Đề cương Ôn thi Tốt nghiệp môn Toán năm học 2009-2010

1) và (0; 1)
* Cực trị:	Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = y(0) = 2
	Hàm đạt cực tiếu tại x = 1, yCT = y(1) = 1
* Giới hạn: 
* Bảng biến thiên
x
- -1 0 1 +
y’
 - 0 + 0 - 0 +
y
2
1
1
+ +
3. Đồ thị
Giao điểm của đồ thị với trục Oy: (0; 2)
2.4. Bài tập tự giải:
Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:
1. y = -x4 + 8x2 - 1
2. y = -x4 – 2x2 + 3
3. y = 
4. y = 
5. y = 
6. y = 
7. y = x4 – 2x2
8. y = x4 + x2 + 1
9. y = 
3. Dạng 3: Hàm phân thức hữu tỷ 
3.1. Các bước khảo sát và vẽ đồ thị.
1. Tập xác định: D = 
2. Sự biến thiên
* Đạo hàm
* Hàm số không có cực trị
	Lưu ý: Loại hàm số này không có cực trị
* Tìm các giới hạn: Từ đó suy ra các đường tiệm cận
* Lập bảng biến thiên.
3. Vẽ đồ thị:
Khi vẽ đồ thị hàm số b1/b1, ngoài các lưu ý trong SGK học sinh cần lưu thêm một số điểm sau:
- Vẽ các đường tiệm cận lên hệ trục toạ độ
- Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ, các điểm đặc biệt và biểu diễn chúng lên hệ trục tạo độ.
3.2. Ví dụ
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 
3.3. Hướng dẫn
1. Tập xác định D = 
2. Sự biến thiên
* Ta có 
	Do đó hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng và ()
	* Hàm số không có cực trị
	* Giới hạn
	Do đó đò thị hàm số nhận các đường thẳng x = làm tiệm cận đứng và đường thẳng y = làm tiệm cận ngang.
* Bảng biến thiên
x
- - +
-
-
+
 - -
y
-
3. Đồ thị
Giao điểm của đồ thị với trục Ox: (2; 0)
Giao điểm của đồ thị với trục Oy: (0; 2)
3.4. Bài tập tự giải
Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:
1. y = 
2. y = 
3. y = 
4. y = 
5. y = 
6. y = 
7. y = 
8. y = 
9. y = 
II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ
4. Dạng 4: Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình F(x;m) =0 (1).
4.1. Cách giải: 
Bài toán này thường đi kèm theo sau bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = f(x) vì thế để sử dụng được đồ thị hàm số vừa vẽ trước hết ta biến đổi phương trình (1) tương đương: f(x) = g(m).
Khi đó số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = g(m).
Dựa và đồ thị, ta suy ra kết quả biện luận về số nghiệm của phương trình (1).
4.2. Ví dụ: Cho hàm số y = -x3 + 3x2 – 4
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b/ Dựa và đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: -x3 + 3x2 - 4 - m = 0 (1)
a/ Việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã được trình bày (xem bài 1.2).
b/ Phương trình (1) tương đương: -x3 + 3x2 - 4 = m(2).
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = -x3 + 3x2 - 4 và đường thẳng y = m (luôn song song hoặc trùng với trục Ox).
	Dựa vào đồ thị (hình 4.3) ta có: 
* Khi m0: Phương trình (1) vô nghiệm
* Khi m = 0 hoặc m = -4: Phương trình (1) có hai nghiệm
* Khi -4<m<0: Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt.
Hình 4.3
4.3. Hướng dẫn:
4.4 Bài tập tự giải: 
1. Cho hàm số y = x3 + 4x2 + 4x
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 
b/ Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình x3 + 4x2 + 4x + 2 – m = 0(1)
2. Cho hàm số y = y = x3 – 3x + 5
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b/ Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình x3 – 3x + 5 + = 0(1)
3. Cho hàm số y = 
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b/ Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình + m = 0(1)
4. Cho hàm số y = 
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b/ Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình + m = 0(1)
5. Cho hàm số y = x3 – 3x2
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b/ Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: x3 – 3x2 – 3 + m = 0(1)
5. Dạng 5: Bài tương giao giữa đường thẳng y = px + q và đồ thị hàm số y = f(x).
5.1 Cách giải: 
Số giao điểm của đường thẳng y = px + q với đồ thị hàm số y = f(x) là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = px + q(1)
Như vậy để xét sự tương giao của đường thẳng và đồ thị hàm số ta giảI và biện luận phương trình (1).
Dựa và số nghiệm của phương trình (1) ta kết luận về sự tương giao của đường thẳng y = px + q với đồ thị hàm số y = f(x).
5.2 Ví dụ Cho hàm số y = (C). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng (d): y = 2x+m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt. 
5.3 Hướng dẫn
Ta có phương trình hoành độ giao điểm: = 2x+m (1).
Đường thẳng (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt với mọi m khi và chỉ khi phương trình (1) luôn có hai nghiệm phâm biệt với mọi m.
	Thật vậy
= 2x+m 
Xét phương trình (2), ta có:
 . Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm khác -1. Do đó đường thẳng (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt với mọi m.
5.4. Bài tập tự giải. 
1. Cho hàm số y = (C). CMR đường thẳng 2x-y+m=0 luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt thuộc 2 nhánh của (C.)
2. Tìm m để đường thẳng y = x +m cắt đồ thị (C): y = tại hai diểm phân biệt.
3. Cho hàm số y = .Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx+2 cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.
6. Dạng 6: Viết phương trình tiếp tuyến.
6.1. Cách giải
1) Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại điểm M0(x0 ; y0)
y = y’(x0)(x – x0) + y0 
2. Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k.
Gọi M0(x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M0 là: y = y’(x0)(x – x0) + y0
Giải phương trình y’(x0) = k tìm x0 và y0 .
3.Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) y = f(x) , biết tiếp tuyến đi qua A(xA ; yA)
Gọi là đường thẳng đi qua A có hệ số góc là k
Phương trình của : y = k(x – xA) + yA.
 tiếp xúc (C) có nghiệm, nghiệm của hệ là hòanh độ tiếp điểm.
* Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M(x0, y0) thuộc đồ thị có dạng:
y-y0 = f’(x0)(x-x0) (1)
* Tìm f’(x0) thay vào (1) ta được tiếp tuyến cần tìm.
6.2. Ví dụ Cho hàm số y = x3 – 3x + 5. Viết PTTT của đồ thị tại điểm M(1; 3).
6.3 Hướng dẫn: 
* Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M(1, 3) thuộc đồ thị có dạng:
y-y0 = f’(x0)(x-x0) (1)
* Ta có y’ = f’(x) = 3x-3
 f’(1) = 0 thay vào (1) ta được PTTT cần tìm là: y = 3
6.4 Bài tập tự giải:
1. Cho hàm số y = . Viết PTTT của đồ thị tại điểm M(2, 3)
2. Cho hàm số y = x3 – 3x2 Viết PTTT của đồ thị tại các giao điểm của nó với trục Ox.
3. Cho hàm số y = –x3 + 3x2 – 2. Viết PTTT của đồ thị tại điểm M(2, 2)
4. Cho hàm số y = Viết PTTT của đồ thị tại giao điểm của nó với trục Ox.
5. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua M(0; -3)
6. Cho đồ thị (C) của hàm số . Tìm phương trình tiếp tuyến của (C) biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(2; -3).	
7*. Cho đồ thị (C) của hàm số và điểm M(2; m + 2). Tìm m để tiếp tuyến đi qua M thì phải đi qua gốc tọa độ.	(KQ: m = -2; m = 16)
8. Cho đồ thị (C) của hàm số: . Tìm phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó:
a) Song song với đường thẳng y = 3x+2.
b) Vuông góc với đường thẳng y = -2x + 1.
c*) Tạo với đường thẳng y = -2x +1 một góc bằng 450.7. Dạng 7: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và các đường thẳng x = a, x = b, trục Ox.
7.1. Cách giải: 
* Ta có diện tích .
Để tính S ta phảI phá dấu trị tuyệt đối của biểu thức dưới dấu tích phân, muốn vậy ta làm như sau:
Cách 1: Lập bảng xét dấu f(x), từ đó ta có thể phá dấu trị tuyệt đối.
Cách 2: Nếu trên khoảng (a; b) đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía trên trục hoành thì 
Ngược lại, nếu đồ thị nămg phía dưới trục hoành thì .
Sau khi phá dấu trị tuyệt đối ta tính tích phân bình thường, kết quả đó chính là diện tích cần tìm.
Hình 7.3
7.2 Ví dụ: Cho hàm số y = x3 - 4x.
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 
đồ thị hàm số với các đường x = -1, x = 2
7.3 Hướng dẫn.
a/ Bạn đọc tự giải, đồ thị (hình 7.3)
b. Cách 1
* Ta có diện tích cần tìm .
* Phá dấu trị tuyệt đối: Đặt f(x) = x3 - 4x = x(x2 - 4)
Trên khoảng (-1; 2), ta có x3 - 4x = 0 x = 0, x = 2.
* Lập bảng xét dấu f(x).
x
 -1 0 2 
x
 - 0 +
x2 -4
 - -4 - 
f(x)
 + 0 -
Từ bảng xét dấu, ta có
Tính kết quả trên ta suy ra diện tích cần tìm.
Cách 2: Từ đồ thị của hàm số (hình 7.3), ta có:
Trên khoảng (-1; 0) đồ thị nằm phía trên trục hoành và trên khoảng (0; 2) đồ thị nằm phía dưới trục hoành, nên ta có:
Tính kết quả trên ta suy ra diện tích cần tìm.
7.4. Bài tập tự giải
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
1. y = x3 – 3x2 và các đường thẳng x = -1, x = 2, trục Ox.
2. y = –x3 + 3x2 – 2 và các đường thẳng x = -1, x = 2, trục Ox
3. y = x3 – 6x2 + 9 và các đường thẳng x = -2, x = 1, trục Ox
4. y = và các đường thẳng x = 0, x = 1, trục Ox
5. y = và các đường thẳng x = -1, x = 1, trục Ox
6. y = và các đường thẳng x = -2, x = 1, trục Ox
8. Dạng 8: Giá trị lớn nhất –giá trị nhỏ nhất
 8.1 Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số y= f (x) trên
Khoảng (a ; b )
Đoạn [a;b ]
Tính y’ 
Lập bảng biến thiên trên (a ; b )
Kết luận: 
 hoặc 
Tính y’ 
Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm 
Tính y (x0 ) , y(a) , y (b)
 Chọn số lớn nhất M , kết luận:
 Chọn số nhỏ nhất m , kết luận:
B. CÁC BÀI TẬP:
Bài 1:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
	a) trên [-2;-1/2] ; [1,3).
	b) .
	c)        trên đoạn [0,π]	(TN-THPT 03-04/1đ)
	d) 	xÎ[0,π/2]	(TN-THPT 01-02/1đ)
	e) trên đoạn [-10,10].
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hsốtrên đoạn[-1,3].
Bài 3: Chứng minh rằng	 với mọi giá trị x. 
Bài 4/Tìm GTLN- GTNN của hàm số sau trên mỗi tập tương ứng :
 a/ trên b/ trên 
 c/ trên e/ trên 
 f/ trên tập xác định g/ y = x3 + 3x2 - 9x – 7 trên [ - 4 ; 3 ] 
 h/ y = x + 2 trên m/ y= trên 
9. Dạng 9: Tìm Điều kiện của tham số m để đồ thị hàm bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d 
 a/ Có cực trị.
 b/ Luôn đồng biến hoặc nghịc biến trên R.
9.1 Cách giải:
a/ * Tìm tập xác định D = R
 * Tính y’ = 3ax2 + 2bx + c
	Hsố có cực trị (cực đại và cực tiểu) khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt.
	cần tìm
b/ * Tìm tập xác định D = R
 * Tính y’ = 3ax2 + 2bx + c
Hàm số luôn đồng biến trên R khi và chỉ khi
 	 cần tìm
Hàm số luôn nghịch biến trên R khi