (a0). ( Sử dụng định lí Vi-et nhẫm nghiệm)
- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm:
 x1 = 1 và x2 = .
VD: a) Gpt: 2x2 + x – 3 = 0.
Ta có: 2 + 1 + (- 3) = 0. 
Phương trình có hai nghiệm là x1 = 1 và x2 = 
b) Gpt: x2 – 7x + 6 = 0.
Ta có: 1 + (-7) + 6 = 0.
Phương trình có hai nghiệm là x1 = 1 và x2 = 
- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm:
x1 = - 1 và x2 = .
VD: a) Gpt: x2 – 4x + (- 5) = 0.
Ta có: 1 – (- 4) + (- 5) = 0.
Phương trình có hai nghiệm là x1 = - 1 và x2 = 
b) Gpt: 3x2 + 7x + 4 = 0.
Ta có: 3 – 7 + 4 + 0.
Phương trình có hai nghiệm là x1 = - 1 và x2 = 
* Ứng dụng hệ thức Vi-et tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng:
+ Nếu hai số có tổng bằng S và có tích bằng Phương trình thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình bậc hai có dạng: x2 – Sx + P = 0.
+ Điều kiện để có hai số đó là S2 – 4P 0.
VD: Tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng 10 và tích của chúng bằng 21.
Giải:
Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình: x2 – 10x + 21 = 0.
Ta có: = b2 – 4ac = (- 10)2 – 4.1.21 = 100 – 84 = 16 > 0.
Phương trình có hai nghiệm:
x1 = = ; x2 = = 
Vậy: hai số cần tìm là 7 và 3.
* Các phương trình quy về phương trình bậc hai:
+ Phương trình trùng phương:
Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: ax4 + bx2 + c = 0.
Cách giải:
Đặt t = x2 ( t 0).
Chuyển phương trình đã cho theo ẩn t đã đặt.
Giải phương trình theo t, tìm giá trị của t.
Giải tìm x theo giá trị của t tìm được ở trên.
VD: Gpt: 4x4 + x2 – 5 = 0.
Đặt t = x2 ( t 0).
Ta có phương trình: 4t2 + t – 5 = 0.
Ta có: 4 + 1 + (- 5) = 0, phương trình có nghiệm: t1 = 1