Tổ hợp - Xác xuất - Nhị thức Niu-tơn kỹ thuật biểu đồ cây cho bài toán đếm

Tổ hợp - Xác xuất-Nhị thức Niu-tơn
 Kỹ thuật biểu đồ cây cho bài toán đếm 
A. Lý thuyết
 1.Các quy tắc đếm 
Quy tắc công:
 Giả sử một công việc có thể thực hiện theo 1 trong k phương án A1,A2...Ak.Có : n1 cách thực hiện phương án A1
	n1 cách thực hiện phương án A2
	...................................................
 	nk cách thực hiện phương án Ak
Khi đó số cách để thực hiện công việc là : T=n1+n2+...+nk
EX:Cần chon một bạn học sinh (hoặc là nam lớp 12 hoặc là học sinh nữ 11)vào làm trong ban chấp hành đoàn trường.Hỏi có bao nhiêu cách chọn biết khối 12 có 75 nam,lớp 11 có 25 học sinh nữ.
Giải:
	Số cách chọn học sinh nam là 75 cách 
	Số cách chọn học sinh nữ là 25 cách 
Vậy có tổng số cách chọn là :T=25+75=100 cách
Quy tắc nhân :
 Giả sử một công việc gồm k công đoạn A1,A2...Ak.Có : 
 n1 cách thực hiện phương án A1
	n1 cách thực hiện phương án A2
	...................................................
 nk cách thực hiện phương án Ak
Khi đó số cách để thực hiện công việc là:N=n1.n2....nk
EX:Cần chọn hai học sinh một nam(học lớp12) và một nữ (học lớp 11) vào làm trong ban chấp hành đoàn trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn biết khối 12 có 75 nam,lớp 11 có 25 học sinh nữ.
Giải:
	Số cách chọn học sinh nam là 75 cách 
	Số cách chọn học sinh nữ là 25 cách
Vậy chọn cả nam và nữ thì có số cách chọn là:N=25.75=1875 cách
Chỉnh hợp,tổ hợp,hoán vị
2.1Hoán vị 
Cho tập A gồm n phần tử.Số các hoán vị (đổi vị trí) của A ký hiệu là và =n!=n(n-1)(n-2)....1
2.2 Chỉnh hợp
 Cho tập A gồm n phần tử và số nguyên k ( 1k n).Khi lấy k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự ta đựoc chỉnh hợp chập k của n phần tử của A. Số các chỉnh hợp chập k của A ký hiệu là 
với qui ước 0!=1và =1 (0k n)
2.3 Tổ hợp 
Cho tập A gồm n phần tử và ssó nguyên k ( 1k n).Mỗi tập con gồm k phần của A gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A.Số các tổ hợp 
của A ký hiệu là :
 và 
2.4 Các công thức tính chất của 	
 Các tính chất dưới đây ta ngầm hiểu là các biểu thức tồn tại và có nghĩa
1. 
2. (hay kiểu khác )
3. 
B.Bài Tập
Hướng dẫn chung:Phần lớn các bài tập thuộc phần toán đếm này đều có hai dạng là đếm số và đếm số phương án.
với bài toán đếm số chúng ta chỉ cần gọi số cần đếm dang sau đó phân tích xem có bao nhiêu cách chọn các số , ...rồi tổng hợp lại.Chú ý rằng nên dùng các quy tắc hoán vị chỉnh hợp để chọn gộp các số , ... để khỏi phải đếm theo qui tắc cộng hay nhân
Với bài toán đếm số phương án thì ta phân ra làm các phương án A1,A2...An theo yêu cầu của đề (để phân không thiếu trường hợp nên sử dụng biểu đồ cây-mình sẽ nói rõ ở bài học)sau đó đếm số cách thực hiện các phương án A1,A2...An.Rồi tổng hợp lại là OK ngay!
Sự khác biệt giữa số chỉnh hợp và tổ hợp là:tuy cùng là số cách lấy k phần tử tử từ tập A ra nhưng chỉnh hợp thì sắp thứu tự còn tổ hợp thì không.Còn hoán vị thực ra là trường hợp riêng của chỉnh hợp khi ta đem cả n phần tử của A ra sắp xếp lại theo thứ tự
Một số bài tập làm theo phần thuận sẽ khó khăn ta nên làm ngược lại theo phần bù.Ví như trong một thùng dưa hấu và táo có 100 quả người ta bắt đếm số quả táo.Do táo nhỏ khó đếm nên ta đếm số dưa hấu rồi lấy tổng số quả trừ đi là the end ngay thôi
Các bạn chỉ cấn làm một số bài tập để hiểu những điều mình nói trên đây sau đó ngẫm lại đảm bảo các bạn sẽ kê cao gối ngủ qua phần toán đếm này 
a.dạng đếm số
Bài 1
 1.cho tập A={1,2,3,4,5,6}
	a.có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau từ tập A
	b.có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau từ tập Avà số đó : - chia hết cho 3
 - là số chẵn
c. có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau từ tập Avà số đó chia hết cho 5
d. có bao nhiêu cách lập số gồm 3 chữ số sao cho số đó nhỏ hơn hoặc bằng 278
chú ý các bạn làm bài toán này nếu tập Acó thêm phần tư 0
Bài 2 Cho E={1,2,3,4,5,6,7}
a.có bao nhiêu số gồm 7 chữ số hình thành từ E?
b. có bao nhiêu số gồm 7 chữ số hình thành từ E,trong đó các chữ số 3,4,5 đứng cạnh nhau?
c. có bao nhiêu số gồm 7 chữ số hình thành từ E,bắt đàu bằng 123?
d**.tính tổng của các số tạo được ở câu a (phát biểu nêu ra bài toán tổng quát)
Bài 3 cho F={0,1,2,3,4,5,6}
a.lập được bao nhiêu số có 10 chữ số mà trong mỗi số,chữ số 5 có mặt đúng 4 lần,các số khác mỗi chữ số có mặt 1 lần
b. lập được bao nhiêu số có 10 chữ số mà trong mỗi số,chữ số 2 có mặt đúng 4lần , chữ số 4có mặt đúng 2 lần các số khác mỗi chữ số có mặt 1 lần 
Bài 4 cho tập A={0,2,3,4,5,6,7}
a.từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau mà mỗi số luôn có mặt chứ số 1và7
b. từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau mà mỗi số luôn có mặt chứ số 1và7 và chữ số 1&7 đứng cạnh nhau 
b.dang đếm số phương án
Bài 1 (ĐH Y-2000)
 Có 5 nhà toán học nam,3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam.lập 1 đoàn công tác có 3 người cần có cả nm và nữ ,có cả toán và lý .Hỏi có bao nhiêu cách
Bài 2 một dạ tiệc có 10 nam và 6 nữ biết khiêu vũ.Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp nhảy
Bài3 Bill Gate có 5 người bạn thân.Ông muốn mưòi 5 trong số họ đi chơi xa .Trong 11 người này có 2 người không muốn gặp mặt nhau.Hỏi ngài tỷ phú có bao nhiêu cách mời
Bài 4 ĐH-CĐ khối B/2004
Có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 cau khó(K) 10 câu trung bình(TB)và 15 câu dễ(D).Từ 30 câu có có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra mỗi đề gồm 5 câu khác nhau sao cho mỗi đề fải có 3 loại(K-D-TB)và số câu dễ không ít hơn 2?
Bài 5 ĐH-CĐ khối B/2005
 Một đội thanh nien tình nguyện có 15 người,gồm 12 nam và 3 nữ .Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội tình nguyện đó về 3 miền núi sao cho mỗi tỉnh đều có 4 nam và 1 nữ
Bài 6***ĐH-CĐ khối B/2002
Cho đa giác đều A1,A2,....A2n(nN và n 2) nội tiếp đường tròn (O).Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong 2n đỉnh A1,A2,....A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là4 trong 2n đỉnh A1,A2,....A2n.tìm n