Giáo trình Đại số tuyến tính - Nguyễn Duy Thuận

-2}}↵ 
Màn hình xuất hiện: 
Out[1]={{3,-1,-1,2},{1,-1,-2,4},{1,1,3,-6},{12,-2,1,-2}} 
• Giải hệ phương trình, đánh lệnh: 
LinearSolve[A,{1,5,- 910}]↵ 
Màn hình xuất hiện: 
Out[2]-{-2,-7,0,0} 
Đó là một nghiệm riêng của hệ đã cho. 
• Tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất liên kết, đánh lệnh: 
NullSpace[A] ↵ 
Màn hình xuất hiện hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất: 
Out[3]={{1,5,0,1}, {-1,-5,2,0}}. 
Muốn tìm nghiệm tổng quát của hệ đã cho ta chỉ việc lấy tổng của 
một nghiệm riêng của hệ đã cho với một tổ hợp tuyến tính của hệ nghiệm 
cơ bản của hệ phương trình thuần nhất liên kết: 
(x1, x2, x3, x4) = (-2, -7, 0, 0) + c3(-1, -5, 2, 0) + c4(1, 5, 0, 1) = (-2-c3+ 
c4, -7- 5c3 + 5c4, 2c3, c4). 
Chú ý: Nếu quan sát nghiệm tổng quát ở đây với nghiệm tổng quát ở 
ví dụ 2, mục 2.2, ta thấy chúng khác nhau. Song nếu thay c3 ở đây bởi c3 
= 
2
1
c3 thì ta được công thức nghiệm tổng quát ở ví dụ 2, mục 2.2. Hơn 
nữa một hệ phương trình tuyến tính có thể có vô số nghiệm riêng và hệ 
thuần nhất cũng có thể có vô số hệ nghiệm cơ bản. Do đó, theo định lí 
3.4, nói chung, có vô số cách biểu diễn nghiệm tổng quát. 
 173 
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình: 
Giải 
• Tạo ma trận các hệ số. 
A={{3,-17-1,2},{1,-1,-2,4},{1,1,3,-6},{12,-2,1,-2}} ↵ 
Màn hình xuất hiện: 
Out[1]={{3,-1,-1,2},{1,-1,-2,4},{1,1,3,-6},{12,-2,1,-2}} 
• Giải hệ phương trình, đánh lệnh: 
LinearSolve[A,{1,5,-9,10}}] ↵ 
Màn hình xuất hiện: 
LinearSolve: nosol: Linear equation encountered which has no 
solution 
Out[2]=linearsolve[{{3,-1,-1,2},1,-1,-2,4~1,1,3,-6},{12,-2,1,-2}},{1,5,-
9,10}]. 
Điều này có nghĩa rằng hệ vô nghiệm. Sở dĩ hệ vô nghiệm là vì 
hạng(A) = 2, còn hạng(B) - 3. 
 174 
TÓM TẮT 
Chương này trình bày lý thuyết về hệ phương trình tuyến tính. 
Về phương diện lý thuyết, nhờ các kiến thức về không gian vectơ và 
định thức, chương này cho ta biết: hệ có nghiệm khi và chỉ khi hạng(A) 
= hạng(B), trong đó A là ma trận các hệ số của hệ phương trình, B là ma 
trận bổ sung. 
Trong trường hợp hệ có n ẩn, nếu hạng(A) = hạng(B) = n thì đó là hệ 
Cramer, nó có nghiệm duy nhất; nếu hạng(a) = hạng(b) - r < n thì hệ có 
vô số nghiệm mà giá trị của các ẩn phụ thuộc vào n - r ẩn tự do. Khi đó, 
nếu cho mỗi ẩn tự do một giá trị xác định ta được một nghiệm riêng nếu 
coi mỗi ẩn tự do như một tham số thì ta được nghiệm tổng quát. 
Về phương diện thực hành, ta có hai cách giải hệ phương trình tuyến 
tính: phương pháp Gauss khử dần ẩn số và phương pháp dùng định thức. 
Khi dùng phương pháp định thức ta chỉ cần giải hệ phương trình gồm 
những phương trình ứng với các dòng của định thức con cấp cao nhất 
khác 0. Các ẩn tự do là những ẩn mà hệ số nằm ngoài định thức con cấp 
cao nhất khác 0 ấy. 
Hệ phương trình tuyến tính mà các hệ số tự do bằng 0 gọi là một hệ 
phương trình tuyến tính thuần nhất. Hệ này luôn luôn có nghiệm vì 
hạng(A) = hạng(B). Tập S các nghiệm của hệ thuần nhất n ẩn là một 
không gian con của không gian Kn. Nếu hạng(A) - r thì dims = n - r. Nếu 
biết một nghiệm riêng của một hệ phương trình tuyến tính thì nghiệm 
tổng quát của nó bằng nghiệm riêng đó cộng với nghiệm tổng quát của 
hệ thuần nhất liên kết. 
 175 
BÀI TẬP 
§1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾNTÍNH PHƯƠNG PHÁP GAUSS 
1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss 
2. Chứng minh định tí ở mục 1.2. 
 176 
§2. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
TUYẾN TÍNH CÓ NGHIỆM 
3. Xét xem các hệ phương trình sau có nghiệm hay không: 
4. Đối với mỗi hệ phương trình sau, tìm giá trị của tham số a, b để hệ 
có nghiệm: 
5. Tìm điều kiện cần và đủ để hệ phương trình 
có nghiệm . 
6. Chứng minh rằng với mọi giá trị của a, b, c hệ phương trình 
luôn luôn có nghiệm. 
7. Tìm giá trị của tham số a để hệ phương trình sau có nghiệm: 
 177 
8. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp định thức: 
9. Với điều kiện nào thì ba đường thẳng phân biệt 
a1x + b1y + c1 = 0, a2x + b2y + c2 = 0, a3x + b3y + c3 = 0 đồng quy? 
10. Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm: A(2, 1), C(0, 2), 
C(0, 1). 
11. Tìm các hệ số a, b, c, d để đồ thị của hàm số y = ax3 + bx2 + cx + 
d đi qua bốn điểm: 
M1(1, 0), M2(0, -1), M3(-1, - 2), M4(2, 7). 
12. xác đinh tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c biết rằng f(1) = -1, 
f(-3) = 47, f(2) = 12. 
 178 
13. Trong không gian vectơ R4 cho hệ vectơ: 
Hãy biểu thị tuyến tính vectơ α = (- 12, 3, 8, -2) qua hệ vectơ đã cho. 
14. Trong không gian vectơ R3 cho hai cơ sở: 
Tìm ma trận chuyển từ cơ sở (ε) sang cơ sở (ξ). Tìm tọa độ của vectơ 
α = (-1, 2, 0) đối với cơ sở (ξ). 
15. Trong không gian vectơ R3 cho hai cơ sở: 
Tìm ma trận chuyển từ cơ sở (ξ) sang cơ sở (ε). 
§3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 
16. Giải các hệ phương trình sau: 
17. Dùng hệ phương trình tuyến tính và định nghĩa của hệ vectơ phụ 
thuộc tuyến tính để chứng tỏ các hệ vectơ sau trong không gian vectơ R4 
là phụ thuộc tuyến tính: 
 179 
18. Các hệ vectơ sau: 
hệ nào là hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình 
19. Tìm hệ nghiệm cơ bản và số chiều của không gian nghiệm của hệ 
phương trình: 
20. Cho hai hệ phương trình: 
 180 
Biết một nghiệm riêng của hệ a) là (
3
1
,
3
1
, 0, 0, 0), của hệ bị là (
3
2
, 
6
1
, 0, 0, 0). Đối với mỗi hệ phương trình: 
• Tìm nghiệm tổng quát của mỗi hệ nhờ hệ nghiệm cơ bản của hệ 
thuần nhất liên kết tương ứng; 
• Nhờ nghiệm tổng quát vừa tìm được, tìm một nghiệm riêng mà các 
thành phần tọa độ là những số nguyên. 
21. Cho hệ ba phương trình bậc nhất: 
Dùng hạng(A), hạng(B), hãy xét sự có nghiệm và vô nghiệm của hệ 
trong tất cả các trường hợp có thể xảy ra và minh họa hình học cho mỗi 
trường hợp. 
 181 
VÀI NÉT LỊCH SỬ 
Phương trình tuyến tính và hệ phương trình tuyến tính là những bài 
toán cổ nhất của đại số. Ngay từ buổi sơ khai của toán học người ta đã 
giải những bài toán bằng một phép nhân hoặc một phép chia, tức là tìm 
nghiệm của một phương trình dạng ax = b. Việc giải các phương trình 
bậc nhất đã được các nhà toán học Babilon cổ Hilạp biết đến. Các tác 
phẩm toán học của Điôphăng là đỉnh cao của những thành tựu nghiên 
cứu toán học thời kì này (thế kỉ thứ ba trước công nguyên). Sau đó 
những vấn đề về phương trình lại được phát triển bởi các nhà toán học ấn 
độ như Ariabkhata (thế kỉ thứ Vi), Bramagupta (thế kỉ thứ VII) và 
Khaskara (thế kỉ thứ XII). Người ta cũng thấy những bài toán về phương 
trình bậc nhất ở Trung Quốc từ thế kỉ thứ II trước công nguyên. 
Nói tóm lại, phương trình tuyến tính được biết đến từ rất sớm. Tuy 
nhiên nó lại phát triển khá muộn, vì người ta coi rằng để đưa một phương 
trình tuyến tính về dạng ax = b thì chỉ cần biết quy tắc chuyển Bố hạng 
từ vế này sang vế kia và rút gọn các số hạng đồng dạng là đủ, và muốn 
giải hệ nhiều phương trình tuyến tính thì chỉ cần khử dần cho đến khi chỉ 
còn một ẩn. Do đó trong một thời gian dài nó hầu như không phát triển. 
Lý thuyết về hệ phương trình tuyến tính sau này được phát triển là do 
những nhu cầu về tính toán, chẳng hạn phải xác định phương trình của 
một đường cong đi qua những điểm cho trước. Vì thế lúc đầu người ta 
chỉ biết đến những hệ phương trình có số phương trình bằng số ẩn; và 
nếu có xuất hiện những hệ phương trình mà số phương trình khác số ẩn 
thì người ta coi rằng bài toán đặt ra như thế là bài toán tồi. Ngược lại, 
nhờ có đại số tuyến tính nói chung và hệ phương trình tuyến tính nói 
riêng mà Hình học giải tích được hoàn thiện đến mức mẫu mực. 
Nhờ có định thức đưa ra bởi Leibnitz (1646-1716), Cramer (1704-
1752), và không gian vectơ được đề xướng bởi Grassmann và Hamilton 
(1805-1865) và khái niệm ma trận được hình thành bởi nhà toán học Anh 
J. Sylvester (1814-1897) mà lý thuyết phương trình tuyến tính ngày càng 
được hoàn thiện. Cramer trình bày lời giải bài toán xác định đường conic 
đi qua 5 điểm cho trước bởi việc giải một hệ phương trình tuyến tính nhờ 
định thức (tuy nhiên khi đó chưa có tên gọi định thức). Nhờ phương pháp 
của Cramer mà sau này vào năm 1771, Vandermonde (1735-1796), nhà 
toán học Pháp, đã thiết lập công thức nghiệm của hệ phương trình tuyến 
 182 
tính mà ngày nay gọi là công thức Cramer. Chính Sylvester đã đưa ra cả 
khái niệm hạng của ma trận nhưng chưa đặt tên gọi cho ma trận. 
Lý thuyết hệ phương trình tuyến tính đã ảnh hưởng sâu rộng đến các 
lĩnh vực khác như phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng. 
Lagrange, Euler đã ứng dụng nó vào việc nghiên cứu những hệ phương 
trình vi phân tuyến tính và chính các vị này đã nói đến hệ phương trình 
tuyến tính thuần nhất và coi rằng mỗi nghiệm của một hệ phương trình 
tuyến tính không thuần nhất là tổng của một nghiệm riêng của nó với 
nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất liên kết. Còn nhiều nhà toán học 
khác cũng có công lao trong việc nghiên cứu lý thuyết hệ phương trình 
tuyến tính, chẳng hạn, K.Gauss (1777-1855), Kronecker (1823-1891) 
(hai toán học Đức) trong bài giảng của mình ở trường Đại học Berlin 
Kronecker, đã đưa ra định nghĩa tiên đề cho định thức. 
 183 
Chương V 
MA TRẬN 
MỞ ĐẦU 
Ta đã biết ma trận góp phần vào việc nghiên cứu lý thuyết hệ phương 
trình tuyến tính. Bây giờ ta tiếp tục tìm hiểu ma trận sâu hơn nữa; đặc 
biệt nghiên cứu mối liên hệ giữa ma trận và ánh xạ tuyến tính. Ta sẽ thấy 
rằng, ma trận và ánh xạ tuyến tính liên hệ mật thiết với nhau. Khi đã cố 
định hai cơ sở của hai không gian vectơ thì một ánh xạ tuyến tính giữa 
hai không gian ấy cho một ma trận và ngược lại, một ma trận xác định 
một ánh xạ tuyến tính duy nhất. 
Nhờ có ma trận mà ta xác định được giá trị riêng và vectơ riêng một ánh 
xạ tuyến tính; do đó xác định được những không gian con bất biến ứng với 
những giá trị riêng. Ma trận cũng xác định những dạng ánh xạ tuyến tính 
đặc biệt được dùng đến ở chương Vi như các phép biến đổi đối xứng, biến 
đổi trực giao. Trái lại, nhờ các vectơ riêng và giá trị riêng của ánh xạ tuyến 
tính mà có thể đưa ma trận trở về dạng đơn giản; đó là ma trận chéo. 
Nội dưng của chương này là: 
- Các phép toán trên c