Tóm tắt lý thuyết và bài tập về Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan

ĐIỆU CỦA HÁM SỐ.
 1/ Giả sử f(x) có đạo hàm trên khoảng (a ; b). Ta có:
 a) Điều kiện đủ:
 - f’(x) > 0 trên khoảng (a ; b) f(x) đồng biến trên khoảng (a ; b).
 - f’(x) < 0 trên khoảng (a ; b) f(x) nghịch biến trên khoảng (a ; b).
 b) Điều kiện cần.
 - f(x) đồng biến trên khoảng (a ; b) f’(x) trên khoảng (a ; b).
 - f(x) nghịch biến trên khoảng (a ; b) trên khoảng (a ; b).
 2/ Phương pháp tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Tìm TXĐ của hàm số.
Tính y’, giải phương trình y’ = 0.
Lập bảng xét dấu y’.
Sử dụng điều kiện đủ của tính đơn điệu để kết luận.
Chú ý: Trong điều kiện đủ, nếu f’(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm thuộc (a ; b) thì kết luận vẫn đúng 
Cần nhớ: f(x) = ax2 + bx + c
 . Nếu thì f(x) luôn cùng dấu a.
 . Nếu thì f(x) luôn cùng dấu a 
 . Nếu thì f(x) có hai nghiệm x1 , x2 . Ta có bảng xét dấu sau:
 x - x1 x2 +
 f(x) Cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 Cùng dấu a 
Đặc biệt: + 
 + 
 + có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và x1 < < x2 .
BÀI TẬP
1. Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số.
 a) y = 4 + 3x – x2	 b) y = 2x3 – 6x + 2 c) y = - 
 d) y = x3 + 3x + 1 e) y = f) y = x4 – 2x2 + 3 
 g) y = -x4 + 2x2 – 1 k) y = l) y = m) y = 
 p) y = q) y = r) y = x + 
2. Tìm m để các hàm số sau đồng biến trên R.
 a) y = x3 – 3mx2 + (m + 2)x – 1 ĐS : 
 b) y = mx3 – (2m – 1)x2 + 4m – 1 ĐS : m = 
3, Tìm m để các hàm số sau nghịch biến trên TXĐ
 a) y = ĐS : 
 b) y = ĐS : 
4. Tìm m để các hàm số :
 a) y = đồng biến trên từng khoảng xác định của hs. ĐS : m 1
 b) y = nghịch biến trên từng khoảng xác định của hs. ĐS : 
2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
 * Quy tắc tìm cực trị của y = f(x).
 Quy tắc 1: 
Tìm TXĐ
Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định.
Lập bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
 Quy tắc 2.
 1.Tìm TXĐ
 2. Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu xi ( i = 1, 2, 3n) là các nghiệm của nó.
 3. Tính f”(x) và f”(xi).
 4, Dựa vào dấu của f”(xi) suy ra tính chất cực trị của xi .
BÀI TẬP
1. Tìm các điểm cực trị của các hàm số.
 a) y = x2 – 3x – 4 b) y = 2x3 – 3x2 + 1 c) y = 
 d) y = x3 – 3x2 +3x e) y = f) y = g) y = x3(1 – x)2 h) y = k) y = l) y = x + m) y = n ) y = 
 p) y = sinx + cosx q) y = 2sinx + cos2x trên [ 0 ; ]
2. Tìm m để hàm số : 
 a) y = x3 – 2mx2 + 1 có cực đại và cực tiểu. ĐS : m 
 b) y = có cực đại và cực tiểu ( có cực trị) 
 ĐS : 
 c) y = có cực đại và cực tiểu. ĐS : m < 3
 d) y = x4 – mx2 + 2 có 3 cực trị. ĐS : m > 0
 e) y = x3 – 3mx2 + (m – 1)x + 2 đạt cực trị tại x = 2 ĐS : m = 1
 f) y = x3 – mx2 – mx – 5 đạt cực tiểu tại x = 1 ĐS : m = 1
 g) y = x3 + (m + 1)x2 + (2m – 1)x + 1 đạt cực đại tại x = -2 ĐS : m = 7/2
 h) y = đạt cực đại tại x = 2 ĐS : m = -3
 k) y = đạt cực tiểu tại x = 1
3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.
 . Cách tìm GTLN – GTNN của hàm số y = f(x) trên 1 khoảng (a; b):
	B1: Tìm các điểm trên khoảng (a; b) sao cho f’(x) = 0 hoặc f’(x) không
 xác định
	B2: Lập bảng biến thiên và kết luận.
. Cách tìm GTLN – GTNN của hàm số y = f(x) trên 1 đoạn [a; b]
	B1: Tìm các điểm x1, x2, x3, ... trên khoảng (a; b) sao cho f’(x) = 0 
 hoặc f’(x) không 
xác định
B2: Tính f(a), f(x1), f(x2), f(x3), ... , f(b).
B3: Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.
Khi đó: 
BÀI TẬP
Bài 1. Tìm GTLN và GTNN ( nếu có) của các hàm số.
 a) y = x3 – 3x2 + 5 trên đoạn [-1 ; 1] b) c. với x > 0
 c) y = x4 – 2x2 + 3 trên đoạn [-3 ; 2] d) y = x4 – 2x2 + 1 trên đoạn [1 ; 4]
Bài 2: Tìm GTLN – GTNN (nếu có) của hàm số y = x4 – 3x3 + x2 – 2 trên :
a. Khoảng (0 ; 6) b. Đoạn [1; 2]
Bài 3: Tìm GTLN – GTNN(nếu có) của hàm số:
a. f(x) = x + trên khoảng ( 0; 5) b. với x > 0
6. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ. 
 1/ Các bước khả sát sự biến thiên và vẽ đồ thi hàm số.
 1o Tìm TXĐ.
 2o Xét sự biến thiên.
Giới han – Tiệm cận.
Lập bảng biến thiên.
 3o Vẽ đồ thị.
Vẽ các đường tiệm cận (nếu có)
Xác định một số điểm dặc biệt của đồ thị ( Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ).
Nhân xét đồ thị : Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng. 
 2/.Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a 
a > 0
a < 0
Pt y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Pt y’ = 0 có nghiệm kép
Pt y’ = 0 vô nghiệm
BÀI TẬP
Khảo sát sự biến tiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau :
1. y = x3 – 3x2 + 1	2. y = -x3 + 3x + 2	3. y = 2x3 – 3x2 +1	
4. y = 5, y = x3 – 3x2 + 3x + 1	6. y = -x3 – 3x + 2
3/. Hàm số y = ax4 + bx2 + c (a 
a > 0
a < 0
Pt y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt
Pt y’ = 0 có một nghiệm
BÀI TÂP
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau :
1. y = x4 – 2x2 – 3	 2. y = -x4 + 2x2 – 1	3. y = 	
4. y = 5. y = x4 + 2x2 – 3
4/. Hàm số y = 
D = ad – bc > 0
D = ad – bc < 0
BÀI TẬP
Khào sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau :
1. y = 	2. y = 	 3. y = 	4. y = 	5. y = 
7. MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯƠNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ
Vấn đề 1: Tìm số điểm chung của hai đường 
(C) : y = f(x) ; (C/) : y = g(x). Do đó: số nghiệm của pt f(x) = g(x) chính là số nghiệm chung của (C) và (C/).
Vấn đề 2: Điều kiện để hai đường (C) : y = f(x) ; (C/) : y = g(x) tiếp xúc nhau
(C) tiếp xúc (C/) hệ có nghiệm.
Nghiệm của hệ chính là hoành độ của tiếp điểm.
Vấn đề 3: Biện luận bằng đồ thị số nghiệm của pt F(x, m)=0 (1)
Viết (1) thành dạng f(x) = g(m)
Vẽ (d) : y = g(m) (d // Ox)
Số giao điểm của d và (C) là số nghiệm của (1)
Vấn đề 4: Tiếp tuyến với đường (C): y = f(x)
Tiếp tuyến với (C) tại M(xo; yo) (C). Ta sử dụng công thức: y – yo= f/(xo) (x - xo) (*)
Tiếp tuyến với (C) có phương trình là đường thẳng d và có hệ số góc là kd
Ta có: f/(xo) = kd . Giải pt này ta tìm được xo và áp dụng công thức (*)
Ta thường gặp hai công thức sau: 
	(tt)// (d) f/(xo) = kd.
 (tt)/ (d) f/(xo) =.
Tiếp tuyến với (C): y = f(x) qua điểm A(xA; yA) cho trước.
Gọi (d): y = g(x) là đường thẳng qua A(xA; yA) có hệ số góc k 
(d) tiếp xúc (C) có nghiệm. Giải hệ tìm được k 
BÀI TẬP.
1. Cho (C) : y = x3 – 6x2 + 9x – 1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :
Tại điểm uốn của (C) (Là điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f”(x) = 0)
Tại điểm có tung độ bằng -1
Song song với đường thẳng d1 : y = 9x – 5.
Vuông góc với đường thẳng d2 : x + 24y = 0.
2. Cho (C) : y = .Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
Tại giao điểm của (C ) với trục Ox.
Song song với đường thẳng d1 : y = 4x – 5.
Vuông góc với đường thẳng d2: y = -x. 
Tại giao điểm của hai tiệm cận.
1) Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 4
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M0(-1; -2)
2) Cho hàm số y = -x3 + 3x + 1.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình 
 x3 – 3x + m = 0.
c)Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hòanh độ x0 = 1.
3) Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9x + 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y = 
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số
4) Cho hàm số y = - x3 + 3x2 – 2.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = - 9x + 1
c) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.
5) Cho hàm số y = 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1 ; 0)
6) Cho hàm số y = 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hòanh.
7) Cho hàm số y = x3 + x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
1)Cho hàm số y = x4 – 2x2 + 1
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
 b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x4 – 2x2 + 1 – m = 0.
 c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hòanh độ x =
2) Cho hàm số y = - x4 + 2x2 + 2.
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
 b) Tìm m để phương trình x4 – 2x2 + m = 0 có bốn nghiệm phân biệt.
 c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
3) Cho hàm số y = 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x4 – 6x2 + 3 – m = 0.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0 ; 
4) Cho hàm số y = -x4 + 6x2 – 5
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0(1 ; 0).
5) Cho hàm số y = 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm m để phương trình : x4 – 8x2 – 4 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
1)Cho hàm số y = .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại điểm M0(2 ; 3).
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -2x + 1
2) Cho hàm số y = .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại điểm có hòanh độ x = -2
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
y = -x + 2
3) Cho hàm số y = .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.
b) Tìm trên (H) những điểm có tọa độ là các số nguyên.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại giao điểm của (H) với trục tung.
4) Cho hàm số y = .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại giao điểm của (H) với trục hòanh.
c) Tìm m để đường thẳng y = x + m cắt (H) tại hai điểm phân biệt.
5) Cho hàm số y = 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.
b) Một đường thẳng (d) đi qua A(-4 ; 0) có hệ số góc là m. Tìm m để (d) cắt (H) tại hai điểm phân biệt.
c) Viết phươn