Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 9 - Tiết 52: Luyện tập Phương trình bậc hai một ẩn

Ý THUYẾT
Cho phương trình bậc hai với ẩn x có dạng: 	 (a khác 0)
1. Công thức nghiệm
 Khi đó: 
Nếu thì phương trình vô nghiệm,
Nếu thì phương trình (*) có nghiệm kép 
Nếu thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt 
2. Công thức nghiệm thu gọn
Trong trường hợp , phương trình (*) có biệt thức thu gọn 
. Khi đó: 
Nếu thì phương trình (*) vô nghiệm,
Nếu thì phương trình (*) có nghiệm kép 
Nếu thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt 
B. BÀI TẬP
Bài 1: Giải các phương trình sau 
a) b) 
c) d) 
Bài 2: Cho phương trình: (1)
a) Tìm để phương trình (1) có nghiệm kép.
b) Tìm để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
c) Tìm để phương trình (1) có đúng một nghiệm 
d) Tìm để phương trình (1) vô nghiệm. 
e) Tìm để phương trình (1) có nghiệm. 
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol và đường thẳng 
a) Với m = -2, xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d)
b) Tìm m để d tiếp xúc với (P). Khi đó tìm tọa độ tiếp điểm
c) Tìm m để d và (P) không có điểm chung
d) Tìm m để d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol và đường thẳng . Chứng tỏ (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol và đường thẳng . Tìm m để d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
Bài 6: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức:
. 
BTVN: 
Bài 7: Cho phương trình: (1)
a) Tìm để phương trình (1) có nghiệm kép.
b) Tìm để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
c) Tìm để phương trình (1) có đúng một nghiệm 
d) Tìm để phương trình (1) vô nghiệm. 
e) Tìm để phương trình (1) có nghiệm. 
Bài 8: Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức:
a) . 
b) với . 
c) biết 
TOÁN 9 TIẾT 52Đ
LUYỆN TẬP
A. LÝ THUYẾT
Cho phương trình bậc hai với ẩn x có dạng: 	 (a khác 0)
1. Công thức nghiệm
 Khi đó: 
Nếu thì phương trình vô nghiệm,
Nếu thì phương trình (*) có nghiệm kép 
Nếu thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt 
2. Công thức nghiệm thu gọn
Trong trường hợp , phương trình (*) có biệt thức thu gọn 
. Khi đó: 
Nếu thì phương trình (*) vô nghiệm,
Nếu thì phương trình (*) có nghiệm kép 
Nếu thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt 
B. BÀI TẬP
I. Dạng 1: Giải phương trình
Bài 1: Giải các phương trình sau 
a) b) 
c) d) 
II. Dạng 2: Xác định số nghiệm của phương trình dạng (1)
1. Phương pháp giải
Chú ý: Khi làm các bài toán về phương trình có dạng chứa tham số (đặc biệt là khi hệ số a chứa tham số), cần lưu ý các trường hợp a = 0, a khác 0.
PP1: Xét a = 0; a khác 0
PP2: Biến đổi tương đương
a. Phương trình (1) có nghiệm kép 
b. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 
c. Phương trình (1) có đúng một nghiệm 
d. Phương trình (1) vô nghiệm 
e. Khi a khác 0, phương trình (1) có nghiệm (có hai nghiệm) 
Chú ý: Nếu , ta có thể thay thế điều kiện của tương ứng bằng 
2. Áp dụng
Bài 2: Cho phương trình: (1)
a) Tìm để phương trình (1) có nghiệm kép.
b) Tìm để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
c) Tìm để phương trình (1) có đúng một nghiệm 
d) Tìm để phương trình (1) vô nghiệm. 
e) Tìm để phương trình (1) có nghiệm. 
III. Dạng 3: Sự tương giao giữa đường thẳng và Parabol
1. Phương pháp giải
Khi cần biện luận số giao điểm của một đường thẳng và Parabol ta cần chú ý:
Nếu đường thẳng là (song song với trục ) ta có thể dựa vào đồ thị để biện luận hoặc biện luận dựa vào PT .
Nếu đường thẳng ta thường xét phương trình hoành độ giao điểm của và là: từ đó ta xét số giao điểm dựa trên số nghiệm của phương trình bằng cách xét dấu của .
Số giao điểm của (d) và (P)
Biệt thức của PT hoành độ giao điểm của d và (P)
Vị trí tương đối của d và (P)
0

d và (P) không có điểm chung
1

d tiếp xúc với (P)
2

d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt
2. Áp dụng
Bài 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol và đường thẳng 
a) Với m = -2, xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d)
b) Tìm m để d tiếp xúc với (P). Khi đó tìm tọa độ tiếp điểm
c) Tìm m để d và (P) không có điểm chung
d) Tìm m để d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol và đường thẳng . Chứng tỏ (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol và đường thẳng . Tìm m để d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
IV. Dạng 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức với .
1. Phương pháp giải
Gọi là một giá trị của biểu thức: Khi đó . (*)
Ta xét 2 trường hợp: 
+ Nếu thay vào ta tìm được suy ra là một giá trị của biểu thức.
+ Nếu thì là phương trình bậc 2 ẩn . Điều kiện để phương trình có nghiệm là: . Từ đó ta suy ra điều kiện của . 
Trên cơ sở đó ta tìm được GTLN, GTNN (nếu có) của biểu thức
2. Áp dụng
Bài 6: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức:
. 
BTVN: 
Bài 7: Cho phương trình: (1)
a) Tìm để phương trình (1) có nghiệm kép.
b) Tìm để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
c) Tìm để phương trình (1) có đúng một nghiệm 
d) Tìm để phương trình (1) vô nghiệm. 
e) Tìm để phương trình (1) có nghiệm. 
Bài 8: Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức:
a) . 
b) với . 
c) biết 
ĐÁP ÁN
Bài 1: Giải các phương trình sau 
a) 
b) 
c) 
d) 
HDG:
a) 
Vì nên phương trình vô nghiệm.
b) 
Vì nên phương trình đã cho có nghiệm kép
c) 
Cách 1: Bình phương hai vế để được PT hệ quả
 ĐKXĐ .
Bình phương hai vế của phương trình (1) ta suy ra:
Vì nên phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt
Thử lại: (thỏa mãn)
 ( không thỏa mãn) 
Kết luận  Vậy phương trình (1) có 1 nghiệm là .
Cách 2: Bình phương hai vế kèm điều kiện vế phải không âm để được PT tương đương
 ĐKXĐ . 
Vì nên phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt
Vậy phương trình (1) có 1 nghiệm là .
d) 
Vì nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Bài 2: Cho phương trình: (1)
a) Tìm để phương trình (1) có nghiệm kép.
b) Tìm để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
c) Tìm để phương trình (1) có đúng một nghiệm 
d) Tìm để phương trình (1) vô nghiệm. 
e) Tìm để phương trình (1) có nghiệm. 
Lời giải:
a) Phương trình (1) có nghiệm kép khi và chỉ khi:
.
Vậy thì phương trình (1) có nghiệm kép.
b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 
.
Vậy thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 
c) Tìm để phương trình (1) có đúng một nghiệm 
- TH1: Với phương trình (1) trở thành 
PT (1) có một nghiệm khi 
Suy ra thỏa mãn để phương trình (1) có đúng một nghiệm 
- TH2: Với phương trình (1) là phương trình bậc hai một ẩn
Ta có 
PT có một nghiệm khi PT có nghiệm kép
Suy ra thỏa mãn để phương trình (1) có đúng một nghiệm 
-Kết hợp 2 TH: Vậy thì phương trình (1) có đúng một nghiệm.
d) Tìm để phương trình (1) vô nghiệm. 
- TH1: Với phương trình (1) trở thành 
PT (1) có một nghiệm khi 
Suy ra không thỏa mãn để phương trình (1) vô nghiệm. 
- TH2:Với phương trình (1) là phương trình bậc hai một ẩn
Ta có 
PT (1) vô nghiệm
Kết hợp thỏa mãn để phương trình (1) vô nghiệm. 
-Kết hợp 2 TH: Vậy PT (1) vô nghiệm khi 
e. Tìm để phương trình (1) có nghiệm. 
Cách 1: Dùng kết quả câu 6
Vì PT (1) vô nghiệm khi 
nên PT (1) có nghiệm khi 
Cách 2: Xét các trường hợp theo a 
- TH1: Với phương trình (1) trở thành 
PT (1) có một nghiệm khi 
Suy ra thỏa mãn để phương trình (1) có nghiệm. 
- TH2: Với phương trình (1) là phương trình bậc hai một ẩn
Ta có 
PT (1) có nghiệm
Kết hợp thỏa mãn để phương trình (1) có nghiệm. 
-Kết hợp 2 TH: Vậy PT (1) có nghiệm khi .
Bài 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol và đường thẳng 
a) Với m = -2, xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d)
b) Tìm m để d tiếp xúc với (P). Khi đó tìm tọa độ tiếp điểm
c) Tìm m để d và (P) không có điểm chung
d) Tìm m để d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
HDG:
a) Với m = -2, xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d)
Với m = -2, PT (d) trở thành:
Xét PT hoành độ giao điểm của (P) và d
Vì nên PT (1) có 2 nghiệm phân biệt 
+) Với 
+) Với 
Vậy tọa độ các giao điểm của (P) và (d) là: và 
b) Tìm m để d tiếp xúc với (P). Khi đó tìm tọa độ tiếp điểm
Xét PT hoành độ giao điểm của (P) và (d)
Vì nên PT (1) là PT bậc hai ẩn x.
Để d tiếp xúc với (P) 
thì PT (1) có nghiệm kép
Vì thì . 
Khi đó PT (1) có nghiệm kép 
Với 
Suy ra tọa độ tiếp điểm của (P) và (d) là 
Vậy d tiếp xúc với (P) khi m = 2, khi đó tọa độ tiếp điểm của (P) và (d) là 
 c) Tìm m để d và (P) không có điểm chung
Xét PT hoành độ giao điểm của (P) và (d)
Vì nên PT (1) là PT bậc hai ẩn x.
Để d và (P) không có điểm chung
thì PT (1) vô nghiệm
Vậy d và (P) không có điểm chung khi m > 2.
d) Tìm m để d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
Xét PT hoành độ giao điểm của (P) và (d)
Vì nên PT (1) là PT bậc hai ẩn x.
Để d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
thì PT (1) có 2 nghiệm phân biệt
Vậy d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi m < 2.
Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol và đường thẳng . Chứng tỏ (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
HDG:
Xét PT hoành độ giao điểm của (P) và d
Vì nên PT (1) là PT bậc hai ẩn x.
Cách 1: 
Vì nên PT (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
Vậy d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt với mọi giá trị của m (đpcm)
Cách 2: 
Vì nên PT (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
Vậy d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt với mọi giá trị của m (đpcm)
Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol và đường thẳng . Tìm m để d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
HDG:
Xét PT hoành độ giao điểm của (P) và d
Vì nên PT (1) là PT bậc hai ẩn x.
Để d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
thì PT (1) có 2 nghiệm phân biệt 
Vậy d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi 
Bài 6: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức:
. 
HDG:
ĐKXĐ .
Ta có (1) . Coi (1) là phương trình bậc hai ẩn . Ta tìm điều kiện của P để PT (1) có nghiệm x. - Trường hợp 1: thì 
Điều đó có nghĩa là là một giá trị của biểu thức P 
- Trường hợp 2: phương trình (1) có nghiệm khi 
Kết hợp . 
- Kết hợp 2 TH: Vậy 
Vì với mỗi giá trị hoặc thì nên + GTNN của P là -1 khi và chỉ khi . + GTLN của P là 9 khi và chỉ khi .
Vậy . 
Đáp Số:
Bài 7: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Bài 8: 
a) + GTNN của là khi và chỉ khi . 
+ GTLN của là khi và chỉ khi .
b) GTNN của là 1 khi và chỉ khi . 
GTLN của là khi và chỉ khi .
c) GTNN của là khi và chỉ khi