Các bài toán cơ bản có liên quan đến khảo sát hàm số

) 
 chính laø soá giao ñieåm cuûa hai ñoà thò (C1) vaø (C2). 
 Ghi nhôù: Soá nghieäm cuûa pt (1) = soá giao ñieåm cuûa hai ñoà thò (C1) vaø (C2). 
Chuù yù 1 : 
 * (1) voâ nghieäm ⇔ (C1) vaø (C2) khoâng coù ñieåm ñieåm chung 
 * (1) coù n nghieäm ⇔ (C1) vaø (C2) coù n ñieåm chung 
Chuù yù 2 : 
 * Nghieäm x0 cuûa phöông trình (1) chính laø hoaønh ñoä ñieåm chung cuûa (C1) vaø (C2). 
 Khi ñoù tung ñoä ñieåm chung laø y0 = f(x0) hoaëc y0 = g(x0). 
x
y
0y
0x O
AÙp duïng: 
Ví duï: Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa ñöôøng cong (C): 
1
12
+
−=
x
xy vaø ñöôøng thaúng 13:)( −−= xyd 
Minh hoïa: 
f(x)=(2*x-1)/(x+1)
f(x)=-3*x-1
x(t)=-1 , y(t)=t
f(x)=2
-20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25
-20
-15
-10
-5
5
10
15
x
y
1
12:)( +
−=
x
xyC
13:)( −−= xyd
` 
b. Ñieàu kieän tieáp xuùc cuûa ñoà thò hai haøm soá : 
 Ñònh lyù : 
 (C1) tieáp xuùc vôùi (C1) ⇔ heä : coù nghieäm ' '
f(x) g(x)
f (x) g (x)
=⎧⎪⎨ =⎪⎩
M
O Δ
)( 1C
)( 2C
y
x
AÙp duïng: 
Ví duï: Cho vaø 13:)( 2 −−= xxyP
1
32:)(
2
−
−+−=
x
xxyC . Chöùng minh raèng (P) vaø (C) tieáp xuùc nhau 
Minh hoïa: 
f(x)=x^2-3*x-1
f(x)=(-x^2+2*x-3)/(x-1)
-20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25
-15
-10
-5
5
10
15
x
y
)(C )(P
BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 
Baøi 1: Cho haøm soá (1) 2( 1)( )y x x mx m= − + +
 Xaùc ñònh m sao cho ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi 3 ñieåm phaân bieät. 
Baøi 2: Cho haøm soá (C) 3 22 3y x x= − −1
 Goïi (d) laø ñöôøngthaúng ñi qua ñieåm M(0;-1) vaø coù heä soá goùc baèng k. Tìm k ñeå ñöôøng thaúng (d) caét 
 (C) taïi ba ñieåm phaân bieät. 
Baøi 3: Cho haøm soá (C) 233 +−= xxy
 Goïi (d) laø ñöôøngthaúng ñi qua ñieåm A(3;20) vaø coù heä soá goùc baèng m. Tìm m ñeå ñöôøng thaúng (d) 
 caét (C) taïi ba ñieåm phaân bieät. 
Baøi 4 : Cho haøm soá (1) 4 2 1y x mx m= − + −
 Xaùc ñònh m sao cho ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi 4 ñieåm phaân bieät. 
Baøi 5: Cho haøm soá 
2 2 4
2
x xy
x
− += − (1) 
 Tìm m ñeå ñöôøng thaúng (d): y = mx+2-2m caét ñoà thò haøm soá (1) taïi hai ñieåm phaân bieät 
Baøi 6: Cho haøm soá 
1
12
+
−−=
x
xxy (1) 
 Tìm m ñeå ñöôøng thaúng (d): y = m(x-3)+1 caét ñoà thò haøm soá (1) taïi hai ñieåm phaân bieät 
Baøi 7: Cho haøm soá 
2 4 1
2
x xy
x
+ += + 
Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå ñöôøng thaúng (d):y=mx+2-m caét ñoà thò haøm soá taïi hai ñieåm phaân bieät 
thuoäc cuøng moät nhaùnh cuûa ñoà thò. 
Baøi 8: Cho haøm soá 
2
1
mx x my
x
+ += − (1) 
Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taò hai ñieåm phaân bieät vaø hai ñieåm ñoù coù hoaønh ñoä 
 döông . 
Baøi 9: Cho haøm soá 
2 1
1
x mxy
x
+ −= − (1) 
 Ñònh m ñeå ñöôøng thaúng y=m caét ñoà thò haøm soá (1) taïi hai ñieåm phaân bieät A, B sao cho OA OB⊥ . 
Baøi 10: Tìm m ñeå tieäm caän xieân cuûa haøm soá 
2 1
1
x mxy
x
+ −= − caét caùc truïc toaï ñoä taïi hai ñieåm A,B sao cho 
 dieän tích tam giaùc OAB baèng 8. 
Baøi 11: Cho haøm soá 
2 3
1
xy
x
+= + 
 Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) ñi qua ñieåm M(2; 2
5
) sao cho (d) caét ñoà thò (C) taïi hai ñieåm 
 phaân A,B vaø M laø trung ñieåm cuûa AB. 
Baøi 12: Cho haøm soá 
)1(2
332
−
−+−=
x
xxy (1) 
 Tìm m ñeå ñöôøng thaúng y=m caét ñoà thò haøm soá (1) taïi hai ñieåm A,B sao cho AB=1 
Baøi 13: Cho haøm soá 2( 1)( )y x x mx m= − + + (1) 
 Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá (1) tieáp xuùc vôùi truïc hoaønh. Xaùc ñònh toïa ñoä tieáp ñieåm trong moãi tröôøng 
 hôïp tìm ñöôïc 
Baøi 14: Cho haøm soá 
1
12
−
+−=
x
xxy . Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua M(0;1) vaø tieáp xuùc vôùi ñoà thò 
 haøm soá 
Baøi 15: Cho haøm soá 
2
632
−
+−=
x
xxy (C) 
 Tìm treân (C) taát caû caùc caëp ñieåm ñoái xöùng nhau qua ñieåm )1;
2
1(I 
Baøi 16: Cho haøm soá 
1
222
−
+−=
x
xxy (C) vaø hai ñöôøng thaúng 3:)(&:)( 21 +=+−= xydmxyd 
 Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa m ñeå (C) caét (d1) taïi hai ñieåm phaân bieät A, B ñoái xöùng nhau qua (d2) 
Baøi 17: Cho haøm soá 
x
xy 4+= (1) 
 Chöùng minh raèng ñöôøng thaúng mxyd += 3:)( luoân caét (C) taïi hai ñieåm phaân bieät A,B. Goïi I laø 
 trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng AB, haõy tìm m ñeå I naèm treân ñöôøng thaúng 32:)( +=Δ xy 
3.BAØI TOAÙN 3: TIEÁP TUYEÁN VÔÙI ÑÖÔØNG CONG 
 a. Daïng 1: 
 Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C):y = f(x) taïi ñieåm 0 0 0M (x ;y ) (C)∈
 (C): y=f(x) 
0x
x
0y
y
0M Δ
 Phöông phaùp: 
 Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) taïi M(x0;y0) coù daïng: 
 y - y0 = k ( x - x0 ) 
 Trong ñoù : x0 : hoaønh ñoä tieáp ñieåm 
 y0: tung ñoä tieáp ñieåm vaø y0=f(x0) 
 k : heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán vaø ñöôïc tính bôûi coâng thöùc : k = f'(x0) 
AÙp duïng: 
Ví duï: Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá taïi ñieåm uoán cuûa noù 333 +−= xxy
`b. Daïng 2: 
 Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C): y=f(x) bieát tieáp tuyeán coù heä soá goùc k cho tröôùc 
Phöông phaùp: Ta coù theå tieán haønh theo caùc böôùc sau 
 Böôùc 1: Goïi 0 0( ; ) ( )M x y C∈ laø tieáp ñieåm cuûa tieáp tuyeán vôùi (C) 
 Böôùc 2: Tìm x0 baèng caùch giaûi phöông trình : ' 0( )f x k= , töø ñoù suy ra =? 0 0( )y f x=
 Böôùc 3: Thay caùc yeáu toá tìm ñöôïc vaøo pt: y - y0 = k ( x - x0 ) ta seõ ñöôïc pttt caàn tìm. 
(C): y=f(x) 
0x
x
0y
y
0M Δ
Chuù yù : Ñoái vôùi daïng 2 ngöôøi ta coù theå cho heä soá goùc k döôùi daïng giaùn tieáp nhö : tieáp tuyeán song song, 
tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi moät ñöôøng thaúng cho tröôùc . 
(C): y=f(x) 
Δ
x
y
ak /1−=
O
baxy +=Δ :2
(C): y=f(x) 
x
y
ak =
baxy +=
1Δ
2Δ
Khi ñoù ta caàn phaûi söû duïng caùc kieán thöùc sau: 
 Ñònh lyù 1: Neáu ñöôøng thaúng ( ) coù phöông trình daïng : y= ax+b thì heä soá goùc cuûa (Δ Δ ) laø: 
 k aΔ = 
 Ñònh lyù 2: Neáu ñöôøng thaúng ( ) ñi qua hai ñieåm Δ B A( ; ) vaø B(x ; ) vôùi x xA A B BA x y y ≠ thì heä soá 
 goùc cuûa ( ) laø : Δ
B A
B A
y y
k
x xΔ
−= − 
 Ñònh lyù 3: Trong mp(Oxy) cho hai ñöôøng thaúng ( )1 2 vaø ( )Δ . Khi ñoù: Δ
1 2
1 2
1 2
1 2
// k k
 k .k 1
Δ Δ
Δ Δ
Δ Δ ⇔ =
Δ ⊥ Δ ⇔ = − 
AÙp duïng: 
Ví duï1: Cho ñöôøng cong (C): 3 21 1 2
3 2
y x x x= + − − 4
3
 Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán song song vôùi ñöôøng thaúng (d): y = 4x+2. 
Ví duï 2: Cho ñöôøng cong (C): 
1
32
+
+=
x
xy 
 Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng xy 3:)( −=Δ 
c. Daïng 3: 
 Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C): y=f(x) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(xA;yA) 
 y
x
AAAA yxxkyxxkyy +−=⇔−=−Δ )()(:
O
);( AA yxA
)(:)( xfyC =
Phöông phaùp: Ta coù theå tieán haønh theo caùc böôùc sau 
Böôùc 1: Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (Δ ) qua A vaø coù heä soá 
 goùc laø k bôûi coâng thöùc: 
 ( ) ( )A A Ay y k x x y k x x y− = − ⇔ = − + A (*) 
 Böôùc 2: Ñònh k ñeå ( ) tieáp xuùc vôùi (C). Ta coù: Δ
 A'
f(x)=k(x-x )
 tieáp xuùc (C) heä coù nghieäm (1)
f ( )
Ay
x k
+⎧⎪Δ ⇔ ⎨ =⎪⎩
 Böôùc 3: Giaûi heä (1) tìm k. Thay k tìm ñöôïc vaøo (*) ta seõ ñöôïc pttt caàn tìm. 
AÙp duïng: 
Ví duï1: Cho ñöôøng cong (C): 43 23 ++= xxy
 Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(0;-1) 
Ví duï 2: Cho ñöôøng cong (C): 2 5
2
xy
x
−= − 
 Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(-2;0). 
BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 
Baøi 1: Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C) cuûa haøm soá Δ xxxy 32
3
1 23 +−= taïi ñieåm uoán vaø 
 chöùng minh raèng laø tieáp tuyeán cuûa (C) coù heä soá goùc nhoû nhaát Δ
Baøi 2: Cho ñöôøng cong (C): 
2
12
+
−+=
x
xxy 
 Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng 2:)( −=Δ xy 
Baøi 3: Cho haøm soá 
1
632
+
++=
x
xxy (C) 
 Tìm treân ñoà thò (C) caùc ñieåm maø tieáp tuyeán taïi ñoù vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng xyd
3
1:)( = 
Baøi 4: Cho ñöôøng cong (C): 
2 1
1
x xy
x
+ += + 
 Tìm caùc ñieåm treân (C) maø tieáp tuyeán vôùi (C) taïi ñoù vuoâng goùc vôùi tieäm caän xieân cuûa (C). 
Baøi 5: Cho haøm soá 
1
12
−
−+=
x
xxy (C) 
 Tìm caùc ñieåm treân ñoà thò (C) maø tieáp tuyeán taïi moãi ñieåm aáy vôùi ñoà thò (C) vuoâng goùc vôùi ñöôøng 
 thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc ñaïi, cöïc tieåu cuûa (C). 
Baøi 6: Cho haøm soá 
3
1
23
1 23 ++= xmxy (Cm) 
 Goïi M laø ñieåm thuoäc (Cm) coù hoaønh ñoä baèng -1 . Tìm m ñeå tieáp tuyeán cuûa (Cm) taïi ñieåm M song 
 song vôùi ñöôøng thaúng 5x-y=0 
Baøi 7: Cho ñöôøng cong (C): 23 23 +−= xxy
 Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm M(2;-7) 
4.BAØI TOAÙN 4: BIEÄN LUAÄN SOÁ NGHIEÄM CUÛA PHÖÔNG TRÌNH BAÈNG ÑOÀ THÒ 
Cô sôû cuûa phöông phaùp: 
 Xeùt phöông trình f(x) = g(x) (1) 
 Nghieäm x0 cuûa phöông trình (1) chính laø hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C1):y=f(x) vaø (C2):y=g(x) 
Daïng 1 : Baèng ñoà thò haõy bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình : f(x) = m (*) 
 Phöông phaùp: 
 Böôùc 1: Xem (*) laø phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa hai ñoà thò: 
 ( ) : ( ) : (C) laø ñoà thò coá ñònh 
 ( ) : : ( ) laø ñöôøng thaúng di ñoäng cuøng phöông Ox 
 vaø caét Oy taïi M(0;m)
C y f x
y m
• =
• Δ = Δ
 Böôùc 2: Veõ (C) vaø ( ) leân cuøng moät heä truïc toïa ñoä Δ
 Böôùc 3: Bieän luaän theo m soá giao ñieåm cuûa (Δ ) vaø (C) 
 Töø ñoù suy ra soá nghieäm cuûa phöông trình (*) 
 Minh hoïa: 
y
x
0x
)( 1C
)( 2C
y
x
)(:)( xfyC =
);0( m
1m
2m
mΔ
O
 y =
Daïng 2: Baèng ñoà thò haõy bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình : f(x) = g(m) (* *) 
Phöông phaùp: Ñaët k=g(m) 
 Böôùc 1: Xem (**) laø phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa hai ñoà thò: 
 ( ) : ( ) : (C) laø ñoà thò coá ñònh 
 ( ) : : ( ) laø ñöôøng thaúng di ñoäng cuøng phöông Ox 
 vaø caét Oy taïi M(0;k)
C y f x
y k
• =
• Δ = Δ
 Böôùc 2: Veõ (C) vaø ( ) leân cuøng moät heä truïc toïa ñoä Δ
 Böôùc 3: Bieän luaän theo k soá giao ñieåm cuûa (Δ ) vaø (C) . Döï a vaøo heä thöùc k=g(m) ñeå suy ra m 
 Töø ñoù keát luaän veà soá nghieäm cuûa phöông trình (**). 
Minh hoïa: 
x
y
Δ ky =
);0( k
K
1M
O
2K
AÙp duïng: 
Ví duï: 1) Khaûo s