Chuyên đề Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

 = -2Sin21 – Sin1 + 2 
Tóm lại: 
Max F(x) = Max F(t) = F(1/4) = 17/8 
x ∈R. t ≤ Sin1 
Min F(x) = Min F(t) = Min {F(Sin1); F(-Sin1)} 
Trang 7 
x ∈R. t ≤ Sin1 = -2Sin21 – Sin1 + 2 
Giá trị nhỏ nhất của F(x) đạt được khi t = - Sin1 = Sin(-1). 
 Tức là: Sin
+ 2
2x
1 x
 = Sin (-1). 
+ 2
2x
1 x
 = -1 (Chú ý: -1 ≤ 
+ 2
2x
1 x
 ≤ 1) 
 (x+1)2 = 0 
 x = 1. 
Giá trị lớn nhất của F(x) đạt được khi nào, các bạn tự tính. 
2. Bài toán giá trị lơn nhất, giá trị nhỏ nhất chứa tham số: 
- Trong các bài toán này, giá trị max, min của một hàm số F(x) trên một miền D sẽ phụ 
thuộc vào tham số m. Khi m biến thiên, nói chung các giá trị này cũng thay đổi. Cần nhấn 
mạnh rằng phương pháp dùng đạo hàm tỏ ra có hiệu lực rõ rệt với loại bài toán này. 
- Có 2 loại bài toán chinhs thường gặp: 
 + Tìm giá trị max, min của hàm số F(x) trên miền D theo tham số m. 
 + Xét 1 bài toán khác sau khi đã tìm xong giá trị max, min. 
Chúng ta hãy xét các VD sau: 
Ví dụ 3: Cho hàm số : 
 y = Sin4x + Cos4x + m SinxCosx, Với x ∈R. 
Tìm giá trị max, min của hàm số và biện luận theo m? 
Trang 8 
Ta có y = 1 – 1
2
Sin22x + m
2
Sin2x 
 Đặt t = Sin2x. Bài toán quy về: Tìm giá trị max, min của hàm số : 
 F(t) = - 1
2
t2 + m
2
t +1 với -1 ≤ t ≤ 1 
 F'(t) = -t + m
2
. 
Xét các khả năng sau: 
 1) Nếu m ≥ 2 (khi đó m
2
 ≥ 1). Ta có bảng biến thiên sau: 
 t -1 1 m 
2
 F'(t) + /// 0 
 F(t) /// 
Ta có: 
Max F(t) = 
t ≤ 1 
F(1) = +m 1
2
Min F(t) = 
t ≤ 1 
F(-1) = − +m 1
2
2) Nếu m ≤ -2 (khi đó m
2
 ≤ 1). Ta có bảng biến thiên sau: 
Trang 9 
 t m
2
 -1 1 
 F'(t) 0 /// - 
 F(t) /// 
Ta có: 
Max F(t) = 
t ≤ 1 
F(-1) = − +m 1
2
Min F(t) = 
t ≤ 1 
F(1) = +m 1
2
3) Nếu -2 < m < 2 (Khi đó -1 < m
2
 < 1) Ta có bảng biến thiên sau: 
 t -1 m
2
 1 
 F'(t) + 0 - /// 
 F(t) /// 
Max F(t) = 
t ≤ 1 
F( m
2
) = +2m 8
8
Trang 10 
Min F(t) 
t ≤ 1 
= Min{f(-1); f(1)} 
Nếu 0 ≤ m ≤ 2 
 = Min{− +m 1
2
; +m 1
2
} 
=
⎧ −⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪ +⎪⎪⎪⎪⎩
1 m
2
1 m
2
Nếu -2 ≤ m ≤ 0 
Tóm lại ta đi đến kết quả sau: 
+1 m
2
 Nếu 2 ≤ m 
+ 28 m
8
 Nếu -2 < m < 2 
Max y 
x ∈R. 
= 
−1 m
2
 Nếu -2 ≤ m 
Nếu 0 ≤ m 
Min y 
x ∈R. 
=
⎧ −⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪ +⎪⎪⎪⎪⎩
1 m
2
1 m
2
Nếu m < 0 
Chú ý: Có thể viết đáp số gọn hơn: VD Min y = 
+1 m
2
Ví dụ 4: Cho hàm số F(x) = 4x2 – 4ax + a2 – 2a, Xét khi -2 ≤ x ≤ 0 
 Tìm a để: Min F(x): = 2? 
 -2 ≤ x ≤ 0 
 Ta có: F'(x) = 8x – 4a =>F'(x) = 0 khi x = a
2
. 
Trang 11 
Xét các khả năng sau: 
 1) Nếu a > 0 (tức a
2
> 0). Ta có bảng biến thiên sau: 
 x -2 0 a
2
 F'(x) 0 - /// 0 
 F(x) /// 
Vì thế: Min F(x) = F(0) = a2 – 2a. 
 -2 ≤ x ≤ 0 
 Min F(x) = 2 a2 – 2a = 2. 
⎡ = +⎢⎢ = −⎢⎣
a 1 3
a 1 3
 Vì a> 0 nên chỉ lấy giá trị: a = 1+ 3 
2) Nếu a < -4 (Tức a
2
< -2) Ta có bảng biến thiên sau: 
 x a
2
 -2 0 
 F'(x) 0 /// + /// 
 F(x) /// /// 
Vì thế: Min F(x) = F(-2) = a2 – 6a + 16. 
Trang 12 
 -2 ≤ x ≤ 0 
 Min F(x) = 2 a2 – 6a + 16 = 2. 
 a2 – 6a + 14 = 0 
 ∆ = 9 – 14 = -5 < 0. PT vô nghiệm. 
3) Nếu -4 ≤ a ≤ 0 (Tức -2 ≤ a
2
 ≤ 0) Ta có bảng biến thiên sau: 
 x -2 a
2
 0 
 F'(x) // - 0 + /// 
 F(x) // /// 
Vì thế: Min F(x) = F( a
2
) = – 2a 
 -2 ≤ x ≤ 0 
 Min F(x) = 2 –2a = 2 
 a = -1. 
 Giá trị a = -1 thỏa mãn điều kiện -4 ≤ a ≤ 0 nên chấp nhận được. 
Tóm lại các giá trị cần tìm của tham số a là: a = -1 và a = 1+ 3 
3. Phương pháp miền giá trị hàm số 
Trang 13 
 Xét bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) ? Một miền D cho? . Gọi 
yo là một giá trị tùy ý của f(x) trên D, thì hệ sau đây (của x) có nghiệm 0
( ) (1)
(2)
f x y
x D
=⎧⎨ ∈⎩
Tùy dạng của hệ (1) (2) mà ta có các điều kiện có nghiệm tương ứng. Trong nhiều trường 
hợp, điều kiện ấy (sau khi biến đổi) đưa được về dạng 0 (3)yα β≤ ≤ . Vì yo là một giá trị bất 
kì của f(x), nên từ (3) ta có ( ) ; ( )
x D x D
Min f x Max f xα β
∈ ∈
= = . Như vậy khi sử dụng phương pháp 
này để tìm giá trị lớn nhất của một hàm số, thực chất ta đã qui về việc tìm điều kiện để một 
phương trình (thường làm có thêm điều kiện phụ) có nghiệm. 
Xét các thí dụ sau: 
Thí dụ 1 
 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2sin osx+1( ) , ?i x R
sinx-2cosx+3
x cf x += ∈v . 
Bài giải: 
Để ý rằng do 
3 5 s inx-2cosx+3 3 5, x− ≤ ≤ + ∀ , nên f(x) xác định xác định trên toàn R. Gọi yo là một giá 
trị tùy ý của f(x), ta có phương trình sau (của x) 0
2sin osx+1(1)
s inx-2cosx+3
x cy += có nghiệm. 
Dễ thấy (1) 2sinx + cosx + 1 = yo sinx - 2yo cosx + 3 yo 
 (2 - yo)sinx + (1 + 2 yo)cosx = 3 yo - 1 (2) 
Vì (2) có nghiệm, nên ta có 
2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0
1(2 ) (1 2 ) (3 1) 4 6 4 0 2 3 2 0 2(3)
2
y y y y y y y y− + + ≥ − ⇔ − − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤ Từ 
(3) suy ra 1( ) ; ( ) 2
2x R x R
Min f x Max f x
∈ ∈
= − = 
Chú ý 
Nếu thay yo = 2 vào (2) ta có 5cosx = 5 cosx = 1 2x kπ= . Vậy Maxf(x) đạt được 
khi 2 ,x k k Zπ= ∈ (Xét tương tự cho Min(fx). 
Thí dụ 2 
Trang 14 
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
2
2
2 7 23( ) ,
2 10
x xf x x R
x x
+ += ∈+ + 
Bài giải: 
Gọi yo là một giá trị tùy ý của hàm số, thì phương trình sau (của x) 
2
0 2
2 7 23 (1)
2 10
x xy
x x
+ += + + có 
nghiệm. 
Dễ thấy 20 0 0(1) ( 2) (2 7) 10 23 0(2)y x y x y⇔ − + − + − =
Xét 2 khả năng: 
 + Nếu yo = 2, thì (2) -3x – 3 = 0 => phương trình này sẽ ? có nghiệm 
 + Nếu , thì (2) có nghiệm 0 2y ≠ 20 0 03 50 9 16 15 0 2 2y y y⇔ Δ ≥ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤ 
Tóm lại (2) có nghiệm 0
3 5
2 2
y⇔ ≤ ≤ 
Vì yo là giá trị tùy ý của f(x), nên 
3 5( ) ; ( )
2 2x R x R
Min f x Max f x
∈ ∈
= = 
Thí dụ 3: 
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức với x, y thỏa mãn 2 2,P x y= +
{ }2 2 2 2 2 2 2( , ) ( 1) 4 0x y D x y x y x y∈ = − + + − − = 
Bài giải: 
Gọi to là một giá trị tùy ý của P, khi ( , )x y D∈ . Vậy hệ sau đây (của x,y) 
2 2
0
2 2 2 2 2 2 2
(1)
( 1) 4 0(2)
x y t
x y x y x y
⎧ + =⎪⎨ − + + − − =⎪⎩
có nghiệm. Hệ (1),(2) tương đương với hệ sau: 
2 22 2
00
2 22 2 2 2 2 2
0 0
(3)
3 1 4 0 (4( ) 3( ) 1 4 0
x y tx y t
t t xx y x y x
⎧⎧ + =+ =⎪ ⎪⇔⎨ ⎨ − + + =+ − + + + =⎪ ⎪⎩ ⎩ )
Trang 15 
Để (4) (của x) có nghiệm ta cần có 20 0 0
3 5 3 53 1 0 (5
2 2
t t t− +− + ≤ ⇔ ≤ ≤ ) 
Với điều kiện (5). Gọi x là nghiệm của (4), và thay vào (3) ta 
có: 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 04 4 4 3 1 4 4 4 1(*x y t t t y t y t t+ = ⇔ − + − + = ⇔ = + + ) 
(*) chắc chắn có nghiệm vì >0. 20 0 1t t+ +
Vậy (5) là điều kiện cần và đủ để hệ (3), (4) có nghiệm. Từ đó suy ra 
( , ) ( , )
3 5 3 5;
2 2x y D x y D
Min P Max P
∈ ∈
− += = 
Thí dụ 4 
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của trên miền 2 3P x xy y= − − 2, { }2 2( , ) : 3D x y x xy y= + + ≤ 
Bài giải: 
Gọi 
{ } { }
{ }
2 2 2
1
2 2
2
( , ) : 3, 0 ( , ) : 3, 0
( , ) : 3, 0
D x y x xy y y x y x y
D x y x xy y y
= + + ≤ = = ≤
= + + ≤ ≠
=
Ta có 1 2
2 2
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
Max P=Max Max P, Max P , (1)
Min P=Min Min P, Min P (2)
x y D x y D x y D
x y D x y D x y D
∈ ∈ ∈
∈ ∈ ∈
⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭
⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭
Từ 1( , )x y D∈ thì , do đó 2P x=
11 ( , )( , )
ax P=3; M in P=0 (3)
x y Dx y D
M ∈∈
Xét biểu thức 
2
2 2 2
2 2 2 2
3
3 3
1
1
x x
y yx xy y t tS
x xy y t tx x
y y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = =+ + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Gọi α là một giá trị tùy ý của S, tức là phương trình (ẩn t) 
2
2
3 (4)
1
t t
t t
α− − =+ + có nghiệm. Dễ thấy 
2(4) ( 1) ( 1) 3 0 (5)t tα α α⇔ − + + + + =
Trang 16 
+ Nếu α = 1 thì (5) có nghiệm t = -2 
+ Nếu 1α ≠ thì (5) có nghiệm khi 2 20 ( 1) 4( 1)( 3) 0 3 6 11 0α α α α αΔ ≥ ⇔ + − − + ≥ ⇔ − − − ≥ 
2
( 1)
3 4 3 3 4 33 6 13 0 (6)
3 3αα α α≠
− − − +⇔ + − ≤ ⇔ ≤ ≤ 
Thử lại (5) có nghiệm 3 4 3 3 4 3
3 3
α− − − +⇔ ≤ ≤ 
Ta có 
2 2
2 2 2
2 2
3( ) ( )x xy yP x xy y x xy y S
x xy y
− −= + + = + ++ +
2
x xy y+ + ≤
Do khi 2 2( ) 3 ( ,
Trang 17 
2 2) 3 4 3 3 4 3 ( , )y D P x y D∈ ⇒ − − ≤ ≤ − + ∀ ∈ x
Rõ ràng hệ phương trình 
2 2
2 2
2 2
3 3 4
3
3
x xy y
x xy y
x xy y
⎧ − − − +=⎪ + +⎨⎪ + + =⎩
3
có nghiệm. 
Như vậy 
2( , )
3 4 3 (7)
x y D
Max P
∈
= − + . Tương tự 
2( , )
3 4 3 (8)
x y D
Min P
∈
= − − 
Từ (1), (2), (3), (7), (8) suy ra 
2 2( , ) ( , )
3 4 3; 3 4 3
x y D x y D
Max P Min P
∈ ∈
= − + = − − . 
3. Phương pháp chiều biến thiên. 
Phương pháp này kết hợp việc sử dụng đạo hàm để khảo sát tính đồng biến và nghịch biến 
của hàm số, với việc so sánh các giá trị đặc biệt của hàm số (các điểm cực trị, các điểm tới 
hạn). Xét các thí dụ minh họa sau: 
Thí dụ 1 
Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 1P x y z
x y z
= + + + + + trên miền 
3( , , ) : 0, 0, 0,
2
D x y z x y z x y z⎧ ⎫= > > > + +⎨ ⎬⎩ ⎭≤ 
Bài giải: 
Theo bất đẳng thức CoSi, ta có: 
1 1 1( ) 9
1 1 1 9
9 (1)
x y z
x y z
x y z x y z
P x y z
x y z
⎛ ⎞+ + + + ≥⎜ ⎟⎝ ⎠
⇒ + + ≥ + +
⇒ ≥ + + + + +
Đặt 3t = x + y + z 0<t
2
⇒ ≤ . Xét hàm số 9 3( ) ,0
2
f t t t
t
= + < ≤ ; 2
9'( ) 1f t
t
= − 
Ta có bảng biến thiên sau: 
0
t
f ’(t)
f (t)
-3 0
3
2 3
0
Vậy 
30
2
3 1f(t)=f
2 2t
Min
< ≤
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
5 . Từ (1) suy ra 15
2
P ≥ (2). Mặt khác với 1
2
x y z= = = (khi đó 
3
2
x y z+ + = thỏa mãn điều kiện 3
2
x y z+ + ≤ ), ta có 15
2
P = . Từ đó kết hợp với (2) suy ra 
15
2
MinP = 
Chú ý: Nếu viết 1 1 1 6(*)P x y z
x y z
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + + ≥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
. Tuy nhiên dấu bằng trong (*) 
có x = y = z = 1. Nhưng 33
2
x y z+ + = > . Vậy không có dấu bằng trong (*)! 
Thí dụ 2 
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 
1 1
x yP
y x
= ++ + với { }( , ) , 0, 1x y D x y x y= ≥ + = ∈
Bài giải: 
Đưa P về dạng 
2 2 2( ) 2 (
1 ( ) 1
)x x y y x y xy x yP
xy x y x y xy
+ + + + − + += =+ + + + + + 
Do x + y + 1, nên với ( , )x y D∈ , ta có : 2 2 (1)
2
xyP
xy
−= + 
Trang 18 
Đặt t = xy, khi đó 
2( ) 1
4 4
x yxy t+≤ ≤ ⇒ ≤ ≤0 0 . 
Xét hàm số 2 2( )
2
tf t
t
−= + với 
10
4
t≤ ≤ 
Ta có 2
6'( )
(2 )
f t
t
−= + , nên có bảng biến thiên (các em tự vẽ hình) dẫn đến kết luận: 
Vậy 
( , ) ( , )
21;
3x y D