Đề thi chọn HSG môn Toán lớp 8 - Tôn Nữ Bích Vân

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 
MÔN :TOÁN LỚP 8
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:
a) x2 – 4x + 4 = 25 
b) 
c) 4x – 12.2x + 32 = 0 
Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và . 
Tính giá trị của biểu thức: 
Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương.
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. a) Tính tổng 
b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM.
c) Chứng minh rằng: .
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 
TOÁN 8 
Bài 1(3 điểm):
 a) Tính đúng x = 7; x = -3 ( 1 điểm )
 b) Tính đúng x = 2007 ( 1 điểm )
 c) 4x – 12.2x +32 = 0 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm )
 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 (2x – 8)(2x – 4) = 0 ( 0,25điểm )
 (2x – 23)(2x –22) = 0 2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 ( 0,25điểm )
 2x = 23 hoặc 2x = 22 x = 3; x = 2 ( 0,25điểm ) 
Bài 2(1,5 điểm):
yz = –xy–xz ( 0,25điểm )
x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )
Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )
Do đó: ( 0,25điểm )
Tính đúng A = 1 ( 0,5 điểm )
Bài 3(1,5 điểm): 
 Gọi là số phải tìm a, b, c, d N, (0,25điểm)
 với k, mN, 
 (0,25điểm)
 Ta có: 
 (0,25điểm)
 Do đó: m2–k2 = 1353 
 (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm)
 hoặc 
m+k = 123 m+k = 41
 m–k = 11 m–k = 33 
hoặc 
 m = 67 m = 37 
 k = 56 k = 4 (0,25điểm) 
 Kết luận đúng = 3136 (0,25điểm) 
Bài 4 (4 điểm):
 Vẽ hình đúng (0,25điểm)
 a) ; (0,25điểm)
 Tương tự: ; (0,25điểm)
 (0,25điểm) 
 b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:
 (0,5điểm ) 
(0,5điểm ) 
(0,5điểm ) 
 c)Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm)
-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm)
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm)
-BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 
 AB2 + AD2 (BC+CD)2 (0,25điểm)
 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2
 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 
Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2
 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm)
-Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 
	 (0,25điểm)
(Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC
 ABC đều)
 *Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó.