Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán Tin Năm 2003-2004 Đại học sư phạm HN

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán Tin
Năm 2003-2004
Đại học sư phạm HN
Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị không phụ thộc vào x 
Với mỗi số nguyên dương n, đặt Pn = 1.2.3.n. Chứng minh rằng 
a) 1 + 1.P1 + 2.P2 + 3.P3 +.+ n.Pn = Pn+1 .
b) 
Tìm các số nguyên dương n sao cho hai số x = 2n + 2003 và y = 3n + 2005 đều là
những số chình phương.
Xét phương trình ẩn x :	
a) Giải phương trình ứng với a = -1.
b) Tìm a để phương trình trên có đúng ba nghiệm phân biệt.
Qua một điểm M tùy ý đã cho trên đáy lớn AB của hình thang ABCD ta kẻ các
đường thẳng song song với hai đường chéo AC và BD. Các đường thẳng song song này cắt hai cạnh BC và AD lần lượt tại E và F. Đoạn EF cắt AC và BD tại I và J tương ứng.
a) Chứng minh rằng nếu H là trung điểm của IJ thì H cùng là trung điểm của EF.
b) Trong trường hợp AB = 2CD, hãy chỉ ra vị trí của một điểm M trên AB sao cho 
EJ = JI = IF.