Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Tuyên Quang lớp 12 - THPT năm học 2009 - 2010 môn: Toán

ubnd tØnh tuyªn quang
së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o
kú thi chän häc sinh giái cÊp tØnh líp 12 - thPT
n¨m häc 2009 - 2010
®Ò chÝnh thøc
*
m«n: to¸n
 Thêi gian lµm bµi: 180 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
 (§Ò nµy cã 01 trang)
 ---------- 
C©u 1 (4 ®iÓm): Cho hệ phương trình:
1) Giải hệ phương trình khi m = 5;
2) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.
C©u 2 (4 ®iÓm): 
1) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: ; 
2) Giải phương trình nghiệm nguyên (x, y là các ẩn số):
C©u 3 (4 ®iÓm): Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Gọi D, E, F lần lượt là chân các đường phân giác trong vẽ từ A, B, C.
1) Tính vectơ theo các vectơ và ;
Chứng minh rằng nếu thì tam giác ABC là tam giác đều. 
C©u 4 (4 ®iÓm): Cho dãy số thoả mãn các điều kiện sau:
	1) Chứng minh ;
	2) Chứng minh ;
	3) Biết rằng dãy có giới hạn hữu hạn, hãy chứng minh .
C©u 5 (4 ®iÓm): 1) Tính tổng: ;
2) Có bao nhiêu số nguyên dương gồm 5 chữ số mà tích các chữ số này bằng 5488.
--------------------------------------------------------HÕt-------------------------------------------------------------
®¸p ¸n ®Ò thi chän häc sinh giái m«n to¸n Líp 12 – thpt
n¨m häc 2009 – 2010
----------
C©u 1 (4 ®iÓm): Cho hệ phương trình:
1) Với m = 5 ta có hệ: 
§¸p ¸n
2 §iÓm
Đặt S = x + y, P = xy. Ta được: 
0,5 ®
Tõ (1) suy ra P = 5 – S, thay vào (2) ta được 
0,5 ®
+ Với S = -5 thì P = 10: Hệ phương trình vô nghiệm
0,5 đ
+ Với S = 3 thì P = 2: ta được nghiệm: hoặc 
0,5 đ
2) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.
§¸p ¸n
2 §iÓm
Đặt S = x + y, P = xy. Ta được: 
Từ (3) suy ra P = m – S, thay vào (4) ta được (5).
Để phương trình (5) có nghiệm ta phải có 
0,5 ®
Khi đó phương trình (5) có các nghiệm: 
+ Với . Ta có:
 (điều này không xảy ra, vì ).
0,5 ®
+ Với . Ta có:
0,5 ®
Kết hợp với điều kiện ta được kết quả cuối cùng là: 
0,5 đ
C©u 2 (4 ®iÓm): 
1) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: . 
§¸p ¸n
2 §iÓm
. 
0,5 ®
Đặt , ta được phương trình: t(t+2) = 24 t = -6 hoặc t = 4.
0,5 đ
+ Với t = -6 ta có phương trình (vô nghiệm)
0,5 ®
+ Với t = 4 ta có phương trình 
0,5 ®
2) Giải phương trình nghiệm nguyên (x, y là các ẩn số):
§¸p ¸n
	2 §iÓm
0,5 ®
 hoặc hoặc hoặc 
0,5 ®
hoặc hoặc hoặc hoặc 
0,5 ®
 hoặc hoặc hoặc 
0,5 đ
C©u 3 (4 ®iÓm): Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Gọi D, E, F lần lượt là chân các đường phân giác trong vẽ từ A, B, C.
1) Tính vectơ theo các vectơ và .
§¸p ¸n
2 §iÓm
Ta cã: 
0,5 ®
0,5 ®
0,5 đ
.
0,5 đ
2) Chứng minh rằng nếu thì tam giác ABC là tam giác đều. .
§¸p ¸n
2 §iÓm
T­¬ng tù ta có: .
= ;
0,5 ®
0,5 ®
0,5 đ
 (Vì là các vectơ không cùng phương).
 ABC là tam giác đều.
0,5 đ
C©u 4 (4 ®iÓm): Cho dãy số thoả mãn các điều kiện sau:
Chứng minh rằng:
1) ;	
§¸p ¸n
1,5 §iÓm
Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo n.
Với n = 1 ta có: đúng theo giả thiết
0,5 ®
Giả sử ta sẽ chứng minh . 
Ta có: 
0,5 ®
 (đpcm)
0,5 đ
2) .
§¸p ¸n
1,5 §iÓm
Ta có: 
0,5 ®
vì . 
1 ®
3) Biết rằng dãy có giới hạn hữu hạn, hãy chứng minh .
§¸p ¸n
1 §iÓm
Giả sử . Từ suy ra 
0,5 ®
Từ và suy ra .
0,5 ®
C©u 5 ( 4 ®iÓm):
1) Tính tổng: .
§¸p ¸n
2 §iÓm
0,5 ®
0,5 đ
0,5 ®
0,5 đ
2) Có bao nhiêu số nguyên dương gồm 5 chữ số mà tích các chữ số này bằng 5488.
§¸p ¸n
2 §iÓm
Gọi số nguyên dương gồm 5 chữ số mà tích các chữ số này bằng 5488 là . Ta có .
0,5 ®
Do đó phải có 3 chữ số bằng 7, 2 chữ số còn lại có tích bằng 16 (hai số cùng bằng 4 hoặc một số bằng 2, số kia bằng 8).
0,5 ®
Có cách chọn 3 chữ số cùng bằng 7. Có 3 cách chọn 2 chữ số còn lại ((4,4), (2,8) hoặc (8,2)) 
0,5 đ
Theo quy tắc nhân ta sẽ có 10.3 = 30 số nguyên dương gồm 5 chữ số mà tích các chữ số này bằng 5488
0,5 đ
Ghi chó: ThÝ sinh lµm bµi theo c¸ch kh¸c (nếu đúng) vẫn được điểm theo quy định.