Đề thi chọn đội tuyển HSG lớp 12 môn Toán năm học 2009-2010 - THPT Hậu Lộc 2

 Trường THPT hậu lộc 2 
 Đề thi Học chọn đội tuyển sinh giỏi lớp 12 lần 2
 Môn : Toán năm học 2009-2010
 Thời gian làm bài: 180 phút 
Câu I. (5 điểm). Cho hàm số 
 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
 2) Chứng minh đường thẳng (d): có đúng hai điểm mà từ mỗi điểm đó kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc. Xác định toạ độ hai điểm đó.
 3) Cho a, b, c ẻ R với a ạ 0 và m ẻN* thoả mãn: 
.
CMR: Đồ thị hàm số: y = ax4 + bx2 + c luôn cắt trục Ox tại ít nhất một điểm thuộc khoảng (0;1).
Câu 2. (4 điểm) 
1. Tính: 
2. a)Tớnh tổng cỏc số chẵn cú 4 chữ số được lập nờn từ cỏc chữ số 1, 2, 3, 4.
 b)Tỡm hệ số của số hạng khụng chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của biết rằng tổng cỏc hệ số của cỏc số hạng trong khai triển này là 
Câu 3. (4 điểm)
1. Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, các cạnh bên SA = SB = SC = a và cùng tạo với đáy một góc . Xác định để thể tích hình chóp lớn nhất.
2. Lập phương trình mặt cầu tâm I(1; -1; 1), biết rằng qua giao tuyến của hai mặt phẳng có hai mặt phẳng vuông góc với nhau tiếp xúc với mặt cầu.
Câu 4. (4 điểm)
1. Tìm tổng tất cả các nghiệm x ẻ [1;100] của phương trình:
Sin4x + Sin4 ( x + ) + Sin4 (x + 
 2. Giải hệ phương trình: 	
Câu 5. (3 điểm) Với a, b, c dương và 1 ≤ a ẻ R, chứng minh rằng:
----------------------------------Hết-----------------------------------Đáp án chấm
Câu
ý
Nội dung
1 1đ
1
a. TXĐ: R\{1}
b. SBT: y’ = 1- = 0 x = 0; x = 2
yCĐ = y(0) = - 2	yCT = y(2) = 2
Do hàm sốđồng biến trong khoảng (-à; 0) và (2; +à); nghịch biến trong khoảng (0; 1) và (1; 2).
Tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1 do 
Tiệm cận xiên là đường thẳng y = x – 1 do = 
Giới hạn: 
x
- à
0
1
2
y'
+
0
-
-
0
+
y
- à
2
- à
+à
2
+à
BBT: 
y
x
2
1
-1
-2
2
x =1
y=x -1
O
c. Đồ thị
Như hình vẽ.
Nhận điểm làm tâm đối xứng
2.
Chứng minh trên đt (d) .........
Gọi điểm M thì toạ độ M 
Gọi k là hệ số góc đt đi qua M thì có phương trình dạng: y = k(x – x0) + 
Đt là tiếp tuyến của (P) thì hệ phương trình:
 có nghiệm x0 ạ1
2 đ
Biến đổi (1) ra dạng: x -1 + = k(x – 1)+ k(1 – x0)+ (1’)
Và thay k vào (1’) , ta có:
x -1 + =(x – 1)+ k(1 – x0)+ .
 = (3)
Thay (3) vào (2) ta có:
4k2 (1 – x0)2 + 4k [(x0 – 2)(1 – x0) + 4] + (x0 – 2)2 – 16 = 0 (4)
Qua M kẻ 2 đt vuông góc tới (C) nên phương trình (4) phải có hai nghiệm k1; k2 và k1.k2 = -1.
ĐK 
Hai điểm M1; M2
2đ
2) (2 điểm)
Xét hàm số f(x) = với a ạ 0 và m N*
Là hàm số liên tục và có đạo hàm là: 
f’(x) = axm+3 + bxm+1 + cxm-1 với "xẻR
Ta tính được f(0) = 0 và f(1) = (do giả thiết)
Theo định lý Lagrăng: tồn tại x0 ẻ(0;1) sao cho f’(x0) = 
=> ax= 0
=> x => ax40 + bx20 + c = 0
Tức là pt: ax4 + bx2 + c = 0 có nghiệm x0 ẻ(0;1)
Hay đồ thị hàm số: y = ax4 + bx2 + c luôn cắt ox tại ít nhất 1 điểm thuộc (0;1)
2đ
1) Ta có 
Tính đặt 
Đổi cận: x = 0 => ; => t = 0
Vậy 
1đ
Cỏc số cần tớnh tổng cú dạng với 
Ta cú 
Cú tất cả: số chẵn gồm 4 chữ số được viết từ , trong đú:
 mỗi chữ số xuất hiện lần
mỗi chữ số d xuất hiện lần.
Do đú: và 
Suy ra: 
1đ
Ta cú: 
Suy ra: 
Số hạng khụng chứa ứng với .
Vậy số hạng khụng chứa cú hệ số là: 
Gọi O là trung điểm của BC => => SO là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
=> SO là đường cao của hình chóp
S.ABC và góc giữa cạnh bên và
đáy, góc SBO = góc SAO = SCO = 
2đ
S
a
O
C
B
a
+ SO =asin, AC = a 
() 
A
+ VS.ABC = 
áp dụng BĐT cô si cho 2 số dương 4 và -1 > 0
V = 
Dấu “=” xảy ra 
Vậy hình chóp có thể tích lớn nhất
2đ
 ta nhận thấy và (P) ^ (Q)
ị hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu nhận (Q) làm mặt phẳng phân giác ị 2 mặt phẳng hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu cũng là hai mặt phẳng phân giác của góc sinh bởi (P) và (Q). Nên phương trình 2 mặt phẳng hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu là: 
|2x + 4y – z -3| = |x – 2y -2z -1| Û 
Bán kính mặt cầu cần lập: R = d(I/a) = = 
Phương trình mặt cầu cần lập là: 
2đ
1) (3 điểm)
Trước hết biến đổi vế trái của pt: Sử dụng công thức Sin (a + ) = cosa
Ta được: VT = Sin4x + cos4x + Sin4 (x+ ) + Cos4 (x+ ) 
 = (Sin2x +Cos2x) - 2Sin2x Cos2x + 1 - 2Sin2 (x+ ).Cos(x+ )
 = 1- Sin22x +1 - Sin2(2x + ) = 2 - Sin22x - Cos22x = 2 - = 
Nên pt đã cho viết thành: Sin44x = Û Sin24x = 1 Û Cos 4x = 0
Û 4x =+ kp Û x = + k. với k ẻ Z
Để x ẻ [1; 100] ta phải có: 1 Ê + k. Ê 100 Û 8 Ê (2k+1) p Ê 800
mà k ẻ Z nên k = 1, 2, 3 .,126
Nên tổng các nghiệm cần tìm là: S = 
Ta có là tổng của 126 số hạng của cấp số cộng có u1= 3 và u126 = 253 
Vậy S = 
2đ
Trường hợp 1: Với x = 0 thì hệ có nghiệm x = y = z = 0.
Trường hợp 2: Với x ạ 0 để hệ có nghiệm thì x > 0, y > 0, z > 0
Giả sử (x, y, z) là nghiệm của hệ có:
2x2 = y(1 + x2) ³ 2xy Û x ³ y
3y3 = z(y4 + y2 +1) ³ z.3y2 Û y ³ z (vì y4 + y2 + 1 ³ 3y2)
4z4 = x(z6 + z4 + z2 +1) ³ x.4z3 Û z ³ x (vì z6 + z4 + z2 + 1 ³ 4z3)
Vậy: x ³ y ³ z ³ x Û x = y = z
Khi đó thay vào hệ ta có nghiệm: x = y = z = 1
Hệ có 2 nghiệm: x = y = z = 0 hoặc x= y = z = 1
3đ
Giả sử a ≥ b ≥ c > 0
...
Điều này luôn đúng với mọi a ≥ b ≥ c > 0 và a > 1, a ẻ R
dấu bằng xảy ra khi a = b = c > 0.