Tổng hợp một số câu hỏi trắc nghiệm môn Toán

 (m 4)y m
+ − + =⎧⎨ − + − =⎩
Traû lôøi töø caâu 1 ñeá caâu 3. 
1.Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì heä coù nghieäm duy nhaát. 
a. m 3≠ − b. m 3≠ − vaø m 2≠ c. m 2≠ − vaø m 4≠ 
d. m 2≠ e. Moät keát quaû khaùc. 
2. Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì heä voâ nghieäm. 
a. m = - 2 b. m = 2 c. m = - 3 d. m = 4 
e. Ñaùp soá khaùc. 
3. Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì heä voâ soá nghieäm (x, y). 
a. m = 2 b. m = - 3 c. m = - 2 d. m = 1 
e. m = 3 
Xeùt heä phöông trình: 
ax 2y a 1
2x ay 2a 1
+ = +⎧⎨ + = −⎩
Traû lôùi caùc caâu hoûi töø caâu 4 ñeán caâu 6. 
4. Vôùi giaù trò naøo cuûa a thì heä coù nghieäm duy nhaát: 
a. a 2≠ − b. a 2≠ + c. a 3≠ ± d. a 2≠ ± 
e. a 3≠ − 
5. Heä thöùc ñoäc laäp giöõa caùc nghieäm laø: 
a. 2 22x 2y 5y x 3 0− + + + = b. 2 22(x y ) 5y x 2 0− − + + = 
c. 2 2x y 5y x 1 0− + + − = d. 2 22(x y ) 5y x 3 0+ + − − = 
6. Vôùi giaù trò nguyeân naøo cuûa a thì heä coù nghieäm nguyeân duy nhaát. 
a. a 1,= ± a 3= ± b. a 2,= ± a 4= ± c. a 2= ± 
d. a 3= ± e. Ñaùp soá khaùc. 
 104
7. Ñònh a ñeå heä coù nghieäm thoûa: 2 2(x y )+ nhoû nhaát: 
2x y 5
2y x 10a 5
+ =⎧⎨ − = +⎩
a. 3a
2
= − b. 1a
2
= − c. a = 1 d. 1a
2
= 
e. Moät soá khaùc. 
8. Ñònh a ñeå heä coù nghieäm thoûa x, y lôùn nhaát. 
2x y 5
2y x 10a 5
+ =⎧⎨ − = +⎩
a. 3
4
 b. 1
2
− c. 1
4
 d. 1 e. 2
3
9. Cho heä phöông trình: 
mx 2y m 1
2x my 2m 5
+ = +⎧⎨ + = +⎩
 vaø caùc meänh ñeà: 
(I) Heä coù nghieäm duy nhaát khi m 2≠ 
(II) Heä coù voâ soá nghieäm khi m = - 2 
(III) Heä voâ nghieäm khi m = 2 
Caùc meänh ñeà naøo ñuùng ? 
a. Chæ (I) b. Chæ (II) c. Chæ (III) d. Chæ (II) vaø (III) 
e. Chæ (I) vaø (III). 
10. Tìm ñieàu kieän ñeå heä coù voâ soá nghieäm: 
4x my 1 m
(m 6)x 2y 3 m
− + = +⎧⎨ + + = +⎩
a. m = 3 b. m = - 3 c. m = 1 d. m = 2 
e. m = - 2 
11. Nghieäm cuûa heä phöông trình:
2 2x y xy 6
xy x y 5
⎧ + =⎪⎨ + + =⎪⎩
 laø caëp naøo ? 
a. (1, 2) vaø (2, 1) b. (1, 2) c. (2, 1) 
d. (1, 1) e. Ñaùp soá khaùc. 
 105
12. Cho heä phöông trình: 2 2
x xy y a 1
x y y x a
+ + = +⎧⎪⎨ + =⎪⎩
Ñònh a ñeå heä coù ít nhaát moät nghieäm (x, y) thoûa ñieàu kieän: x > 0 vaø y > 
0: 
a. 10 a
4
< ≤ b. a 2≥ c. a 2≥ ∨ 10 a
4
< ≤ 
d. a 2≤ ∨ 10 a
3
< ≤ e. Ñaùp soá khaùc. 
13. Nghieäm cuûa heä phöông trình: 
2
2
x 3x 2y
y 3y 2x
⎧ = +⎪⎨ = +⎪⎩
 laø caëp naøo ? 
a. (0, 0), (5, 5) b. (0, 0), (5, 5), (-1, 2) vaø (2, -1) c. (-1, 2), (2, -1), (0, 
0) 
d. (5, 5), (3, 3) e. Moät keát quaû khaùc. 
14. Heä phöông trình: 
2 2
2 2
2x 3xy y 15
x xy 2y 8
⎧ + + =⎪⎨ + + =⎪⎩
 coù bao nhieâu caëp nghieäm 
(x, y). 
a. 1 b. 3 c. 2 d. 4 e. Voâ 
nghieäm. 
15. Heä phöông trình: 
2 2x 2xy 3y 0
x x y y 2
⎧ + − =⎪⎨ + = −⎪⎩
 coù caëp nghieäm laø: 
a. ( 1, 1)− − b. 3 1,
2 2
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ c. (2, 2), 
1 1,
4 3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
d. 3 1, (3,3)
2 2
⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠ e. 
3 1( 1, 1), ,
2 2
⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 106
16. Nghieäm cuûa heä phöông trình: 
x y z 9
xy yz zx 27
1 1 1 1
x y z
⎧⎪ + + =⎪⎪ + + =⎨⎪⎪ + + =⎪⎩
 laø boä ba naøo ? 
a. (2, 2, 2) b. (3, 3, 3) c. (4, 4, 4) d. (2, 2, 1) e. Moät 
keát quaû khaùc. 
17. Ñònh m ñeå phöông trình sau coù nghieäm: 
x 1 y m
y 1 x 1
⎧ + + =⎪⎨ + + =⎪⎩
a. m = 1 b. m = 2 c. m = - 1 d. m = 3 e. m = 
- 2. 
18. Heä phöông trình: 
2 2x xy y 4
x xy y 2
⎧ + + =⎪⎨ + + =⎪⎩
 Coù bao nhieâu caëp nghieäm 
(x,y). 
a. 3 b. 4 c. 2 d. 1 e. Caû 4 
caâu treân ñeàu sai. 
19. Nghieäm cuûa heä: 
2 2
2 2
x 2y 2x y
y 2x 2y x
⎧ − = +⎪⎨ − = +⎪⎩
 laø: 
a. (0, 0),(1, 1) b. (-3, -3) c. (2, 2),(0, 0) d. (0, 0), (-3, -
3) 
e. Moät keát quaû khaùc. 
20. Soá caëp nghieäm cuûa heä: 
3 3
6 6
x y 3x 3y
x y 1
⎧ − = −⎪⎨ + =⎪⎩
 laø: 
a. 4 b. 1 c. 2 d. 3 e. Caû 4 
caâu treân ñeàu sai. 
 107
HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI 
1b. 
m 4 (m 2)
D 3(m 3)(m 2)
2m 1 m 4
+ − += = + −− − 
x
4 (m 2)
D (m 2)(m 8)
m m 4
− += = − +− 
2
y
m 4 4
D (m 2)
2m 1 m
+= = −− 
Neáu D 0 3(m 3)(m 2) 0 m 3≠ ⇔ + − ≠ ≠ − vaø m 2≠ thì heä coù nghieäm 
duy nhaát. 
2c. Vôùi m = - 3 thì D = 0, xD 25 0 := − ≠ heä voâ nghieäm. 
3a. Vôùi m = 2 thì D = 0, heä 
6x 4y 4 3x 2y 2
3x 2y 2 3x 2y 2
− = − =⎧ ⎧⇔ ⇔⎨ ⎨− = − =⎩ ⎩
⇒Heä coù voâ soá nghieäm (x, y) vôùi 3x – 2y = 2 hay: 
x tuøy yù
3x 2y
2
⎧⎪⎨ −=⎪⎩
. 
4d. Ta coù: 2
a 2
D a 4
2 a
= = − 
Ñeå heä coù nghieäm duy nhaát 2D 0 a 4 0 a 2⇔ ≠ ⇔ − ≠ ⇔ ≠ ± . 
5e. Ta coù: 
2 2a(x 1) 1 2y 1 2y 1 2x 2(x y ) 5y x 3 0
a(y 2) 1 2x x 1 y 2
− = −⎧ − − −⇒ = ⇔ − + − − =⎨ − = − − − −⎩
6a. 2x
a 1 2
D a 3a 2 (a 1)(a 2)
2a 1 a
+= = − + = − −− 
 2y
a a 1
D 2a 3a 2 (a 2)(2a 1)
2 2a 1
+= = − − = − +− 
 108
Vôùi a 2≠ ± ⇒ heä coù nghieäm duy nhaát. 
xD a 1 3x 1
D a 2 a 2
−= = = −+ + ; 
yD 2a 1 3y 2
D a 2 a 2
+= = = −+ + 
Vaäy x, y nguyeân a 2⇔ + laø öôùc soá cuûa 3 
1 1
1 3
a 2 a
3 1
3 3
−⎡ ⎡⎢ ⎢− −⎢ ⎢⇔ + = ⇔ =⎢ ⎢⎢ ⎢− −⎢ ⎢⎣ ⎣
7b. Ta coù: 
2 1
D 5,
1 2
= =− 
x
5 1
D 5( 2a 1)
10a 5 2
= = − ++ ; y
2 5
D 5(4a 3)
1 10a 5
= = +− + 
Heä coù nghieäm: 
x
2 2 2
y
Dx 2a 1
D x y f(a) 20a 20a 10
D
y 4a 3
D
⎧ = = − +⎪⎪ ⇒ + = = + +⎨⎪ = = +⎪⎩
f '(a) 40a 20,= + 1 1f '(a) 0 a f 1
2 2
⎛ ⎞= ⇔ = − ⇒ − = −⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Baûng bieán thieân: 
⇒ Min 2 2(x y 1)+ = − khi 1a
2
= − 
 109
8c. Heä 
2x y 5
x 2y 10a 5
+ =⎧⇔ ⎨− + = +⎩
 D = 5 , 
x
5 1
D 5( 2a 1)
10a 5 2
= = − ++ ; y
2 5
D 20a
1 10a 5
= =− + 
x
2
y
Dx 2a 1
D xy f(a) 8a 4a
D
y 4a
D
⎧ = = − +⎪⎪⇒ ⇒ = = − +⎨⎪ = =⎪⎩
f '(a) 16a 4,⇒ = − + 1f '(a) 0 a ,
4
= ⇔ = 1 1f
4 2
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Baûng bieán thieân: 
1Max(xy)
2
⇒ = khi 1a
4
= . 
9d. Ta coù: 2
m 2
D m 4 (m 2)(m 2)
2 m
= = − = + − 
x
m 1 2
D (m 5)(m 2),
2m 5 m
+= = − ++ y
m m 1
D (m 2)(2m 1)
2 2m 5
+= = + −+ 
. Neáu D 0 m 2≠ ⇔ ≠ ± thì heä coù nghieäm duy nhaát. 
. Neáu D = 0 m 2⇔ = ± 
+ m = 2: xD 12 0 := − ≠ heä voâ nghieäm 
+ m = - 2: heä trôû thaønh: 
2x 2y 1
2x 2y 1
− =⎧ ⇒⎨ − =⎩
 heä coù voâ soá nghieäm. 
 110
10e. Ñeå heä coù voâ soá nghieäm tröôùc tieân phaûi coù: 
24 mD 8 m 6m 0
m 6 2
−= = − − − =+ 
2m 6m 8 0 m 2 m 4⇔ + + = ⇔ = − ∨ = − 
. Vôùi m = - 2: heä trôû thaønh: 
4x 2y 1
4x 2y 1
4x 2y 1
− − = −⎧ ⇔ + = ⇒⎨ + =⎩
heä coù voâ 
soá nghieäm m 2⇒ = − (nhaän). 
. Vôùi m = - 4: Heä trôû thaønh: 
34x 4y 3 2x 2y
2
2x 2y 1 2x 2y 1
⎧− − = − + =⎧ ⎪⇔⎨ ⎨+ = −⎩ ⎪ + = −⎩
 Voâ 
nghieäm. 
Vaäy m = - 2 heä coù voâ soá nghòeâm. 
11a. Heä 
SP 6 S 2 S 3
P S 5 P 3 P 2
= = =⎧ ⎧ ⎧⇔ ⇔ ∨⎨ ⎨ ⎨+ = = =⎩ ⎩ ⎩
. S = 2, P = 3 khoâng thoûa 2S 4P 0− ≥ (loaïi) 
. S = 3, P = 2: 
x 1 x 2
y 2 y 1
= =⎧ ⎧⇔ ∨⎨ ⎨= =⎩ ⎩
12c. Heä 
S P a 1 S a S 1
SP a P 1 P a
+ = + = =⎧ ⎧ ⎧⇔ ⇔ ∨⎨ ⎨ ⎨= = =⎩ ⎩ ⎩
. Vôùi 
S a
P 1
=⎧⎨ =⎩
 ñieàu kieän ñeå x > 0, y > 0 laø: 
2
2
S 0
a 0
P 0 a 2
a 4 0
S 4 0
⎧ > >⎧⎪ ⎪> ⇔ ⇔ ≥⎨ ⎨ − ≥⎪⎪ ⎩− ≥⎩
 111
. Vôùi 
S 1
P a
=⎧⎨ =⎩
Ñieàu kieän ñeå x > 0, y > 0 laø: 
2
S 0
a 0 1P 0 0 a
1 4a 0 4
S 4 0
⎧ > >⎪ ⎧> ⇔ ⇔ < ≤⎨ ⎨ − ≥⎩⎪ − ≥⎩
Vaäy 1a 2 0 a
4
≥ ∨ < ≤ . 
13b. 
2
2
x 3x 2y (1)
y 3y 2x (2)
⎧ = +⎪⎨ = +⎪⎩
 (1) – (2): (x - y)(x + y - 1) = 0 
TH 1: y = x thay vaøo (1): 2x 5x x 0 x 5= ⇔ = ∨ = 
x 0 y 0;= ⇒ = x 5 y 5= ⇒ = 
TH 2: x y 1 0 y 1 x+ − = ⇔ = − thay vaøo (1): 
2 2x 3x 2(1 x) x x 2 0= + − ⇔ − − = 
x 1 x 2⇔ = − ∨ = 
x 1 y 2,= − ⇒ = x 2 y 1= ⇒ = − . 
Vaäy heä coù 4 nghieäm: (0, 0), (5, 5), (-1, 2) vaø (2, -1). 
14d. Ta thaáy x = 0, y = 0 khoâng phaûi laø nghieäm heä phöông trình: 
Ñaët x = ky thì heä phöông trình ñaõ cho trôû thaønh: 
2 2
2 2
(2k 3k 1)y 15 (1)
(k k 2)y 8 (2)
⎧ + + =⎪⎨ + + =⎪⎩
Vì y 0≠ neân (1)vaø (2) cho 2 1 2k 9k 22 0 k 2, k 11+ − = ⇔ = = − 
. k = 2 2x 2y y 1 y 1⇒ = ⇒ = ⇔ = ± . 
Vaäy nghieäm cuûa heä: (2, 1) ; (-2, -1) 
. k = - 11 thì : 2 1 1x 11y y y
14 14
= − ⇒ = ⇔ = ± 
⇒ nghieäm heä: 11 1 11 1, ; ,
14 14 14 14
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Toùm laïi heä coù 4 caëp 
nghieäm. 
 112
15e. 
2 2x 2xy 3y 0 (1)
x x y y 2 (2)
⎧ + − =⎪⎨ + = −⎪⎩
Ta xem (1) laø phöông trình aån soá x ta coù: 2 2 2' y 3y 4y∆ = + = 
x y x 3y⇔ = ∨ = − 
Do ñoù heä phöông trình trôû thaønh: 
x y x 3y
y y y y 2 3y 3y y y 2
= = −⎧ ⎧⎪ ⎪∨⎨ ⎨+ = − − − + = −⎪ ⎪⎩ ⎩
x y 1x y
32y y 2 x
2x 3y
1y8y y 2 2
= = −⎡⎡ =⎧⎪ ⎢⎢⎨ ⎧= − ⎢⎪⎢⎩ = −⎪⇔ ⇔ ⇒⎢⎪⎢ = −⎧ ⎨⎢⎪⎢ ⎪⎨ ⎢⎢ ==⎪⎢ ⎪⎩ ⎢⎣ ⎩⎣
 Ñaùp soá: 
3x
2x y 1
1y
2
⎧ = −⎪⎪= = − ∨ ⎨⎪ =⎪⎩
16b. Ñieàu kieän x 0, y 0, z 0≠ ≠ ≠ . Hai veá cuûa (3) nhaân cho xyz: 
x y z 9 (1)
xy yz zx xyz (4)
xy yz zx 27(2) 
(2)vaø(4) xyz 27 (5)
1 1 1 1 (3)
x y z
⎧⎪ + + =⎪ + + =⎪ + + =⎨ ⇒ =⎪⎪ + + =⎪⎩
Nhaân 2 veá cuûa (2) vôùi x, ta ñöôïc : 
2 2 2x y xyz zx 27x x (y z) xyz 27x+ + = ⇔ + + = (6) 
(1) y z 9 x⇔ + = − (7) 
Töø (5), (7) theá vaøo (6) : 2x (9 x) 27 27x− + = 
3 2 3x 9x 27x 27 0 (x 3) 0 x 3⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ = 
Thay x = 3 vaøo (1) vaø (5) : 
y z 6
y z 3
yz 9
+ =⎧ ⇒ = = ⇒⎨ =⎩
Ñaùp soá: x = y = z = 3. 
 113
17a. 
x 1 y m(1)
y 1 x 1(2)
⎧ + + =⎪⎨ + + =⎪⎩
 Ñieàu kieän cuûa heä: x 0,y 0≥ ≥ 
Thì y 1 x 1 (2) x y 0+ + ≥ ⇒ ⇔ = = thay vaøo (1): ta ñöôïc m = 1. 
Vaäy heä coù nghieäm khi m = 1. 
18c. Ta coù: 
2 2 2x xy y 4 s p 4(s x y, p xy)
x xy y 2 s p 2
⎧ ⎧+ + = − =⎪ ⎪⇔ = + =⎨ ⎨+ + = + =⎪ ⎪⎩ ⎩
2 s 3 s 2s s 6 0
p 5 p 0p 2 s
⎧ = − =⎧ ⎧+ − =⎪⇔ ⇔ ∨⎨ ⎨ ⎨= == −⎪ ⎩ ⎩⎩
 chæ nhaän 
s 2
p 0
=⎧⎨ =⎩
 thoûa ñieàu kieän 
2s 4p≥ ⇒ nghieäm x 0 x 2
y 2 y 0
= =⎧ ⎧∨⎨ ⎨= =⎩ ⎩
19d. 
2 2
2 2
x 2y 2x y (1)
y 2x 2y x (2)
⎧ − = +⎪⎨ − = +⎪⎩
(1) – (2) : 2 2
x y
3(x y ) x y (x y)(3x 3y 1) 0 1x y
3
=⎡⎢− = − ⇔ − + − = ⇔ ⎢ + =⎢⎣
Heä cho 2 2
2 2
1x y x y
3(I) : ;(II)
x 2y 2x y x y 3(x y)
⎧= + =⎧⎪ ⎪⇔ ⎨ ⎨− = +⎪ ⎪⎩ + = − +⎩
2
x y x 0 x 3
(I)
y 0 y 3x 3x
=⎧ = = −⎧ ⎧⎪⇔ ⇔ ∨⎨ ⎨ ⎨= = −− =⎪ ⎩ ⎩⎩
1x y
3(II)
5xy
9
⎧ + =⎪⎪⇔ ⎨⎪ =⎪⎩
 khoâng thoûa ñieàu kieän 2s 4p 0 (II)VN− ≥ ⇒ 
Vaäy nghieäm soá heä: (0, 0), (-3, -3) 
 114
20c. 
3 3
6 6
x y 3x 3y (1)
x y 1 (2)
⎧ − = −⎪⎨ + =⎪⎩
Ta coù: 2 2(1) (x y)(x xy y 3) 0⇔ − + + − = 
* 6 66 6 6
x y 1 1 1x x
2 2 2x y 1
=⎧⎪ ⇒ = ⇒ = ± = ±⎨ + =⎪⎩
⇒ Coù 2 caëp nghieäm cuûa heä : 
6 6 6 2
1 1 1 1, , ,
2 2 2 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
* 
2 2
6 6
x xy y 3 0(3)
x y 1 (2)
⎧ + + − =⎪⎨ + =⎪⎩
(4) x 1⇒ ≤ vaø 2 2y 1 x y x