Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán học Lớp 9 năm học 2014-2015 - Trường THCS Ấm Thượng

PHßNG GD&§T H¹ HßA
TRƯỜNG THCS ẤM THƯỢNG
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Lớp 9 THCS năm học 2014-2015
Môn Toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang
-----------------------------------------------------------
Câu 1 (3,0 điểm): 
a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: (1)
b) Cho p là số nguyên tố và một trong hai số 8p + 1, 8p – 1 là số nguyên tố, hỏi số thứ ba là số nguyên tố hay hợp số?
 Câu 2 (4 điểm): Cho biểu thức
 A= .
Tìm điều kiện của a, b để A có nghĩa; rút gọn A.
Tìm a, b sao cho và A=.
Câu 3 (4 điểm): 
Giải phương trình: 
Giải hệ phương trình: 
C©u 4 ( 7 ®iÓm ) 
 Cho h×nh thoi ABCD c¹nh a , gäi R vµ r lÇn l­ît lµ c¸c b¸n kÝnh c¸c ®­êng trßn ngo¹i tiÕp c¸c tam gi¸c ABD vµ ABC.
Chøng minh :
Chøng minh : ; ( KÝ hiÖu lµ diÖn tÝch tø gi¸c ABCD )
Câu 5 (2,0 điểm):
 Giả sử x > z ; y > z ; z > 0.Chứng minh rằng:
 (1).
------------------------------------ Hết --------------------------------------
Họ và tên thí sinh: .................................................................. SBD: ..........................
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN
(Hướng dẫn chấm thi gồm 5 trang)
I. Một số chú ý khi chấm bài
· Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm.
· Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm.
· Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số.
II. Đáp án và biểu điểm
Câu 1 (3,0 điểm): 
a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: (1)
b) Cho p là số nguyên tố và một trong hai số 8p + 1, 8p – 1 là số nguyên tố, hỏi số thứ ba là số nguyên tố hay hợp số?
Đáp án
Biểu điểm
Câu 1 (3,0 điểm) a) (1)
0,5 điểm
 lại có (y , y+1) = 1
0,5 điểm
 =1 y = 0; y = -1 ( loại)
 = 9 y = 2 , x = 54
 = 81 y = 8 , x = 24
Vậy nghiệm của phương trình : ( x ; y) = ( 54 ; 2 ), ( 24 ; 8 )
0,5 điểm
b) * Với p = 2 ta có 8p + 1 = 17 là số nguyên tố, còn 8p – 1 = 15 là hợp số
 * Với p = 3 ta có 8p + 1 = 25 là hợp số, còn 8p – 1 = 23 là số nguyên tố.
0,75 điểm
 * Với p > 3 ta có 8p , 8p + 1, 8p – 1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên có một số chia hết cho 3
Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên 8p không chia hết cho 3, do đó 8p – 1 hoặc 8p + 1 có một số chia hết cho 3.
Vậy số thứ ba là hợp số.
0,75 điểm
Câu 2 (4 điểm): Cho biểu thức
 A= .
a ,Tìm điều kiện của a, b để A có nghĩa; rút gọn A.
b ,Tìm a, b sao cho và A=.
ĐÁP ÁN
ĐIỂM
2a
(2,0 đ)
ĐK: a>0; b>0 
0,25
1,75
2b
(2,0 đ)
Vì với 
0,5
0,25
. Mà 
0,5
0, 5
Vậy a=1; 
0,25
Câu 3 (4,0 điểm)
a ,Giải phương trình: 
 b ,Giải hệ phương trình: 
ĐÁP ÁN
ĐIỂM
3a
(2,0 đ)
ĐK: 
0,25
Đặt . (
0,25
. PTTT 
0,25
. Mà a+b+10>0 do a,b>0
0,25
0,25
0,25
 ™
0,25
3b
(2,0 đ)
1,75
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0.25
1,75
0,25
0,25
C©u 4 ( 7 ®iÓm ) 
 Cho h×nh thoi ABCD c¹nh a , gäi R vµ r lÇn l­ît lµ c¸c b¸n kÝnh c¸c ®­êng trßn ngo¹i tiÕp c¸c tam gi¸c ABD vµ ABC.
a ,Chøng minh :
 b, Chøng minh : ; ( KÝ hiÖu lµ diÖn tÝch tø gi¸c ABCD
ĐÁP ÁN
ĐIỂM
Tø gi¸c ABCD lµ h×nh thoi nªn AC lµ ®­êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng BD,BD lµ ®­êng trung trùc cña AC.Do vËy nÕu gäi M,I,K lµ giao ®iÓm cña ®­êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng AB víi AB,AC,BD th× ta cã I,K lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp c¸c tam gi¸c ADB,ABC
Tõ ®ã ta cã KB = r vµ IB = R.LÊy mét ®iÓm E ®èi xøng víi ®iÓm I qua M , Ta cã BEAI lµ h×nh thoi ( v× cã hai ®­êng chÐo EI vµ AB vu«ng gãc víi nhau vµ c¾t nhau t¹i trung ®iÓm mçi ®­êng )
1, đ
Ta cã mµ 
1
XÐt EBK cã ,®­êng cao BM.Theo hÖ thøc trong tam gi¸c vu«ng ta cã
1
Mµ BK = r , BE = BI = R; BM = Nªn (§pcm)
1
XÐt vµ cã vµ chung 
Chøng minh t­¬ng tù ta ®­îc 
1,0 đ
0,5d
Ta cã 
Mµ theo ®Þnh lÝ Pi ta go trong tam gi¸c vu«ng AOB ta cã 
Tõ ®ã ta cã : 
1,0 đ
0,5
Câu 5 (2,0 điểm):
 Giả sử x > z ; y > z ; z > 0.Chứng minh rằng:
 (1).
ĐÁP ÁN
ĐIỂM
Câu 5 (2,0 điểm): Đặt: (m, n, z > 0).
Khi đó (1) trở thành: 
 (2).
1,0 đ
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
Vậy (2) đúng, tức là (1) cũng đúng (đpcm).
1,đ
 ............................. HẾT .................................