Chuyên đề: Tích phân - Lê Văn Linh

3. Dạng 3
Để tính các tích phân và , ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số trên đoạn [a; b].
Bước 2. 
+ Nếu thì và .
+ Nếu thì và .
Ví dụ 1. Tính tích phân .
Giải
Đặt .
Bảng xét dấu
x
0 1 3 4
h(x)
 + 0 – 0 +
.
Vậy .
Ví dụ 2. Tính tích phân .
Giải
Đặt .
Bảng xét dấu
x
0 1 2
h(x)
 – 0 +
.
Vậy .
III. TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ DẠNG HÀM VÔ TỈ.
1.Tích phân dạng: (với a 0)
Cách làm: 
Biến đổi về một trong các dạng ,sau đó thực hiện phép đổi biến tương ứng ta sẽ đưa về việc tính tích phân của hàm hữu tỉ.
 a) Đặt t = a.tgu (hoặc a.cotgu) với u (hoặc u).
 b) Đặt t = a.Sinu(hoặc a.Cosu) với u (hoặc u.
 c) Đặt t = (hoặc t = ) với u -(hoặc u-)
Chú ý công thức:
	 = +C (C là hằng số tuỳ ý)
Chứng minh:
	Đặt t = x + = 
Từ đó ta có : Vậy : = (ĐPCM)
	Với hàm hợp: (*)Trong đó u = u(x).
Ví dụ 1:Tính I = 
	I = 
	Đặt x-1 = Sint . Khi x =1 t = 0
 x =t = 
	và :
vậy I = = 
Ví dụ 2:Tính J = 
	Thông thường với tích phân dạng (a) và (c) ta sử dụng công thức (*) thì lời giải sẽ dễ dàng và ngắn gọn hơn.
	áp dụng công thức (*) ta có: J = = 
	= = = .
Ví dụ 3: Tính K = = 
Cách 1: Áp dụng công thức (*) ta có:
	K = = = .
Cách 2: Đặt 2x - 1 = 
Chú ý:
Nếu mẫu thức có thể khai căn được thì ta có thể giải bài toán một cách đơn giản hơn như sau: 
Ví dụ 4:Tính M = 
 M = =
 = = -
2.Tích phân dạng: 	Với a.A 0
	Cách làm:
Tách tích phân đã cho thành hai tích phân có chung mẫu là,một tích phân có tử là đạo hàm của tam thức bậc hai,một tích phân có tử là hằng số.
	Tức là tách: = 
Ví dụ 1:Tính I = 
	Ta có: I = = =
 = 
Ví dụ 2:Tính J = 
	Ta có: J = = 
 =+
	 = = 
3.Tích phân dạng: (Với )
	Cách làm: Đặt chuyển tích phân cần tính về tích phân dạng (a).
Ví dụ 1:Tính I = 
	Đặt = Khi x = 0 t = 1
 x = 1 t = 
	Và dx = -.Ta có: I = = = 
Ví dụ 2:Tính J = 
	Đặt x-1 = x = 
 Khi x = 2 thì t=1
 x = 3 thì t = 
	 và dx = -
Tích phân cần tính là: I = = 
	= = = 
Ví dụ 3:Tính K = 
	Đặt t = ex dt = exdx.Khi : x = 0 t = 1
	x = ln2 t = 2
 Ta có: K =
	Đặt u = ta có: 
Vậy K = = = 
Ví dụ 4:Tính N = 
Ta có : N = = N = 
Đặt t = Sin x thì : N = Lại đặt u = thì N = = 
	= = 
4.Tích phân dạng: Với bậc f(x)2,f(x) là đa thức.
	Cách làm:Tách = g(x). +
	Với g(x) là đa thức , bậc g(x)+1 = bậc f(x).
Tìm các hệ số của g(x) và số bằng phương pháp hệ số bất định.
Ví dụ 1:Tính M = 
Tách : = +
Lấy đạo hàm hai vế ta có:
	 + + 
Đồng nhất hệ số ta có : 
Vậy M = +
	 = + 
Ví dụ 2:Tính N = 
	Ta có : = + (1)
	Lấy đạo hàm hai vế của (1) và quy đồng ta có:
	x3-x +1 = (2A.x+B)(x2+2x+2) +(Ax2+Bx+C)(x-1) +D
Đồng nhất hệ số ta có: 3A = 1	A=
	5A+2B =0	B= -
	4A+3B+C =-1	C=
	2B +C+D =1	D=
Vậy có: M = + 
	= + 
Ví dụ 3:Tính P = 
	Để áp dụng được ví dụ 2 ta làm như sau:Tách tích phân cần tính thành hiệu của hai tích phân:
	P = = =
	P = - = N - = 
	 = = 
 = .
5.Tích phân dạng: với 
	Cách làm:Đặt ta sẽ đưa về tính tích phân của hàm hữu tỉ.
Ví dụ :Tính I = 
	Ta thấy đặt t = 
	Khi 
Vậy ta có: I = = = = 
 = = =
6.Tích phân dạng: Với 
	Cách làm: Cách 1: Đặt 
	 Cách 2: Đặt 
	Với cách đặt trên ta sẽ đưa tích phân cần tính thành tích phân đơn giản hơn.
Ví dụ :Tính J = 
	Ta thực hiện theo cách đặt 2: Đặt 
	Khi đó 
Vậy J = = 
	Đặt Khi 
	 Vậy : J = = 
 = = = 
7.Tích phân dạng: 
	Cách làm: Đặt Với k là BCNN của m và n.
Ví dụ1 :Tính I = 
	Đặt 
	I = = 
	 = 
Tích phân này dễ dàng tính được.
Ví dụ2 :Tính J = 
	Đặt 
 J = = = 
	 = 
Đồng nhất hệ số ta có: 
Vậy J = = 
	= = 
Tính L bằng cách đặt Ta có đáp số là: I = .
8.Tích phân dạng: (p,q,r là các phân số)
	a)Nếu q nguyên đặt x= ts với s là BCNN của mẫu số r và p.
	b)Nếu nguyên đặt với s là mẫu của phân số q.
	c) Nếu +q nguyên đặt với s là mẫu số của phân số q.
Ví dụ1 :Tính I = 
	Viết tích phân cần tính ở dạng sau: I = = 
Vì q=-3 nguyên nên đặt x= t4 ta có dx=4t3dt
I = ==
 = 	=
 = .
Ví dụ 2 :Tính J = 
	Ta có: J = Vì nguyên nên đặt a-x2 = t2
 Vậy J = = -
	= .
Ví dụ 3 :Tính N = 
	Ta có: N = = 
Do vì nguyên nên ta đặt hay 
Vậy N = = = =
	 = = (Tích phân này dễ dàng tính được).
9.Các phép thế Euler:
	a) Đặt = ± Nếu >0
	b) Đặt =± Nêú c>0
	c) Đặt = Nếu x0 là nghiệm của TTB2
Ví dụ 1 :Tính M = 
	a=1 >0 Sử dụng phép thế thứ nhất đặt 
	Suy ra: 
	Với 
	 (Chú ý rằng )
Ta có: I = = -
Ví dụ 2 :Tính P = 
	Tam thức bậc hai x2+3x+2 có nghiệm là -1.Theo phép thế thứ ba,đặt 
	; 
	 vậy 
Khi đó: P = = 
 = +-+-
 = .
Ví dụ 3 :Tính L = 
	Vì c = 4 >0 có thể sử dụng phép thế thứ hai.
	Đặt 
Chuyển việc tính tích phân trên về việc tính tích phân 
10.Một số bài toán khác:
	Ngoài các dạng trên thì có những bài có thể áp dụng trực tiếp công thức tích phân,hoặc sử dụng một số phép biến đổi đơn giản.Sau đây là một số ví dụ:
Ví dụ 1: Tính I1 = Đặt 
Ví dụ 2: Tính I2 = Đặt 
Ví dụ 3: Tính I3 = Đặt 
	Có thể trình bày như sau: I3 = = = 
Ví dụ 4: Tính I4 = 
	Ta có : I4 = = = 
Ví dụ 5: Tính 
Cách1:	Sử dụng phương pháp lấy tích phân từng phần
	Đặt 
Cách 2: Đặt x =2Sint (Vì đây là tích phân dạng 1-b)
	 Đáp số:
Ví dụ 6: Tính 
Dùng phương pháp lấy tích phân từng phần với .
Ta có kết quả là :
Ví dụ 7: Tính 
	Đặt ta có: =
Ví dụ 8: Tính 
	Đặt 
Ta có: 
Vậy : = 
Ví dụ 9: Tính 	
 Đặt 
Ta có: =
 = = ./
E. 200 BÀI TẬP TÍNH TÍCH PHÂN
Câu 1: Tính
Câu 2: Tính
Câu 3: Tính
Câu 4: Tính
Câu 5: Tính
Câu 6: Tính
Câu 7: Tính
Câu 8: Tính
Câu 9: Tính
Câu 10: Tính
Câu 11: Tính
Câu 12: Tính
Câu 13: Tính
Câu 14: Tính
Câu 15: Tính
Câu 16: Tính
Câu 17: Tính
Câu 18: Tính
Câu 19: Tính 
Câu 20: Tính
Câu 21: Tính
Câu 22: Tính
Câu 23: Tính
Câu 24: Tính
Câu 25: Tính
Câu 26: Tính
Câu 27: Tính
Câu 28: Tính
Câu 29: Tính
Câu 30: Tính
Câu 31: Tính
Câu 32: Tính
Câu 33: Tính
Câu 34: Tính
Câu 35: Tính
Câu 36: Tính
Câu37: Tính
Câu 38: Tính
Câu 39: Tính
Câu 40: Tính
Câu 41: Tính
Câu 42: Tính
Câu 43: Tính
Câu 44: Tính
Câu 45: Tính
Câu 46: Tính
Câu 47: Tính
Câu 48: Tính
Câu 49: Tính
Câu 50: Tính
Câu 51: Tính
Câu 52: Tính
Câu 53: Tính
Câu 54: Tính
Câu 55: Tính
Câu 56: Tính
Câu 57: Tính
Câu 58: Tính
Câu 59: Tính
Câu 60: Tính
Câu 61: Tính
Câu 62: Tính
Câu 63: Tính
Câu 64: Tính
Câu 65: Tính
Câu 66: Tính
Câu 67: Tính
Câu 68: Tính
Câu 69: Tính
Câu 70: Tính
Câu 71: Tính
Câu 73: Tính
Câu 74: Tính
Câu 75: Tính
Câu 76: Tính
Câu 77: Tính
Câu 78: Tính
Câu 79: Tính
Câu 80: Tính
Câu 81: Tính
Câu 82: Tính
Câu 83: Tính
Câu 84: Tính
Câu 85: Tính
Câu 86: Tính
Câu 87: Tính
Câu 88: Tính
Câu 89: Tính
Câu 90: Tính
Câu 91: 	a/ Tính
b/ Tính
Câu 92: Tính
Câu 93: Tính
Câu 94: Tính
Câu 95: Tính 
Câu 96: Tính
Câu 97: Tính
Câu 98: Tính
Câu 99: Tính
Câu 100: Tính
Câu 101: Tính
Câu 102: Tính
Câu 103: Tính
Câu 104: Tính
Câu 105: Tính
Câu 106: Tính
Câu 107: Tính
Câu 108: Tính
Câu 109: Tính
Câu 110: Tính
Câu 111: Tính
Câu 112: Tính
Câu 113: Tính
Câu 114: Tính
Câu 115: Tính
Câu 116: Tính
Câu 117: Tính
Câu 118: Tính
Câu 119: Tính
Câu 120: Tính
Câu 121: Tính
Câu 122: Tính
Câu 123: Tính
Câu 124: Tính
Câu 125: Tính
Câu 126: Tính
Câu 127: Tính
Câu 128: Tính
Câu 129: Tính
Câu 130: Tính
Câu 131: Tính
Câu 132: Tính
Câu 133: Tính
Câu 134: Tính 
Câu 135: Tính
Câu 136: Tính
Câu 137: 
Câu 138: Tính
Câu 139: Tính
Câu 140: Tính
Câu 141: Tính
Câu 142: Tính
Câu 143: Tính
Câu 144: Tính
Câu 145: Tính
Câu 146: Tính
Câu 147: Tính
Câu 148: Tính
Câu 149: Tính
Câu 150: Tính
Câu 151: Tính
Câu 152: Tính
Câu 153: Tính
Câu 154: Tính 
Câu 155: Tính 
Câu 156: Tính
Câu 157: Tính 
Câu 158: Tính 
Câu 159: Tính
Câu 160: Tính
Câu 161: Tính
Câu 162: Tính
Câu 163: Tính
Câu 164: Tính
Câu 165: Tính 
Câu 166: Tính
Câu 167: Tính 
Câu 168: Tính 
Câu 169: Tính
Câu 170: Tính
Câu 171: Tính
Câu 172: Tính
Câu 173: Tính
Câu 174: Tính 
Câu 175: Tính
Câu 176: Tính
Câu 177: Tính
Câu 178: Tính
Câu 179: Tính
Câu 180: Tính
Câu 181: Tính
Câu 182: Tính
Câu 183: Tính
Câu 184: Tính
Câu 185: Tính
Câu 186: Tính
Câu 187: Tính
Câu 188: Tính
Câu 189: Tính
Câu 190: Tính
Câu 191: Tính
Câu 192: Tính
Câu 193: Tính
Câu 194: Tính
Câu 195: Tính
Câu 196: Tính
Câu 197: Tính
Câu 198: Tính
Câu 199: Tính
Câu 200: Tính
F. HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: 
Câu 2: =+
1.	 = = 
2.	I = 
Ta có : 
	= . 
Þ	I 	= 
	= = 
ĐS: +
Câu 3: 
Câu 4: =	
1.	. Đặt Þ 
	Þ I = 
	÷	I1 = , Đặt Þ 
	°	Þ I1 = 
	= . 	Vậy I = 
2.	Ta có: 
Þ 5x – 13 = (A + B)x – 3A – 2B Þ A + B = 5 vaø –3A – 2B = –13 Þ A = 3 , B = 2
Vậy	 I 	= = 
	= –(ln2 + 2ln3) = –(ln2 + ln32) = –ln(2 . 32) = –ln18
ĐS: –ln18 
Câu 5: 
Câu 6: =+=I+J
1.	I= . Đặt t = Þ t2 = x Þ 2tdt = dx
	°	x = 1 Þ t = 1 , x = 0 Þ t = 0
	Þ	I = . Đặt Þ 
	Þ	I1 = . với I2 = . 
	Đặt Þ 
	Þ	I2 = . với I3 = . 
	Đặt Þ 
	Þ	I3 = 
	Vậy I = 2I1 = 2(e – 3I2) = 2e – 6I2 = 2e – 6(e – 2I3) = 12I3 – 4e = 12 – 4e 
2.	J = = 
	°	= 
	Cân bằng hệ số 2 vế : Û 
Þ	= 
Vậy J = 5
ĐS: 5+12 – 4e=5-4e
Câu 7: 
Câu 8: =+
1.	 = 
	= = 
	= =
2.	 = 2. Đặt t = sinx Þ dt = cosx dx
	°	x = Þ t = 1 , x = 0 Þ t = 0. 
	Þ	I = 2. Đặt Þ 
	Þ	I1 = . Vậy = 2
ĐS:
Câu 9: 
Câu 10: =+ 
 = 2. Đặt t = sinx Þ dt = cosx dx
	°	x = Þ t = 1 , x = 0 Þ t = 0. 
	Þ	I = 2. Đặt Þ 
	Þ	I1 = . Vậy= 2
 = = 
ĐS:I=2
Câu 11: 
Câu 12: =+ =I+J
I = = 2. Đặt t = sinx Þ dt = cosx dx
	°	x = Þ t = 1 , x = 0 Þ t = 0. 
	Þ	I = 2. Đặt Þ 
	Þ	I1 = . Vậy I = 2
	J= = 
	Đặt t = cosx Þ dt = –sinx dx . x = 0 Þ t = 1 , x = Þ t = 0
	Þ	J = 
	xét K = . Đặt t = tgu Þ dt = 
	°	t = 0 Þ u = 0 , t = 1 Þ u = Þ	K = Þ J = – 1 + 
ĐS: =
Câu 13: 
Câu 14: =+ =I+J
I = = 
Đặt t = sinx Þ dt = cosx dx x =, t = 1 , x = 0, t = 0 
	Þ	I = 
	Đặt t = 2sinu Þ dt = 2cosu du , t = 2sinu = 0 Þ u = 0
	t = 2sinu = 1 Þ sinu = Þ u = 
	Þ	I = = 
	J=	. Đặt t = 
	°	Þ dt = = Þ dx = 
	°	x = Þ t = 1 , x = 0 Þ t = 0
	Þ	J = = . 
	°	Đặt t = Þ dt = Þ 
Vậy J = 2 = 
ĐS: =
Câu 15: 
Câu 16: =+ =I+J
I=	. 
	°	Đặt u = x2 Þ du = 2x dx . x = 0 Þ u = 0 , x = 1 Þ u = 1
	Þ	I = . 
	°	Đặt u + tgt Þ du = 
	°	u = 0 Þ tgt = Þ t = , u = 1 Þ tgt = Þ t = 
	°	 
I = 
J= . Đặt t = 1 – x2 Þ dt = –2xdx
	°	x