Chuyên đề 16- Phân tích đa thức thành nhân tử

- y4z8)
= x4 (1 –y2z4)(1+y2z4)
= x4 (1 –yz2 )(1+yz2 )(1 +y2z4 )
 b) (4x2–4x+1)–(x+1)2 
=(2x-1)2 -(x+1)2 
= [(2x-1)-(x+1)][(2x-1)+(x+1)]
= 3x(x-2)
 c) a2b2( b-a) + b2c2 (c-b) –a2c2( c-a)	
= a2b2( b-a) + b2c3 – b3c2 - a2c3 + a3c2
= a2b2( b-a) + c3 (b2 – a2 )- c2 (b3– a3)
= ( b-a) [a2b2 + c3b +c3a -b2c2 -c2 (b2ab +a2)]
= ( b-a) (a2b2 + c3b +c3a -b2c2 -c2ab - a2c2)
= ( b-a) [c2b(c-b)+c2a(c-b)-a2(c2-b2)]
= (b-a)(c-b)[c2b2+c2a-a2(c+b)]
= (b-a)(c-b)(c2b2+c2a-a2c-a2b)
= (b-a)(c-b)[ac(c-a)+b(c2-a2)]
= (b-a)(c-b)(c-a)(ac+bc+ca)
 d) ( x2-x+2)2+(x-2)2
= (x2-2x+2+x)2+(x-2)2
= (x2-2x+2)2+2x(x2-2x+2)+x2+(x-2)2
= (x2-2x+2)2+2x(x2-2x+2)+2(x2-2x+2)
= (x2-2x+2)(x2-2x+2+2x+2)
= (x2-2x+2)(x2+4)
 e) ( a+b)3- (a-b)3
=2b(3a2+b2)
Tiết 2: 
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 
BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÓM HẠNG TỬ
1. Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng, ta kết hợp những hạng tử của đa thức thành các nhóm thích hợp rồi áp dụng các phương pháp khác để phân tích đa thức thành nhân tử đối với từng nhóm.
2. Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x3z+x2yz-x2z2-xyz2
Cách 1: 
 = (x3z-x2z2)+(x2yz-xyz2)
 = x2z(x-z)+xy2(x-z)
 = (x-z)(x2z+xyz)
 = xz(x+y)(x-z)
Cách 2: 
 P = (x3z+x2yz)-(x2z2+xyz2)
 = x2z(x+y)-xz2(x+y)
 = (x+y)(x2z-xz2)
 = xz(x+y)(x-z)
b) pm+2q-pm+1q3-p2qn+1+pqn+3
= pm+1q(p-q2)-pqn+1(p-q2)
= (p-q2)(pm+1q-pqn+1)
= pq(p-q2)(pm-qn)
Bài tập áp dụng:
1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) A=x2-2xy+y2-9
b) B=3x3y-6x2y-3xy3-6xy2z-3xyz2+3xy
c) C=x2y2(y-x)+y2z2(z-y)-z2x2(z-x)
d) D=x5+x4+x3+x2+x+1
2) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) E=a2-b2+x2-y2+2(ax-by)
b) F=a5-ax4+a4x-x5
3) Giải phương trình:
a) x2-2x+x-2=0
b) 5x(x-3)-x+3=0
Hướng dẫn giải:
1) a) A = (x-y-3)(x-y+3)
 b) B = 3x3y-6x2y-3xy3-6xy2z-3xyz2+3xy
 = 3xy(x2-2x-y2-2yz-z2+1)
 = 3xy[(x2-2x+1)-(y2+2yz+z2)]
 = 3xy[(x-1)2-(y+z)2]
 = 3xy(x+y+z-1)(x-y-z-1)
c) C =x2y3-x3y2+y2z3-y3z2-z2x2(z-x)
 = y3(z3-x3)-y3(z2-x2)-z2x2(x-z)
 = y2(z-x)(z2+zx+x2)-y3(z-x)(z+x)-z2x2(z-x)
 = (z-x)(y2z2+y2zx+x2y2-y3z-y3x-z2x2)
 = (z-x)[y2z(z-y)-x2(z-y)(z+y)+y2x(z-y)]
 = (z-x)(z-y)(y2z-x2z-x2y+y2x)
 = (z-x)(z-y)[z(y-x)(y+x)+xy(y-x)]
 = (z-x)(z-y)(y-x)(xy+xz+yz)
d) D = x3(x3+x+1)+x2+x+1
 = (x2+x+1)(x3+1)
 = (x2+x+1)(x+1)(x2-x+1)
2) a)E = a2+x2+2ax-(b2+y2+2by)
 = (a+x)2-(b+y)2
 = (a+x+b+y)(a+x-b-y)
b) F = a5+a4x-(ax4+x5)
= a4(a+x)-x4(a+x)
= (a+x)(a4-x4)
= (a+x)2(a-x)(a2+x2)
3) a) Giải được x=2 hoặcx=-1
 b) Giải được x=3 hoặc x=
Tiết 3: 
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG CÁCH 
PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP 
 Vận dụng linh hoạt các phương pháp đã nêu ở tiết 1 và tiết 2 để phân tích đa thức thành nhân tử gọi chung là phối hợp nhiều phương pháp.
VD: Phân tích thành nhân tử các đa thức sau:
a6-a4+2a3+2a2
= a2(a4-a2+2a+2)
= a2[(a4-a2)+(2a+2)]
= a2[a2(a2-1)+2(a+1)]
= a2(a-1)[a2(a+1)+2]
= a2(a-1)(a3-a2+2)
 2.(a+b)3-(a-b)3
= [(a+b)-(a-b)] [(a+b)2+a2-b2+(a-b)2]
=2b (a2+2ab+b2+a2-b2+a2-2ab+b2)
=2b (3a2+b2)
 3.(x+y+x)3-x3-y3-z3
= [( x+y+z)3 – x3]-(y3+z3)
=(x+y+z-x).[(x+y+z)2+(x+y+z)x+x2] (y+z) (y2-yz+z2)
=(y+z).(3x2+3xy+3xz+3z)
=3(y+z).[x(x+y)+z(x+y)
=+(x+y).(y+z)(x+z)
Bài tập áp dụng
1./ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
	a) A= (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3
	b) B= x(y2 - z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)
	c) C= a3(b - c) + b3(c – a) + c3(a - b)
	d) D= 1 – b3 + 6ab2 – 12a2b + 8a3
2./ Chứng minh rằng:	n4 + 6n3 +11n2 + 6n 24 với nN
3./ Chứng minh rằng với nZ thì n5 – 5n3 + 4n 120
HƯỚNG DẪN GIẢI
1./ a) A= (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3
	= (x – y + y – z) [(x - y)2 – (x –y)(y - z) + (y – z)2 – (z - x)2 ]
	= (x - z) [(x - y)2 – (x - y)(y - z) + (y –z)2 – (z – x)2 ]
	= (x - z) [(x - y) (x - y – y + z) + (y – z + z - x) (y –z – z + x) ]
	= (x – z) (x – y)(x – 2y + z - y +2z – x)
	= 3(x – z)(x – y)(z – y)
 b) B= x(y2 - z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)
	= x(y2 - x2 + x2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) 
	= x(y2 - x2) + x(x2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) 
= (x2 - y2) (z – x) + (x2 – z2) + (x– y) 
= (x - y) (y – z) (z– x) 
 c) C= a3(b - c) + b3(c – a) + c3(a - b)
	= a3b - a3c + b3c – a b3 + c3(a - b)
	= ab(a2 – b2) - c(a3 - b3) + c3(a - b)
	= (a - b) [ab(a + b) – c(a2 + ab + b2) + c3]
	= (a - b) [a2 (b - c) + ab(b – c) - c(b2 – c2]
	= (a - b) (b - c) [a2 + ab – c (b + c]
	= (a - b) (b - c)(a – c) (a + b + c]
 d) D= 1 – b3 + 6ab2 – 12a2b + 8a3
	= 13 - (b – 2a)3
	= (1 – b + 2a)(1 + b – 2a +b2 - 4ab + 4a3)
2./	n4 + 6n3 +11n2 + 6n = n(n3 + n2 + 5n2 + 5n + 6n + 6)
	= n [(n2(n +1) + 5n(n + 1) + 6(n + 1)]
	= n(n + 1) (n2 + 5n + 6)
	= n(n + 1) (n2 + 2n + 3n + 6)
	= n(n + 1) (n + 2) (n + 3)
Vì nN nên n4 + 6n3 +11n2 + 6n là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp do đó chia heat cho 4 và chia hết cho 6 nên chia hết cho 24.
3./ 	n5 – 5n3 + 4n	= n(n4 – 5n2 + 4) 
	= n[(n4 – n2) – (4 n2 – 4)]
	= n[(n2 ( n2 - 1) – 4 (n2 – 1)] 
	= n(n2 - 1)(n2 – 4)
	= n(n – 1) (n + 1) (n – 2) (n + 2)
 Vì là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3, 5, 8 chia hết 3.5.8 = 120
Tiết 4: 
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 
BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH HẠNG TỬ
 Ta phân tích 1 hạng tử thành nhiều hạng tử thích hợp để xuất hiện từng nhóm số hạng mà ta có thể phân tích thành nhân tử bằng dùng hằng đẳng thức và đặt nhân tử chung.
VD : Phân tích thành nhân tử:
Cách 1: x2-6x+8
 = (x2-2x) - 4x+8
= x(x-2)-4 (x-2)
= (x-2) (x-4)
Cách 2: x2-6x+8
= (x2-6x+9) -1
= (x-3)2-1
= (x-3+1) (x-3-1)
= (x-2) (x-4)
Cách 3: x2-6x+8
= (x2-4)-(6x-12)
=(x-2)(x+2)-6(x-2)
=(x-2)(x+2-6)
=(x-2)(x-4)
Cách 4: x2-6x+8
=(x2-16)- 6x+24
=(x-4)(x+4)-6(x-4)
=(x-4)(x+4-6)
=(x-4)(x-2)
Cách 5: x2-6x+8
= (x2-4x+4)-2x+4
=(x-2)2-2(x-2)
=(x-2)(x-2-2)
=(x-2)(x-4)
Bài tập áp dụng
Bài 1: Phân tích thành nhân tử:
x2- 4x+ 3y2
x2- 8x+ 12
x8+ x4+ 1
x12+ x6+ 1
Bài 2: chứng minh rằng: n5-5n3+ 4n 120 với mọi số nguyên n
Bài 3: Phân tích thành nhân tử:
x3-19x-30
x4+x2+1
x4+4x2-5
xy(x+y)+yz (y+z)+zx(z+x)+2xyz
Hướng dẫn giải:
1.
a) (x+y)(x+3y)
b) (x-2)(x-6)
c) x8+ x4+ 1
 = (x8+ 2x4+ 1 ) -x4
 = (x4+1)2 – (x2)2
 = (x4-x2+1)(x4+x2+1)
d) x12+ x6+ 1
= (x6+1)2 –x6
= (x6+x3+1)(x6-x3+1)
Ta có: n5-5n3+ 4n 
= n5-n3-4n3+4n
=n3(n2-1)-4n (n2-1)
=n(n2-1)(n2-4)
= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)
Là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp
Trong 5 số tự nhiên liên tiếp có ít nhất hai số là bội của 2 ( trong đó một số là bội của 4, một số là bội của 3, một số là bội của 5). Vậy tích cỉa 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 8.3.5=120
3.
a) x3-19x-30 
= x3+8-19x-38
=(x+2)(x2-2x+4)-19(x+2)
=(x+2)(x2-2x-15)
=(x+2)[(x-1)2-16]
=(x+2)(x-5)(x+3)
b) x4+x2+1 =(x2+x+1)(x2-x+1)
 c) x4+4x2-5= (x-1)(x+1)(x2+5)
 d) xy(x+y)+yz (y+z)+zx(z+x)+2xyz
=[xy(x+y)+xyz] + [yz(y+z)+xyz] + zx (z+x)
=xy ( x+y+z) + yz (x+y+z)+ zx(x+y+z)
=(x+y+z) y(z+x)+zx(z+x)
=(z+x)[y(x+y+z)+zx]
=(z+x)[x(y+z)+y(y+z)]
=(x+y)(y+z)(z+x)
Tiết 5: 
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 
BẰNG PHƯƠNG PHÁP THÊM BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ
 Ta thêm hay bớt cùng một hạng tử vào đa thức đã cho để làm xuất hiện những số hạng mà ta có thể phân tích thành nhân tử bằng các phương pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức .
VD: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1./ a4 + 64 = (a2)2 + 82 + 2.8 a2 - 2.8 a2
	= (a2 + 8)2 – (4a) 2
	= (a2 + 8 + 4a)( a2 + 8 - 4a)
	= (a2 + 4a + 8)( a2 - 4a +8)
2./ a4 + 4b4 = (a2)2 +(2b2)2 + 2(a2) (2b)2 - 2(a2) (2b)2
	= (a2 + 2b2)2 – (2ab)2
	= (a2 + 2b2 + 2ab)( a2 + 2b2 – 2ab
3./ A = x2 + x + 1 = (x8 – x2) + (x2 + x + 1) = x2(x6 – 1) + (x2 + x + 1)
	Mà (x6 – 1) = (x3 + 1) (x3 - 1) = (x3 + 1) (x - 1) (x2 + x + 1)
 A = x2(x3 + 1) (x – 1) (x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
	= (x2 + x + 1) [x2 (x3+ 1) (x – 1) + 1]
	= (x2 + x + 1) (x6 – x5 + x3 – x2 + 1)
Bài tập áp dụng
1./ Phân tích thành nhân tử:
	a) x8 + 4
	b) x5 + x + 1
	c) x10 + x5 + 1
	d) x8 + x7 + 1
2./ Phân tích thành nhân tử:
	a) a8 + a + 1
	b) a3 + b3 + c3 – 3abc
Hướng dẫn giải:
1./ a)	x8 + 4 = (x4)2 + 4x4 + 22 - 4x4 = (x4 + 2)2 - (x2)2 = (x4 – 2x2 + 2)(x4 + 2x2 + 2)
 b)x5 + x + 1
= x5 - x2 + x2 + x + 1
= x2 (x3 - 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1) [x2 (x - 1) + 1]
 = (x2 + x + 1)(x3 - x2 + 1)
Ta thêm vào các số hạng x9 , x8 , x7 , x6 , x5 , x4 , x3 , x2 , x và cũng bớt đi các số hạng ấy. Sau đó nhóm các hạng tử thích hợp ta được kết quả:
x10 + x5 + 1 = (x2 + x + 1)(x8 – x7 + x5 – x4 + x3 - x + 1)
Ta thêm vào các số hạng x6 , x5 , x4 , x3 , x2 , x và cũng bớt đi các số hạng ấy. Sau đó nhóm các hạng tử thích hợp ta được kết quả:
x8 + x7 + 1 = (x2 + x + 1)(x6 – x4 + x3 - x + 1)
2./ a) a8 + a + 1 = a8 – a2 + a2 + a + 1 = (a2 + a + 1)( a6 – a5 + a3 - a2 + 1)
 b) a3 + b3 + c3 – 3abc = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + c3 – 3abc - 3a2b - 3ab2
	 = (a + b)3 + c3 – 3ab(a + b + c)
	 = (a + b + c) [(a + b)2 – (a + b) c + c2 – 3ab]
Tiết 6: 
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
	Trong một số trường hợp để phân tích đa thức thành nhân tử, ngoài các phương pháp đã nêu ở các tiết trước ta có thể đặt biến phụ để việc phân tích thuận lợi hơn.
	VD: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1./ A = (x2 + x)2 + 4x2 + 4x -12
	 = (x2 + x)2 + 4(x2 + x) -12 	đặt y = x2 + x ta được
 A = y2 + 4y – 12
	 = y2 + 4y + 4 – 16
 = (y + 2)2 – 42
 = (y + 2 + 4)(y + 2 – 4)
 = (y + 6)(y – 2)
Vậy A = (x2 + x + 6) (x2 + x - 2)
2./ B = (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2 đặt y = x2 + 4x + 8
 B = y2 + 3xy + 2x2
 = (y2 + 2xy + x2) + (xy + x2)
 = (y + x)2 + x(y + x)
 = (y + x)(y + 2x)
Vậy B = ( x2 + 5x + 8)( x2 + 6x + 8)
 = (x2 + 5x + 8)( x + 2)(x + 4)
Bài tập áp dụng
1./ Phânt ích đa thức thành nhân tử bằmg cách đặt ẩn phụ:
	a) (x2 – x) 2 – 14(x2 – x) + 24	c) x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128
	b) (x2 + 3x + 2) (x2 - 3x – 6) + 12	d) x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1
2./ Giải các phương trình:
	a) (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) – 12 = 0
	b) (x + 1)(x +2)(x + 3)(x + 4) – 24 = 0
Hướng dẫn giải:
1./ a) Đặt t= x2 – x ta có:
	t2 – 14t + 24 = (t2 – 2t) – (12t – 24) = t(t -2) – 12(t – 2) = (t – 2)(t – 12) 
 do đó đa thức là: (x2 - x - 2) (x2 - x - 12) = (x + 1) (x – 2)(x + 3)(x – 4)
b) Đặt t= x2 –