Chuyên đề Ôn thi Đại học - Vũ Ngọc Vinh

C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Hãy xác định m sao cho hình 
phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành có diện tích phần phía trên và phần phía dưới trục hoành bằng nhau. 
Bài 12: Cho hàm số: y = x3 – 3x (1) 
 1. Khảo sát hàm số (1). 
 2. Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng y = m(x +1) +2 luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại một điểm A cố định. Hãy 
xác định các giá trị của m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm A, B, C khác nhau sao cho tiếp tuyến với đồ 
thị tại B và tại C vuông góc với nhau. 
Bài 13: Cho hàm số: y = x3 –3(a–1)x2 + 3a(a–2)x +1, (a là tham số) 
 Với các giá trị nào của a thì hàm số đồng biến trên tập hợp các giá trị của x sao cho: 1   2 
Bài 14: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x2 –3x + + 3 có ba điểm cực trị. Khi đó chứng minh rằng 
cả ba điểm cực trị này đều nằm trên đường cong y = 3(x–1)2. 
Bài 15: Cho hàm số: y = 
 . Tìm điểm M trên đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm của hai 
đường tiệm cận là nhỏ nhất. 
Bài 16: Cho hàm số: y = 
 (C) 
 1. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên đồ thị (C) đến các tiệm cận là một hằng số không 
đổi. 
 2. Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị (C) một điểm sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất. 
Bài 16: Cho hàm số y = x2 + 2x + a – 4. Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [–2 ; 1] đạt giá trị nhỏ nhất 
Bài 17: Cho hàm số: y = x3 – mx2 – x + m +1 
 1. Khảo sát hàm số khi m = 0 
 2. Trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị của hàm số đã khảo sát, hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. 
CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC 
 Biên soạn: Vũ Ngọc Vinh 2
 3. Chứng minh rằng với mọi m, hàm số đã cho luôn luôn có cực đại và cực tiểu. Hãy xác định m sao cho khoảng cách 
giữa các điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất. 
Bài 18: Cho hàm số: y = 
 . Tìm các giá trị của m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho cắt các trục tọa độ tại 
hai điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 18. 
Bài 19: Cho hàm số: y = 
 
 1. Khảo sát hàm số khi m = 1, gọi là đồ thị (C) 
 2. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại mọi điểm của đồ thị (C) luôn cắt hai tiệm cận tạo thành một tam giác có diện tích 
không đổi. 
Bài 20: Cho hàm số: y =

(C) và đường thẳng (d): y = ax + b. 
 Giả sử đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số (C) tại M. A và B là giao điểm của (d) với các tiệm cận của (C) 
 Chứng minh rằng M là trung điểm của AB. 
Bài 22: Cho hàm số: y = 
 (1), m là tham số. 
 1. Khảo sát hàm số (1) khi m = –1 
 2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc toạ độ O tạo thành một 
tam giác vuông tại O. 
Bài 22: Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = x4 – (m2 +10)x2 + 9 luôn cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt và trong đó có hai 
giao điểm nằm trong khoảng (–3 ; 3) và hai giao điểm nằm ngoài khoảng (–3 ; 3). 
Bài 23: Cho hàm số: y = x3 – mx2 + m3 
 1. Xác định m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x 
 2. Xác định m để đường thẳng y = x cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC. 
Bài 24: Cho hàm số: y =  (C) 
 Tìm trên đường thẳng x =1 những điểm sao cho từ đó kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) và 2 tiếp tuyến vuông góc với 
nhau. 
Bài 25: Dựng đường thẳng qua hai cực trị của hàm số y = 
 và tính khoảng cách giữa hai cực trị. 
Bài 26: Cho y = 2x3– 3x2 (C) 
 1. Từ (C) vẽ: y = 2x3– 3x2 
 2. Tìm GTLN, GTNN của: y = 2sinx3– 3sin2x 
 3. Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng. 
Bài 27: Tuỳ theo giá trị của tham số m, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
P = (x + my – 2)2 + (4x + 2(m – 2)y – 1)2 
Bài 28: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 
y = 

 
Bài 29: Cho các số x, y, z thuộc [0 ; 1] và thoả mãn điều kiện x + y + z = 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = cos(x2 + y2 +z2) 
Bài 30: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số: 
y = 2(1 + sin2x.cos4x) – (cos4x – cos8x) 
Bài 31: Giả sử x và y là các số thay đổi thoả mãn: x> 0, y > 0 và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
P = 



Bài 32: Cho 3  x  6. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: 
y =  
Bài 33: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = cosA + cosB + cosC , trong đó A, B, C là các góc của 1 tam giác bất kỳ 
CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC 
 Biên soạn: Vũ Ngọc Vinh 3
PHẦN 2. 
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ 
Dạng 1: Phương trình chứa dấu căn: 
1. x2 + 3x + 1 = (x+3)  
2. x +  = 2 + 3x  
3.  = 5 
4.  = 2x + 2 
5.  +  = 1 
6.  
7.  + 2x = 3(2 +  ) 
8.  = 2(x–1)4(2x2– 4x +1) 
9.  
10.  –  = 2  – 2x + 2 
Dạng 2: Phương trình lượng giác: 
11. 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4 
12. sin2x + 2tgx = 3 
13. 3sinx + 2cosx = 2 + 3 tgx 
14. sin3x = cosx.cos2x.(tg2x + tg2x) 
15. cos3x cos3x – sin3xsin3x = cos34x + 
16. sin4x + sin4(x +  ) + sin4(x –  ) = 
17. 48 –  (1 + cotg2x.cotgx) = 0 
18. sin   = sin   
19. sin2x – cos2x = 3sinx + cosx – 2 
20. 4sin3xcos3x + 4cos3xsin3x + 3 cos4x = 3 
21. tg2x.cotg2x.cotg3x = tg2x – cotg22x + cotg3x 
22.  
23. + 2tg2x + 5 tgx + 5cotgx + 4 = 0 
24. sin4 + cos4 = 1 – 2sinx 
25. tg2x = 
 
26. cos   + cos   + 4sinx = 2 + (1–sinx) 
27. sin2x + 2cos2x = 1 + sinx – 4cosx 
28. 3cotg2x + 2 sin2x = (2 + 3 )cosx 
29. 2cos2x + sin2x.cosx + cos2x.sinx = 2(sinx + cosx) 
30. sin2x + cos2x + tgx = 2 
31. tg2x – tgx.tg3x = 2 
32. cos3x – sin3x = cos2x – sin2x 
33. 3tg2x – 4tg3x = tg23x.tg2x 
34. cos3x – 2cos2x + cosx = 0 
35. 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx 
36. 2tg2x + + 5tgx + 5cotgx + 4 = 0 
37. sin2x + sin23x – 3cos22x = 0 
38. cos3x +  = 2(1 + sin22x) 
39. 1+ cos4x – sin4x = 2cos2x với  < 2 
40.  
Dạng 3: Phương trình logarit: 
41. log2x + 2log7x = 2 + log2x.log7x 
42. – 36 = 0 
43.  = 2 
44. log3x+7(9 + 12x + 4x2) + log2x+3(6x2 + 23x +21) = 4 
45. log2( +4) = x –  
46. log2(3x–1) +

= 2 + log2(x+1) 
47. logx[log3( –6)] = 1 
48. log3(  –4. – 2) = 3x + 1 
49.  
50. log3 





 = x2 + 3x + 2 
51. ln(2x–3) + ln(4–x2) = ln(2x–3) + ln(4–x2) 
52. log27(x2 – 5x + 6)3 =   + log9(x–3)2 
53.  = 6x + 2 
54.   = (x–1)2 
55. 6. – 13. + 6. = 0 
56. 5.  – 7.  +  = 0 
CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC 
 Biên soạn: Vũ Ngọc Vinh 4
Dạng 4: Giải và biện luận phương trình hoặc bất phương 
trình theo tham số: 
57. x2 – (1+m) – m – 1 = 0 
58. (x+1)2 – m  = 0 
59. 2m(cosx + sinx) = 2m2 + cosx – sinx + 
60. log (x2 + ax +1) < 1 
61. loga x + log logax  loga2 
62. log a + log a + a + log a = 0 
63.   = x2 + 2mx + m 
Dạng 5: Hệ phương trình: 
64. 




 
65. 



 
66. 




 
67. 




 
68. 




 
69. 








70. 




 
71. 




 
Dạng 6: Bất phương trình: 
72. 

73.  
74.  
75.  
76.  
77. 2x2 +  > 10x + 15 
78.  +  >  +  
Dạng 7: Tìm các giá trị của tham số để (hệ) phương trình, 
bất phương trình: 
79. 






 có nghiệm 
80. 




 có nghiệm x  4 
81. 




 có nghiệm 
82. 




 có nghiệm 
83. 




 có nghiệm đúng với mọi 
giá trị của tham số b 
84. 





 có đúng 1 nghiệm 
85. 




 có nghiệm duy nhất 
86.   có nghiệm với mọi x. 
87. 2asinx + (a+1)cosx = có nghiệm 
88. sin6x + cos6x = asin2x có nghiệm 
89. (m–1)log (x–2) – (m –5)log (x–2) + m –1 = 0 
có 2 nghiệm thoả mãn 2  x1  x2  4 
90.  có nghiệm 
thuộc khoảng [32 ; +) 
91. 




 (a1) có nghiệm duy 
nhất và giải phương trình khi đó 
92. 






 có 2 nghiệm 
phân biệt 
CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC 
 Biên soạn: Vũ Ngọc Vinh 5
93. (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3 – 4cos2x có 2 
nghiệm thỏa mãn: 0  x  ð.
CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC 
 Biên soạn: Vũ Ngọc Vinh 6
PHẦN 3. 
BẤT ĐẲNG THỨC. HỆ THỨC TRONG TAM GIÁC 
1. Chứng minh rằng với mọi x > 0 và với mọi  > 1 ta luôn có: x +  – 1  x. Từ đó chứng 
minh rằng với ba số dương bất kỳ thì :  
2. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn a + b + c = 1 thì 




  
3. Cho a, b, c > 0 thoả mãn: a + b = c. Chứng minh rằng:  
4. Chứng minh rằng với 3 số a, b, c thoả mãn a + b + c = 0 ta luôn có: 
3
333 cba 
 = abc 
5. Cho các số thực a, b, c, d sao cho a  b  c  0 
 Chứng minh rằng: a2 – b2 + c2  (a – b + c)2 
6. Cho a  1 ; b  1. Chứng minh rằng: a  + b   ab 
7. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 
(a + b + c)    9 
8. Cho 



 
 Chứng minh rằng:     
9. Cho x,y > 0. Chứng minh rằng:  
10. Cho 3 số a, b, c > 0 thoả mãn:  
 Chứng minh: 

 
11. Cho 3 số dương a, b, c và a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng: 






12. Cho x, y   . Chứng minh rằng:   
13. Chứng minh rằng với mọi t   ta có: 
 
14. Cho các số a, b, c thoả mãn: 




 
 Chứng minh:  ;  ;  
15. Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng: 




CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC 
 Biên soạn: Vũ Ngọc Vinh 7
16. Chứng minh rằng nếu a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì: 
3a2 + 3b2 + 3c2 + 4abc  13 
17. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: cosAcosBcosC  
18. Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thoả mãn hệ thức: 
 
 Chứng minh rằng ABC là tam giác đều. 
19. Cho tam giác ABC thoả mãn: sin(A+B)cos(A–B) = 2sinAsinB 
 Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông. 
20. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn bán kính bằng 1. Chứng minh rằng tam giác 
ABC đều khi và chỉ khi 
 
21. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông nếu các góc của nó thoả mãn: 
cos cos cos – sin sin sin = 
22. Chứng minh rằng tam giác ABC đều khi 
sin2A + sin2B + sin2C = cos2 + cos2 + cos2 
23. Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức: a + b = (atgB + btgA)tg . 
 Chứ