Chuyên đề Toán học 12 - Phương trình quy về bậc hai

Phương trình quy về bậc hai 
7.1 Phương trình quy về bậc hai 
Mục đích yêu cầu 
Biết cách giải một số phương trình bậc cao bằng cách đưa về dạng bậc hai. Ở đây ta 
thường gặp dạng phương trình bậc ba hoặc bậc bốn đặc biệt. 
Ví dụ 
Cho phương trình sau : ( ) ( )3 22 2 5 4 10 0z i z i z i+ − + − − = ( )E 
a) Chứng minh rằng (E) nhận 1 nghiệm thuần ảo 
b) Sau đó giải (E) 
Hướng dẫn giải : 
a) Đặt z iy= với y∈R 
Phương trình được viết lại : 
( ) ( )( ) ( )( )3 22 2 5 4 10 0iy i iy i iy i+ − + − − = 
3 2 22 2 5 4 10 0iy y iy iy y i⇔ − − + + + − = = 0 + 0.i 
Đồng nhất hoá hai vế , nghĩa là phần thực bằng 0 và phần ảo bằng 0 
2
3 2
2 4 0
2 5 10 0
y y
y y y
− + =

− + + − =
Hệ trên nhận 1 nghiệm duy nhất y = 2 (bạn đọc tự giải) 
Kết luận : 2i là nghiệm của phương trình (E) 
b) Gọi vế trái là đa thức P(z) 
Đa thức P(z) chia hết cho z – 2i 
Do đó ta có : 
( ) ( ) ( )( )3 2 22 2 5 4 10 2z i z i z i z i z az b+ − + − − = − + + 
Bằng cách đồng nhất hoá hai vế ta sẽ tìm được a = 2 và b = 5 
Vậy (E) 2 0z i⇔ − = hay 2 2 5 0z z+ + = 
Dễ dàng ra tập nghiệm là : { }2 ; 1 2 ; 1 2S i i i= − − − + 
1. a) Chứng minh rằng 4 3 46 4 8 0z z z z+ + + + = (E) nhận 2 nghiệm thuần ảo 
 b) Phân tích vế trái thành thừa số rồi giải (E) 
2. Cho ( ) ( ) ( )3 23 6 10 18 30P z z i z i z i= + − + − + 
a) Tính ( )3P i− 
b) Từ đó viết ( )P z dưới dạng tích rồi giải phương trình ( ) 0P z = . 
7.2 Phương pháp đổi biến số 
Mục đích yêu cầu 
Biết đặt ẩn phụ để giải một số phương trình bậc cao . 
Ví dụ 
Cho phương trình 4 3 22 2 0z z z z i− − − + = (E) 
a) Bằng cách đặt Z = 
1
z
z
+ hãy đưa phương trình trên về dạng 2 2 3 0Z Z− − = 
b) Từ đó giải (E) 
Hướng dẫn giải : 
a) Ta có Z = 
1
z
z
+ , 0z ≠ : 2 2
2
1 1
2 3 2 1 2.Z Z z z
z z
− − = − − − + 
Mà “ 0 “ không là nghiệm của (E) , ta có thể chia 2 vế của phương trình (E) cho z2 , 
từ đó ta được : 
2
2
1 1
2 1 2. 0z z
z z
− − − + = 
Kết luận : phương trình (E) 
2 2 3 0
1
Z Z
Z z
z
 − − =

⇔ 
= +

b) 2 2 3 0Z Z− − = có 2 nghiệm Z = 1 hay Z = 3 
(E) ⇔
1
1z
z
+ = − hay 
1
3z
z
+ = 
2 1 0z z⇔ + + = hay 2 3 1 0z z− + = 
Giải ra ta được tập nghiệm của phương trình là 
3 5 3- 5 1 3 1 3
 ; ; ; 
2 2 2 2
i i
S
 + − + − − 
=  
  
 . 
1. Giải phương trình trong C : 4 23 2 0z z+ + = 
Hướng dẫn : đặt 2Z z= 
2. Giải phương trình trong C : 4 3 22 3 2 0z z z z+ + + + = 
Hướng dẫn : đặt 
1
Z z
z
= + 
3. a) Giải phương trình trong C : 3 8=z 
 Gợi ý : Dễ thấy phương trình có 1 nghiệm đặc biệt 
 b) Từ đó suy ra cách giải phương trình 
3
8
1
z i
z
+ 
= 
− 