Đề thi chọn HSG cấp huyện môn Toán lớp 8 năm học 2011-2012 - Huyện Hoằng Hóa

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI- NĂM HỌC 2011- 2012
 HUYỆN HOẰNG HOÁ MÔN THI: TOÁN - LỚP 8
 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (3,0 điểm). 
Cho biểu thức A = 
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm để A > 0.
Bài 2: (4,0 điểm). 
a) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x:
 ( 6 + 7)(2 – 3) – (4 + 1)
b) Tính giá trị biểu thức P = . Biết 2 – 22 = ( + ≠ 0, ≠ 0).
Bài 3: (4,0 điểm). 
a) Giải phương trình: x6 – 7x3 – 8 = 0
b) Chứng minh rằng: Nếu 2n + 1 và 3n + 1 (n Î N) đều là các số chính phương thì n chia hết cho 40.
Bài 4:(6,0điểm). 
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD, CE cắt nhau tại H.
a) Chứng minh DABD ~ DACE.
b) Chứng minh BH.HD = CH.HE.
c) Nối D với E, cho biết BC = a, AB = AC = b. Tính độ dài đoạn thẳng DE theo a, b. 
Bài 5: (3.0điểm). 
a) Giải phương trình: (8x – 4x2 – 1).(x2 + 2x + 1) = 4(x2 + x + 1)
b) Cho hai số a, b thoả mãn a + b ≠ 0. Chứng minh rằng: a2 + b2 + ≥ 2.
 HẾT
Họ và tên thí sinh: Giám thị 1:
Số báo danh:. Giám thị 2:.
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI
 HUYỆN HOẰNG HOÁ NĂM HỌC 2011- 2012
 MÔN THI: TOÁN - LỚP 8
Bài
Nội dung
Điểm
Bài 1
(3,0điểm)
a) (2,0 điểm) KXĐ: x ≠ ± 1
A = 
= 
0,25đ
0,75đ
1,0đ
b) (1,0 điểm) A > 0 Û 1 – 2x > 0 Û x < 
Đối chiếu ĐKXĐ, ta được - 1 ≠ x < .
0,5 đ
0,5đ
Bài 2
(4,0điểm)
a) (2,0 điểm) ( 6 + 7)(2 – 3) – (4 + 1) 
= 12x2 – 18x + 14x - 21 – 12x2 + 7x – 3x + = 
2,0đ
b) (2,0 điểm) x2 – 2y2 = xy Û x2 – xy – 2y2 = 0 Û (x + y)(x – 2y) = 0
Vì x + y ≠ 0 nên x – 2y = 0 Û x = 2y 
Khi đó A = 
0,75đ
0,75đ
0,5đ
Bài 3
(4,0điểm)
a) (2,0 điểm) Ta có x6 – 7x3 – 8 = 0 Û (x3 + 1)(x3 – 8) = 0 
Û (x + 1)(x2 – x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 4) = 0 (*)
Do x2 – x + 1 = (x – )2 + > 0 và x2 + 2x + 4 = (x + 1)2 + 3 > 0 với mọi x, nên (*) Û (x + 1)(x – 2) = 0 Û x Î{- 1; 2}
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
b) (2,0 điểm) Do 2n + 1 là số chính phương lẻ nên 2n + 1 chia cho 8 dư 1, suy ra n là số chẵn.
Vì 3n + 1 là số chính phương lẻ nên 3n + 1 chia cho 8 dư 1, suy ra 
3n 8 Þ n 8 (1)
Do 2n + 1 và 3n + 1 đều là số chính phương lẻ nên có tận cùng bằng 
1; 5; 9 do đó khi chia cho 5 thì có dư là 1; 0; 4 
Mà (2n + 1) + (3n + 1) = 5n + 2 , do đó 2n + 1 và 3n + 1 khi chia cho 5 đều dư 1. Suy ra 2n 5 và 3n 5 Þ n 5 (2)
Từ (1) và (2) Þ n BCNN(5; 8) hay n 40 
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
Bài 4
(6,0điểm)
A
B
C
D
E
H
a) (2,0điểm)
 Chứng minh được 
 DABD ~ DACE.
2,0đ
b) (2,0điểm)
 Chứng minh được DBHE ~ DCHD 
Suy ra BH.HD = CH.HE.
1,0đ
1,0đ
A
B
C
D
E
H
F
c) (2,0điểm)
Khi AB = AC = b thì DABC cân tại A 
Suy ra được DE // BC 
Þ DE = 
Gọi giao điểm của AH và BC là F Þ AF ^ BC, FB = FC = 
DDBC ~ DFAC = 
Þ DE = = 
= = 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
Bài 5
(3,0điểm)
a) (1,5điểm). 
Nhận thấy x = - 1 không phải là nghiệm của phương trình.
Với x ≠ - 1 PT đã cho tương đương với 
Ta có 
=. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x – 1 = 0 Û x = 1(1)
Lại có: . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x – 1 = 0 Û x = 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra phương trình chỉ có nghiệm x = 1
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
b) (1,5điểm)
Ta có a2 + b2 + ≥ 2 Û (a2 + b2)(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥ 2(a + b)2
Û (a + b)2 [(a + b)2 – 2ab] – 2(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥ 0 
Û (a + b)4 – 2ab(a + b)2 – 2(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥ 0 
Û (a + b)4 – 2(a + b)2(ab + 1) + (ab + 1)2 ≥ 0 
Û [(a + b)2 – ab - 1]2 ≥ 0 suy ra đpcm.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ