Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp huyện năm học 2012 - 2013 - Huyện Yên Định

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN YÊN ĐỊNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 26/02/2013
(Đề thi này gồm 01 trang)
Câu 1: (3 điểm) Cho A = 
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A > 0 .
c) Tìm giá trị lớn nhất của A .
Câu 2: (6 điểm)
	a) Giải phương trình: 
b) Giải bất phương trình: |2x-7| < x2 + 2x + 2
c) Giải hệ phương trình: 
Câu 3 : (4 điểm)
a) Cho , tính giá trị của biểu thức:
	b) Tìm số tự nhiên n sao cho là số chính phương.
Câu 4 : (5 điểm) 
a) Từ một điểm A nằm ngoài (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AM, AN (M,N(O;R)). Trên cung nhỏ MN lấy điểm P khác M và N. Tiếp tuyến tại P cắt AM tại B, cắt AN tại C. Cho A cố định và AO = a. Chứng minh chu vi tam giác ABC không đổi khi P di động trên cung nhỏ MN. Tính giá trị không đổi ấy theo a và R.
b) Cho tam giác ABC có diện tích bằng 36 (đơn vị diện tích). Trên cạnh BC và cạnh CA lần lượt lấy điểm D và E sao cho DC = 3DB và EA = 2EC; AD cắt BE tại I. Tính diện tích tam giác BID.
Câu 5: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Hết
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN YÊN ĐỊNH
HƯỚNG DẪN CHẤM
THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi: Toán
Ngày thi: 26/02/2013
(Hướng dẫn chấm này gồm 03 trang)
Câu
ý
Đáp án và hướng dẫn chấm
Điểm
1
a
ĐKXĐ: 
0.25đ
0.75đ
b
	(vì )
0.25đ
0.75đ
c
Vậy GTLN của A =
0.75đ
0.25đ
2
a
Đặt ta được phương trình:
y =<0 (loại); với y = 2 ta có
 hoặc (thỏa mãn phương trình đã cho)
Vậy pt đã cho có 2 nghiệm: , 
0.25đ
0.25đ
0.5đ
0.25đ
0.5đ
0.25đ
b
Vì x2 + 2x + 2 = (x+1)2+1 > 0 
Nên: |2x-7| 
 x2+4x+4>9 (x+2)2 >9 |x+2| >3
Kết luận nghiệm bất phương trình
0.25đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
0.5đ
0.25đ
c
Biến đổi 
Từ hệ ta có x – y > 0
Nhân hai vế của (1) với 17 và nhân hai vế của (2) với 9 rồi đồng nhất sau khi nhân ta được:
17(x – y)(x + y)2 = 9(x - y)(x2 +y2) 4x2 + 17xy + 4y2 = 0
Nếu y = 0 thì x = 0 => không thỏa mãn hệ.
Nếu y 0 , chia hai vế của 4x2 + 17xy + 4y2 = 0 cho y2 
và đặt t = x/y được: 4t2 +17t + 4 = 0 (t+4)(4t+1) = 0
 t = - 4 hoặc t = - 1/4
 x = -4y hoặc y = - 4x
thay vào hệ phương trình trên được nghiệm của phương trình đã cho là: (x ; y) {(4;-1);(1;-4)}
0.25đ
0.25đ
0.5đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
3
a
1đ
1đ
b
 là số chính phương nên A có dạng 
(Vì 23 là số nguyên tố và 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1)
Vậy với n = 5 thì A là số chính phương
0.5đ
0.5đ
0.75đ
0.25đ
4
a
A
P
M
N
O
B
C
= AB+BC+CA
 = AB+BP+PC+CA
 = (AB+BM)+(CN+CA)
 (t/c 2 tt cắt nhau)
 = AM + AN = 2AM
 (t/c 2 tt cắt nhau)
 = 
Vì A cố định nên OA=a không đổi vậy khi P di chuyển trên cung nhỏ MN thì chu vi tam giác ABC không đổi.
= 
Ghi chú:
- Không có điểm vẽ hình.
- Chứng minh mà không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai thì không được công nhận (không có điểm).
0.25đ
0.5đ
0.25đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
b
(Các đường nét đứt được vẽ thêm để gợi ý chứng minh khi chấm, học sinh phải trình bày kẻ thêm đường phụ khi chứng minh - nếu cần)
A
B
C
D
E
I
Trình bày c/m: 
Trình bày c/m: 
=>
Trình bày c/m: 
=> 
Ghi chú:
- Không có điểm vẽ hình.
- Chứng minh mà không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai thì không được công nhận (không có điểm).
0.5đ
1.0đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
5
ĐK: x≠0, y≠0
Áp dụng bắt đẳng thức Cô-si cho bốn số dương ta có:
=> 
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là Q = – 5/2 khi x2 = y2 = 1
0.5đ
0.25đ
0.25đ
0.5đ
0.5đ
Chú ý: HS có thể giải theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.