Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Trường THCS Thanh Bình (Có đáp án)

 UBND HUYỆN THANH HÀ
TRƯỜNG THCS THANH BÍNH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút
 ( Đề này gồm 05 câu, 02 trang)
Số phách
(Do Trưởng phòng 
GD & ĐT ghi)
Người ra đề
(Ký và ghi rõ họ tên)
Xác nhận của Ban giám hiệu
(Ký tên, đóng dấu)
Số phách
(Do Trưởng phòng
GD&ĐT ghi)
Phần phách.
 ĐỀ BÀI
Câu 1 (2,5 điểm) 
1) Cho 
a) Rút gọn biểu thức P. 
b) Tính giá trị của P với .
2) Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn 
Câu 2 (1,5 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A(-3 ; 5) và B(3 ; 7). Hãy tìm trên trục Ox điểm C sao cho tổng AC + CB nhỏ nhất.
Câu 3 (2 điểm)
1) Giải phương trình 
.. 	Phần phách ....
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Câu 4 (3 điểm)
1) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là một điểm thuộc nửa đường tròn. Qua C kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Kẻ các tia Ax, By song song với nhau, cắt d theo thứ tự tại D và E. Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE.
2) Với góc hãy chứng minh các công thức:
a) 
b) 
Câu 5 (1 điểm)
Cho x, y, z là các số dương, thỏa mãn điều kiện x + y + z 3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
-------------------------------- Hết -----------------------------------
UBND HUYỆN THANH HÀ
TRƯỜNG THCS THANH BÍNH
HƯỚNG DẪN CHẤM 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9
MÔN: TOÁN
( Hướng dẫn chấm gồm 06 trang)
Số phách
(Do Trưởng phòng
GD&ĐT ghi)
Người ra đề
(Ký và ghi rõ họ tên)
Xác nhận của Ban giám hiệu
(Ký tên, đóng dấu)
Số phách
(Do Trưởng phòng
GD&ĐT ghi)
.Phần phách...
Câu
Phần
Nội dung
Điểm
1
1a
ĐKXĐ 
0,25
0,75
.. 	Phần phách ....
1b
Thay vào biểu thức , ta có:
0,5
2
Học sinh biến đổi đưa về:
Lần lượt xét hai trường hợp
 Thỏa mãn.
 Thỏa mãn.
Vậy 
0,75
0,25
2
Gọi D là điểm đối xứng với A qua Ox D(-3 ; -5)
Gọi C là điểm bất kì nằm trên Ox
Theo tính chất đối xứng trục ta có AC = DC
Lại có DC + CB BD
Nên AC + CB BD 
Dấu “=” xảy ra khi ba điểm B, C, D thẳng hàng. 
Cách tìm tọa độ điểm C
- Học sinh viết phương trình đường thẳng BD: y = 2x +1
- Tìm giao điểm của đường thẳng y = 2x + 1 với trục Ox 
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
3
1
Đặt và 
Suy ra . 
Ta có phương trình 
- Với b = 0 ta có 2x – 1 = 0 
- Với a = b ta có 
Thử lại với x = 5 và x = 0,5 đều thỏa mãn.
Vậy ; 
0,25
0,25
0,25
0,25
2
Học sinh biến đổi đưa về
Vì ; 
Nên 
Dấu “=” xảy ra 
Vậy khi x = 1 và y = 4
0,5
0,25
0,25
4
1
Gọi M là trung điểm của DE. Kẻ MH AB. 
Ta có OM là đường trùng bình của hình thang ABED 
 OM//AD 
Do OA = OC nên MH = MD. 
 H nằm trên đường tròn đường kính DE.
Ta có AB MH tại H nên AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE.
0,5
0,5
2a
Dựng tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, M là trung điểm của BC, .
Khi đó MAC cân tại M. Đặt MA = MC = a 
Theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có 
Ta có , 
, 
Ta có 
Vậy 
0,25
0,25
0,5
2b
Xét (1)
Xét (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
0,5
0,5
5
Với x, y, z là các số dương. Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
 (1)
 (2)
 (3)
Cộng từng vế (1) (2) (3) ta được
Vì nên 
Dấu “=” xảy ra 
Vậy khi x = y = z = 1
0,5
0,25
0,25
Ghi chú: Học sinh giải bằng cách khác với đáp án, nhưng đúng thì được điểm tối đa ở phần làm đúng đó.