Đề cương ôn tập Toán 11

. DAÕY SOÁ
Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:
a. 	b. 	c. 	d. 
e. 	f. 	g. 	h. un = 3n – n	
i. 	j. 	k. 	l. un = 
m. un = 	n.un = (-1)n 
 Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
a. 	b. 	c. 
2. CAÁP SOÁ COÄNG
 Tìm số hạng ban đầu và công sai của cấp số cộng biết:
a) 	b) 
Cho một cấp số cộng có: u1 = 1 và u2 = 5
Tìm công sai d của cấp số cộng đã cho
Tìm u2, u3, u4.
Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng.
 Năm số lập thành 1 cấp số cộng . Biết tổng của chúng bằng 5 và tích của chúng bằng 45. Tìm 5 số đó.
Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng bình phương của chúng bằng 120.
Tìm 5 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 25 và tổng bình phương của chúng bằng 165.
Cho một cấp số cộng có u5 + u19 = 90. Hãy tính tổng 23 số hạng đầu tiên của 
Cho một cấp số cộng có u2 + u5 = 42 và u4 + u9 = 66. Hãy tính tổng 346 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
Cho cấp số cộng tăng có: u13 + u153 = 302094 và tổng 15 số hạng đầu bằng 585. Hãy tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó.
Bốn số lập thành một cấp số cộng .Nếu theo thứ tự ta bớt đi 2,6,7,2 thì bốn số mới sẽ lập thành cấp số nhân .Tìm cấp số cộng.
Tìm x biết::
Ba số: 5+x, 7+2x, 17+x theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng .
Ba số: 1+x, 9+x, 33+x theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân .
Tìm 3 số có tổng bằng 124, biết rằng chúng là 3 số hạng liên tiếp của 1 cấp số nhân và theo thứ tự đó cũng là số hạng thứ nhất, thứ 11và thứ 13 của 1 cấp số cộng .
Cho cấp số cộng Sn = -85 ; Sn = -240 .Hãy tính S20 .
tính tổng : 1+2+3++99+100+99++3+2+1
Tính n biết :1+3+5++an = 17161
Tìm m để các phương trình sau có các nghiệm lập thành một cấp số cộng: 
x4 – 2(m+1)x2 + 2m + 1 = 0
mx4 – 2(m-1)x2 + m – 1 = 0
x3 – 3x2 + mx + 2 – m = 0
3. CAÁP SOÁ NHAÂN
Chứng minh các dãy số sau là csn:
a. 	b. 	c. 	d. 	e. 	f. 	
g. 	h. 	i. 	j. 
HD:i. Ta có: không là hằng số nên (un) không là csn
j. . Do đó: là hằng số nên (un) là csn với u1 = 1, q = .
Cho csn (un): 2,6,18,54,162,. Tính . 
Csn có u2 = 12, u4 = 48. Hỏi số 192 là số hạng thứ mấy.
Csn có . Tìm u1, q. 
Cho csn (un) với u1 = 3, q = . 
a. Tính u7.	b. Số là số hạng thứ mấy?
Xác định số hạng đầu và công bội của csn, biết:
a. 	b. 	c. 	d. 	
e. 	f. 	g. 	h. 
	i. 	j. 	k.	l.	m. 
n. 	o.
Tìm csn có 5 số hạng biết:
a. 	b. 	c. 
Cho csn (un) biết: 
a. u1 = 2, u6 = 486. Tìm q 	b. Biết . Tìm u1. 
c. Biết u1 = 3, q = -2. Hỏi số 192 là số hạng thứ mấy?
Cho csn (un) có: 
a. Tìm u1 và q. 
b. Hỏi tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiên sẽ bằng 3069. 
c. Số 12288 là số hạng thứ mấy.
Tìm các số hạng của một csn biết cấp số đó:
a. Có 5 số hạng mà số hạng đầu là 3, số hạng cuối là 243. 
b. Có 6 số hạng mà số hạng đầu là 243, số hạng cuối là 1
Tìm csn có 6 số hạng, biết tổng của 5 số hạng đầu là 31, tổng của 5 số hạng sau là 62.
Viết bốn số xen giữa các số 5 và 160 để được một cấp số nhân.
Viết ba số xen giữa các số và 8 để được một cấp số nhân có năm số hạng.
Cho bốn số lập thành cấp số cộng, lần lượt trừ mỗi số ấy cho 2, 6, 7, 2 ta được một cấp số nhân. Tìm các số đó?
Ba số khác nhau có tổng bằng 114 có thể coi là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, hoặc coi là số hạng thứ 1, 4, 25 của một cấp số cộng. Tìm các số đó.
Tìm một csn có tổng 4 số hạng đầu bằng 15, tổng các bình phương của chúng bằng 85
HD: Ta có hệ: 
Chia từng vế của 2 pt ta được: .
Đặt 
Hãy tìm các số x, y sao cho x,y,12 lập thành một csn và x,y,9 lập thành csc.
Cho dãy số a,b,c lập thành csn. Tìm a,b,c biết:
a. 	b. 
HD:a. 2,4,8 hoặc 8,4,2
b. hoặc 
Cho dãy số (un) với un = 22n+1.
a. C/m (un) là csn. Nêu nhận xét về tính tăng giảm của dãy số.
b. Lập công thức truy hồi của dãy số 
c. Hỏi số 2048 là số hạng thứ mấy của dãy số.
HD:
b. Công thức truy hồi: 
c. 2048 là số hạng thứ 5.
a. Viết 5 số xen giữa các số 1 và 729 để được một csn có 7 số hạng. Tính tổng các số hạng của csn này.
b. Viết 6 số xen giữa các số -2 và 256 để được một csn có 8 số hạng. Nếu viết tiếp thì số hạng thứ 15 là bao nhiêu.
Ba số dương lập thành csc có tổng bằng 21. Thêm lần lượt 2,3,9 vào ba số đó ta được csn. Tìm 3 số của csc.
Cho hai số 2 và 54. Điền vào giữa hai số ấy 2 số sao cho 4 số đó lập thành một csn.
Cho hai số 3 và 48. Xen giữa ba số đó để được csn.
Tìm csn có tổng 4 số hạng đầu bằng 15. Tổng bình phương bằng 85.
Cho csc và csn cùng có ba số hạng. Số hạng đầu của chúng bằng 3, các số hạng thứ ba giống nhau, số hạng thứ hai của csc nhiều hơn số hạng thứ hai của csn là 3. Tìm hai cấp số ấy.
Ba số nguyên có tổng bằng 15 lập thành csc. Lần lượt thêm 1,1,4 vào chúng được csn. Tìm csc.
Ba số dương có tổng là 114 có thể coi là ba số hạng liên tiếp của một csn hoặc là u1, u4, u25 của một csc. Tìm 3 số ấy.
Cho một dãy số gồm 4 số nguyên. Ba số hạng đầu lập thành csc, ba số hạng cuối lập thành csn. Tổng số hạng đầu và số hạng cuối bằng 37, tổng 2 số hạng giữa bằng 36. Tìm 4 số ấy.
Tính tổng:
Tính tổng:
a. (có n+1 số hạng, số hạng đầu u1 = 1, q = 5)
b. (có n số hạng , số hạng đầu u1 = , q = )
c. 	d. S= 1+4+16++65536
e. S= 3-15+75--234375	f. S = 6+66+666++
h. 
HD: 
Khi đó 2R = -1 + (3-2.3) + (2.32-3.32) + (3.33-4.33) + + (2006.32006-2007.32006) + 2007.32007.
 = -1 -3 – 32 – 33 -- 32006 + 2007.32007.
 = -30 -31 – 32 – 33 -- 32006 + 2007.32007.
Đặt R1 = -30 -31 – 32 – 33 -- 32006. Biểu thức R1 là một csn có 2007 số hạng với u1 = -1, q = 3.
Tổng các số hạng của R1 là: 
Vậy 2R = S1 + 2007.32007 = + 2007.32007 = + 2007.32007 = + 
Tính tổng:
A= 1+ 2.2 + 3.22 + 4.23 ++ 99.298 + 100.299.
B = 1+ 4.2 + 7.22 + 10.23 ++ (3n - 2).2n-1.
HD: a) A= 1+ 2.2 + 3.22 + 4.23 ++ 99.298 + 100.299
 2A= 1.2 + 2.22 + 3.23 + 4.24 ++ 99.299 + 100.2100.
Trừ từng vế 2 đẳng thức trên ta được: - A= 1+ 2 + 22 + 23 ++ 299 - 100.2100.
Do đó: 
b) B = 1+ 4.2 + 7.22 + 10.23 ++ (3n - 2).2n-1.
Ta có: 2B = 1.2 + 4.22 + 7.23 + 10.24 ++ (3n - 2).2n.
Trừ từng vế 2 đẳng thức trên ta được:
-B = 1+ 3.2 + 3.22 + 3.23 ++3.2n-1 - (3n - 2).2n = 1 + 3(2 + 22 + 23 ++2n-1) - (3n - 2).2n
B = (3n - 2).2n - 3(1+ 21 + 22 ++2n-1) + 2 = 
Cmr:
a. Nếu a,b,c lập thành một csn thì ab,b2,cb cũng lập thành csn.
b. Nếu bốn số dương a,b,c,d lập thành csn thì ba số cũng lập thành csn.
HD:
a. Vì a,b,c lập thành một csn nên ac = b2.
Ta cần c/m: ab,b2,cb lập thành csn ab.cb = b4.
Ta có: ac = b2 ac.b2 = b4 ab.cb = b4 hay ab,b2,cb lập thành csn.
b. Vì a,b,c,d lập thành csn nên ac = b2 và bd = c2. Khi đó 
Ta cần c/m: lập thành csn bc = 
Ta có = (vì ad = bc). Vậy lập thành csn.
Cho a,b,c lập thành csn. C/m:
(a+b+c)(a-b+c) = a2 + b2 + c2. 	d. 
(a+b+c)(a-b+c)=a2 + b2 + c2	
( a2 +b2) (b2 +c2) = (ab + bc)2
HD: 
a. Vì a,b,c lập thành csn nên ac = b2.
Ta có: (a+b+c)(a-b+c) = (a+c+b)(a+c-b) = (a+c)2 – b2 = a2 + c2 + 2ac – b2 	= a2 + b2 + c2 (vì ac = b2)
c. HD: Từ gt biến đổi ta được: .
d. Ta có: 
Cho cấp số nhân biết . Tìm q 
Cho cấp số nhân biết . Tìm 
Cho cấp số nhân biết . Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên
Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân biết:
Tìm x để ba số lập thành cấp số nhân
Viết 4 số xen giữa các số 5 và 160 để được một cấp số nhân
Cho cấp số nhân . Tìm x 
Cho x, y, z là ba số hạng của cấp số nhân công bội và x; 2y, 3z là cấp số cộng. Tìm q 
4. GIÔÙI HAÏN CUÛA DAÕY SOÁ
1. Tính caùc giôùi haïn sau:
a. 
ÑS: 2
l. 
ÑS: 
b. 
ÑS:
m.
ÑS: HD:ruùt -
c.
ÑS: 5
n. 
ÑS:
d. 
ÑS:
p.
ÑS: +
e. 
ÑS: 
o. 
ÑS:1
f.
ÑS: 1
q. 
ÑS: -
g. 
ÑS: 
r. 
ÑS: +
h. 
ÑS: 
s. 
ÑS: +
i.
ÑS: 2
t. 
ÑS: 0
j. 
ÑS: 0
ruùt töû maãu cho 
u. 
ÑS: -
k. )
ÑS: 
QÑ, laøm NT
v. 
ÑS:
2. Tính caùc giôùi haïn sau :
 a.
ÑS:3
k. 
ÑS:3
b.
ÑS: 0
l.
ÑS:7
e. )
ÑS:+
m. 
ÑS: 1
c.
ÑS: 
n.
ÑS:
d.
ÑS: +
o. 
ÑS: 
f. 
ÑS:+
p. 
ÑS:2
g. 
ÑS: -1
q. 
ÑS:-
h. 
ÑS:
r.
ÑS:
i. 
ÑS:0
s. 
ÑS:
j.
ÑS: +
t. 
ÑS:
3. Tính giôùi haïn sau:
a. 
ÑS:1
j. )
ÑS:3 
b.
ÑS:1
k. 
ÑS: +
c. 
ÑS:3
l. 
ÑS:1
d. 
ÑS:7
m. 
ÑS: 
e. 
ÑS: 
n. 
ÑS:
f. 
ÑS: 0
o. 
ÑS: 
g. 
ÑS:-
p. 
ÑS:1
h. )
ÑS:
q. 
i. 
ÑS:1
r. 
ÑS: 0
HÌNH HỌC
Cho hình chóp tam giác S.ABCD có đáy là hình bình hành.Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB và I là trung điểm AB. Lấy điểm M trong đoạn AD sao cho AD = 3AM
Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC)
Đường thẳng qua M và song song với AB cắt AB tại N. CMR: 
Cho 2 hình vuông ABCD và EFGH ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo AC và BF lấy các điểm M và N sao cho AM = BN. Các đường thằng song song với AB vẽ từ M và N lần lượt cắt AD và AF tại M’ và N’. CMR:
M’N’//DF
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’có các cạnh bên là AA’, BB’, CC’. Gọi I và I’ tương ứng là trung điểm của hai cạnh BC và B’C’
CMR AI//A’I’
Tìm giao điểm của IA’ với mặt phẳng AB’C’
Tìm giao tuyến của (AB’C’) và (A’BC)
Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là tam giác đều.
CMR AB và CD vuông góc nhau
Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC, BD, D. CMR tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. 
CMR AO vuông góc CD
Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD 	ĐS: 900
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’
Tính góc giữa hai đường thẳng AC và DA’ 	ĐS: 1200
CMR BD vuông góc AC’
Cho hình lập phương ABCD.EHGH. Xác định góc giữa hai vectơ sau:
a. và 	b. và 	c. và 	
d. và 	e. và 	f. và 
ĐS: a. 450 b. 600 c. 900	d. 540	e. 900	f. 1440
Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A1B1C1 có đáy là các tam giác đều. Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ sau:
a. và 	b. và 	đs: a. 1200 	b. 1200
Cho tứ diện ABCD có AB và CD vuông góc với nhau. CMR: 
Cho hình chóp tam giác SABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = . 
Tính góc giữa và ĐS: 600
Tính góc giữa AB và SC ĐS: 600
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi M, N, P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD, AD, BC và AC. CMR:
a. 	b. 	c. 
Cho hình hộp ABCD.EFGH. CMR: 
Cho hình chóp tam giác S.ABCDcó đáy ABCD là hình bình hành. CMR: 
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi tâm O. Biết SA = SC, SB = SD. CMR:
a. 	b. 
Xem các bài 5,7,9,10 SGK trang 92, 2/97, 5/98