Đề kiểm tra cuối năm lớp 12 môn Toán

ĐỀ KIỂM TRA CUỐI NĂM LỚP 12
MễN TOÁN
I - Phần chung cho tất cả thí sinh (7,0 điểm)
Câu 1. (3,0 điểm) :
	Cho hàm số .
1. 	Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2. 	Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.
Câu 2. (3,0 điểm) :
1. 	Giải bất phương trình 
2. 	Tính tích phân 
3. 	Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x - e2x trên đoạn [–1 ; 0].
Câu 3. (1,0 điểm) :
	Cho khối chóp đều S.ABCD có AB = a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60o. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.
II - Phần riêng (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một phần tự chọn (phần 1 hoặc phần 2).
1. 	Theo chương trình Chuẩn
Câu 4. a) (2,0 điểm) :
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1 ; 4 ; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình : x + 2y + z – 1 = 0.
1. Hãy tìm toạ độ của hình chiếu vuông góc của A trên (P).
2. Viết phương trình của mặt cầu tâm A, tiếp xúc với (P).
Câu 5. a) (1,0 điểm) :
	Tìm môđun của số phức z = 4 – 3i + (1 – i)3.
2. 	Theo chương trình Nâng cao
Câu 4. b) (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(–1 ; 2 ; 3) và đường thẳng d có phương trình : .
1. 	Hãy tìm toạ độ của hình chiếu vuông góc của A trên d.
2. 	Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d.
Câu 5. b) (1,0 điểm) :
	Viết dạng lượng giác của số phức z = 1 – i.
HƯỚNG DẪN - LỜI GIẢI – ĐÁP SỐ
Câu 1. (3,0 điểm) :
1. 	Tập xác định : D = \ {1}.
	Sự biến thiên :
Ÿ 	Chiều biến thiên : y' = < 0, "x ẻ D.
	Suy ra, hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng và .
Ÿ 	Cực trị : Hàm số không có cực trị.
Ÿ 	Giới hạn : ; và .
	Suy ra, đồ thị của hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1, và một tiệm cận ngang là đường thẳng y = –2.
Ÿ 	Bảng biến thiên :
x
-Ơ
1
+Ơ
y'
-
0
-
y
-2
+Ơ
-Ơ
-2
	Đồ thị : (HS tự vẽ hình)
	Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0 ; –3) và cắt trục hoành tại điểm .
	Đồ thị nhận điểm I(1 ; -2) (là giao điểm của hai đường tiệm cận) làm tâm đối xứng.
2. 	Đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (ẩn x) có hai nghiệm phân biệt
	Û Phương trình (ẩn x) mx2 – (m – 4)x – 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt, khác 1
Û 
Û Û 
Câu 2. 1. 	HS tự giải. ĐS : x 2.
	2. 	HS tự giải. ĐS : 
	3. 	Ta có : f '(x) = 1 – 2e2x.
	Do đó : 	f '(x) = 0 Û x = ln ẻ (– 1 ; 0) ;
	f '(x) > 0 "x ẻ [– 1 ; ln) ;
	f '(x) < 0 "x ẻ (ln 0].
	Suy ra : ;
Câu 3. 	(H.44) Do S.ABCD là khối chóp đều và AB = a nên đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và gọi I là trung điểm của cạnh BC. Ta có SO là đường cao và là góc giữa mặt bên và mặt đáy của khối chóp đã cho.
	Trong tam giác vuông SOI, ta có :
	SO = OI.tan = .tan60o = .
	Diện tích đáy : 
	Do đó, thể tích khối chóp S.ABCD là :
	VS.ABCD = SABCD.SO 	
	= a2. = .	Hình 44
Câu 4. a)
1. 	Kí hiệu d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P). Gọi H là giao điểm của d và (P), ta có H là hình chiếu vuông góc của A trên (P).
	Do = (1 ; 2 ; 1) là một vectơ pháp tuyến của (P) nên là một vectơ chỉ phương của d. Suy ra, d có phương trình : .
	Toạ độ của H là nghiệm của hệ phương trình :
	Giải hệ trên, ta được : , , .
	Vậy : 	H = .
2. 	Cách 1 (dựa vào kết quả phần 1)
	Kí hiệu R là bán kính mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng (P). Ta có
	R = AH = .
	Do đó, mặt cầu có phương trình là
	(x – 1)2 + (y – 4)2 + (z – 2)2 = 
	hay 	3x2 + 3y2 + 3z2 - 6x – 24y – 12z + 13 = 0.
Ÿ 	Cách 2 (độc lập với kết quả phần 1) :
	Kí hiệu R là bán kính mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng (P). Ta có R bằng khoảng cách từ A đến (P). Suy ra
	.
Do đó, mặt cầu có phương trình là :
	(x – 1)2 + (y – 4)2 + (z – 2)2 = 
	hay 	3x2 + 3y2 + 3z2 - 6x – 24y – 12z + 13 = 0.
Câu 5. a)
Ta có 	z = 4 – 3i + (1 – 3i – 3 + i) = 2 – 5i ;
Do đó 	|z| = 
Câu 4. b)
1. 	Kí hiệu (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d. Gọi H là giao điểm của (P) và d, ta có H là hình chiếu vuông góc của A trên d.
	Do = (1 ; 2 ; 1) là một vectơ chỉ phương của d nên là một vectơ pháp tuyến của (P). Suy ra, (P) có phương trình
	x + 2y + z – 6 = 0.
	Do đó, toạ độ của H là nghiệm của hệ phương trình
	Giải hệ trên, ta được , , .
	Vậy H = .
2.	Ÿ Cách 1. (dựa vào kết quả phần 1)
	Kí hiệu R là bán kính mặt cầu tâm A, tiếp xúc với đường thẳng d. Ta có
	R = AH = .
	Do đó, mặt cầu có phương trình là
	(x + 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 
	hay 	3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x – 12y – 18z – 13 = 0.
	Ÿ Cách 2. (độc lập với kết quả phần 1)
	Kí hiệu R là bán kính mặt cầu tâm A, tiếp xúc với đường thẳng d. Ta có R bằng khoảng cách từ A đến d. Suy ra
R = .
	Do đó, mặt cầu có phương trình là
	(x + 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 
	hay 	3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x – 12y – 18z – 13 = 0.
Câu 5. b) Ta có z =