Đề thi tuyển sinh lớp 10 trường THPT chuyên Lê Hồng Phong (Nam Định) môn Toán

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
LÊ HỒNG PHONG (NAM ĐỊNH)
* Môn : Toán (chuyên)   * Thời gian : 150 phút   * Khóa thi : 2003 - 2004 
Bài 1 : (1,5 điểm) 
Cho phương trình x2 + x - 1 = 0. Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm trái dấu. Gọi x1 là nghiệm âm của phương trình. Hãy tính giá trị của biểu thức : 
Bài 2 : (2 điểm) Cho biểu thức : 
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của P khi 0 ≤ x ≤ 3. 
Bài 3 : (2 điểm) 
a) Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên a, b, c sao cho a2 + b2 + c2 = 2007. 
b) Chứng minh rằng không tồn tại các số hữu tỉ x, y, z sao cho x2 + y2 + z2 + x + 3y + 5z + 7 = 0. 
Bài 4 : (2,5 điểm) 
Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường cao AH. Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC. Trên cung nhỏ AH của đường tròn (O) lấy điểm M bất kì khác A. Trên tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) lấy hai điểm D và E sao cho BD = BE = BA. Đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N. 
a/ Chứng minh rằng tứ giác BDNE nội tiếp. 
b/ Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDNE và đường tròn (O) tiếp xúc với nhau. 
Bài 5 : (2 điểm) 
Có n điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Hai điểm bất kì được nối với nhau bằng một đoạn thẳng, mỗi đoạn thẳng được tô một màu xanh, đỏ hoặc vàng. Biết rằng có ít nhất một đoạn màu xanh, một đoạn màu đỏ và một đoạn màu vàng ; không có điểm nào mà các đoạn thẳng xuất phát từ đó có đủ cả ba màu và không có tam giác nào tạo bởi các đoạn thẳng đã nối có ba cạnh cùng màu. 
a/ Chứng minh rằng không tồn tại ba đoạn thẳng cùng màu xuất phát từ cùng một điểm. 
b/ Hãy cho biết có nhiều nhất bao nhiêu điểm thỏa mãn đề bài.