Chuyên đề Tích phân - Đoàn Vương Nguyên

+ +∫ ∫ 
( )
4 4t
t t
4 4
(1 2007 ) 1 1
cos tdt 1 cos tdt
1 2007 2007 1
pi pi
pi pi
− −
+ −
= = −
+ +∫ ∫ 
4 4 4
0
4 4
1 2
cos tdt I I cos tdt cos tdt
2 2
pi pi pi
pi pi
− −
= − ⇒ = = =∫ ∫ ∫ . 
Tổng quát: 
Với a > 0 , 0α > , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [ ]; −α α thì 
x
0
f(x)
dx f(x)dx
a 1
α α
−α
=
+∫ ∫ . 
Ví dụ 20. Cho hàm số f(x) liên tục trên 
 và thỏa f( x) 2f(x) cos x− + = . 
Tính tích phân 
2
2
I f(x)dx
pi
pi
−
= ∫ . 
Giải 
Đặt 
2
2
J f( x)dx
pi
pi
−
= −∫ , x t dx dt= − ⇒ = − 
x t , x t
2 2 2 2
pi pi pi pi
= − ⇒ = = ⇒ = − 
[ ]
2 2
2 2
I f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2f(x) dx
pi pi
pi pi
− −
⇒ = − = ⇒ = + = − +∫ ∫ 
2 2
0
2
cos xdx 2 cos xdx 2
pi pi
pi
−
= = =∫ ∫ . 
Vậy 
2
I
3
= . 
3.3. Các kết quả cần nhớ 
i/ Với a > 0 , hàm số f(x) lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì 
a
a
f(x)dx 0
−
=∫ . 
 9 
ii/ Với a > 0 , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì 
a a
a 0
f(x)dx 2 f(x)dx
−
=∫ ∫ . 
iii/ Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm) 
2 2
n n
0 0
(n 1)!!
, 
n !!cos xdx sin xdx
(n 1)!!
. , 
n !! 2
pi pi  −= =  − pi
∫ ∫
neáu n leû
neáu n chaün
. 
Trong đó 
n!! đọc là n walliss và được định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn. Chẳng hạn: 
0 !! 1; 1!! 1; 2 !! 2; 3 !! 1.3; 4 !! 2.4; 5 !! 1.3.5;= = = = = = 
6 !! 2.4.6; 7 !! 1.3.5.7; 8 !! 2.4.6.8; 9 !! 1.3.5.7.9; 10 !! 2.4.6.8.10= = = = = . 
Ví dụ 21. 
2
11
0
10 !! 2.4.6.8.10 256
cos xdx
11!! 1.3.5.7.9.11 693
pi
= = =∫ . 
Ví dụ 22. 
2
10
0
9 !! 1.3.5.7.9 63
sin xdx . .
10 !! 2 2.4.6.8.10 2 512
pi
pi pi pi
= = =∫ . 
(Độc giả có thể thử lại các ví dụ 11 – 13!). 
II. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 
1. Công thức 
Cho hai hàm số u(x), v(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta có 
( ) ( )/ / / // /uv u v uv uv dx u vdx uv dx= + ⇒ = + 
( )
b b b
a a a
d uv vdu udv d(uv) vdu udv⇒ = + ⇒ = +∫ ∫ ∫ 
b b b b
b b
a a
a a a a
uv vdu udv udv uv vdu⇒ = + ⇒ = −∫ ∫ ∫ ∫ . 
Công thức: 
b b
b
a
a a
udv uv vdu= −∫ ∫ (1). 
Công thức (1) còn được viết dưới dạng: 
b b
b/ /
a
a a
f(x)g (x)dx f(x)g(x) f (x)g(x)dx= −∫ ∫ (2). 
2. Phương pháp giải toán 
2.1. Sử dụng công thức 
Giả sử cần tính tích phân 
b
a
f(x)g(x)dx∫ ta thực hiện 
Cách 1. 
 10 
Bước 1. Đặt u f(x), dv g(x)dx= = (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân 
/du u (x)dx= không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân 
b
a
vdu∫ phải tính được. 
Bước 2. Thay vào công thức (1) để tính kết quả. 
Đặc biệt: 
i/ Nếu gặp 
b b b
ax
a a a
P(x)sin axdx, P(x)cos axdx, e .P(x)dx∫ ∫ ∫ với P(x) là đa thức thì đặt u P(x)= . 
ii/ Nếu gặp 
b
a
P(x) ln xdx∫ thì đặt u ln x= . 
Cách 2. 
Viết lại tích phân 
b b
/
a a
f(x)g(x)dx f(x)G (x)dx=∫ ∫ và sử dụng trực tiếp công thức (2). 
Ví dụ 1. Tính tích phân 
1
x
0
I xe dx= ∫ . 
Giải 
Cách 1. 
Đặt x x
u x du dx
dv e dx v e
= =  ⇒ =  =  
 (chọn C 0= ) 
1 1
11x x x x
0 0
0 0
xe dx xe e dx (x 1)e 1⇒ = − = − =∫ ∫ . 
Cách 2. 
( )
1 1 1
1/ 1x x x / x x
0 0
0 0 0
xe dx x e dx xe x e dx (x 1)e 1= = − = − =∫ ∫ ∫ . 
Vậy I 1= . 
Ví dụ 2. Tính tích phân 
e
1
I x ln xdx= ∫ . 
Giải 
Cách 1. 
Đặt 
2
dx
duu ln x x
dv xdx x
v
2
 ==  ⇒  =  =
e ee2 2
11 1
x 1 e 1
x ln xdx ln x xdx
2 2 4
+
⇒ = − =∫ ∫ . 
Cách 2. 
e e e/ e2 2 2
11 1 1
x x 1 e 1
x ln xdx ln x. dx ln x xdx
2 2 2 4
  += = − =  ∫ ∫ ∫ . 
Vậy 
2e 1
I
4
+
= . 
 11 
Ví dụ 3. Tính tích phân 
2
x
0
I e sin xdx
pi
= ∫ . 
Giải 
Cách 1. 
Đặt 
x x
u sin x du cos xdx
dv e dx v e
= =  ⇒  = =  
2 2
x x x2 2
0
0 0
I e sin xdx e sin x e cos xdx e J
pi pi
pi pi
⇒ = = − = −∫ ∫ . 
Đặt x x
u cos x du sin xdx
dv e dx v e
= = −  ⇒ =  =  
2 2
x x x2
0
0 0
J e cos xdx e cos x e sin xdx 1 I
pi pi
pi
⇒ = = + = − +∫ ∫ 
2
2
e 1
I e ( 1 I) I
2
pi
pi +
⇒ = − − + ⇒ = . 
Cách 2. 
( )
2 2
/x x x2
0
0 0
I sin x. e dx e sin x e cos xdx
pi pi
pi
= = −∫ ∫ 
( )
2
/x2
0
e cos x. e dx
pi
pi
= − ∫ 
2
x x22
0
0
e e cos x e sin xdx
pi
pipi
 
 
 = − +
 
  
∫ 
( )2I e 1 I
pi
⇒ = − − + . 
Vậy 
2e 1
I
2
pi
+
= . 
2.2. Sử dụng sơ đồ (dùng cho trắc nghiệm) 
Ví dụ 4. Tính tích phân 
1
2 x
0
I x e dx= ∫ . 
Giải 
 12 
( )
1
12 x
0
0
I x 2x 2 e 0dx e 2= − + − = −∫ . 
Chú thích: 
+ Mũi tên đi xuống chỉ tích của 2 nhân tử ra khỏi tích 
phân (cùng với dấu trên mũi tên). 
+ Mũi tên ngang là tích 2 nhân tử còn trong tích phân 
(cùng với dấu trên mũi tên). 
Ví dụ 5. Tính tích phân 
e
1
I ln xdx= ∫ . 
Giải 
e e
e
1
1 1
I ln xdx x ln x dx 1= = − =∫ ∫ . 
Ví dụ 6. Tính tích phân 
2
x
0
I e sin xdx
pi
= ∫ . 
Giải 
2
x x2 2
0
0
I (sin x cos x)e e sin xdx e 1 I
pi
pi pi
= − − = + −∫ . 
Vậy 
2e 1
I
2
pi
+
= . 
Chú ý: 
Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần. 
Ví dụ 7. Tính tích phân 
2
4
0
I cos xdx
pi
= ∫ . 
Giải 
Đặt 2t x x t dx 2tdt= ⇒ = ⇒ = 
2
x 0 t 0, x t
4 2
pi pi
= ⇒ = = ⇒ = 
( )
2
2
0
0
I 2 tcos tdt 2 tsin t cos t 2
pi
pi
⇒ = = + = pi −∫ . 
Vậy I 2= pi − . 
Ví dụ 8. Tính tích phân 
e
1
I sin(ln x)dx= ∫ . 
Giải 
Đặt t tt ln x x e dx e dt= ⇒ = ⇒ = 
x 1 t 0, x e t 1= ⇒ = = ⇒ = 
 13 
( )
1 1t
t
00
sin t cos t e (sin1 cos1)e 1
I e sin tdt
2 2
− − +
⇒ = = =∫ . 
Vậy 
(sin1 cos1)e 1
I
2
− +
= . 
III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 
Phương pháp giải toán 
1. Dạng 1 
Giả sử cần tính tích phân 
b
a
I f(x) dx= ∫ , ta thực hiện các bước sau 
Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD: 
x a 1x 2x b 
f(x) + 0 − 0 + 
Bước 2. Tính 
1 2
1 2
b x x b
a a x x
I f(x) dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx= = − +∫ ∫ ∫ ∫ . 
Ví dụ 9. Tính tích phân 
2
2
3
I x 3x 2 dx
−
= − +∫ . 
Giải 
Bảng xét dấu 
x 3− 1 2 
2x 3x 2− + + 0 − 0 
( ) ( )
1 2
2 2
3 1
59
I x 3x 2 dx x 3x 2 dx
2
−
= − + − − + =∫ ∫ . 
Vậy 
59
I
2
= . 
Ví dụ 10. Tính tích phân 
2
2
0
I 5 4 cos x 4 sin xdx
pi
= − −∫ . 
Giải 
2 2
2
0 0
I 4 sin x 4 sin x 1dx 2 sin x 1 dx
pi pi
= − + = −∫ ∫ . 
Bảng xét dấu 
x 0 
6
pi
2
pi
2 sin x 1− − 0 + 
( ) ( )
6 2
0
6
I 2 sin x 1 dx 2 sin x 1 dx 2 3 2
6
pi pi
pi
pi
= − − + − = − −∫ ∫ . 
Vậy I 2 3 2
6
pi
= − − . 
 14 
2. Dạng 2 
Giả sử cần tính tích phân [ ]
b
a
I f(x) g(x) dx= ±∫ , ta thực hiện 
Cách 1. 
Tách [ ]
b b b
a a a
I f(x) g(x) dx f(x) dx g(x) dx= ± = ±∫ ∫ ∫ rồi sử dụng dạng 1 ở trên. 
Cách 2. 
Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b]. 
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x). 
Ví dụ 11. Tính tích phân ( )
2
1
I x x 1 dx
−
= − −∫ . 
Giải 
Cách 1. 
( )
2 2 2
1 1 1
I x x 1 dx x dx x 1 dx
− − −
= − − = − −∫ ∫ ∫ 
0 2 1 2
1 0 1 1
xdx xdx (x 1)dx (x 1)dx
− −
= − + + − − −∫ ∫ ∫ ∫ 
0 2 1 22 2 2 2
1 0 1 1
x x x x
x x 0
2 2 2 2− −
     = − + + − − − =       
. 
Cách 2. 
Bảng xét dấu 
x –1 0 1 2 
x – 0 + + 
x – 1 – – 0 + 
( ) ( ) ( )
0 1 2
1 0 1
I x x 1 dx x x 1 dx x x 1 dx
−
= − + − + + − + − +∫ ∫ ∫ 
( ) 120 21 10x x x x 0−= − + − + = . 
Vậy I 0= . 
3. Dạng 3 
Để tính các tích phân { }
b
a
I max f(x), g(x) dx= ∫ và { }
b
a
J min f(x), g(x) dx= ∫ , ta thực hiện các 
bước sau: 
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số h(x) f(x) g(x)= − trên đoạn [a; b]. 
Bước 2. 
+ Nếu h(x) 0> thì { }max f(x), g(x) f(x)= và { }min f(x), g(x) g(x)= . 
+ Nếu h(x) 0< thì { }max f(x), g(x) g(x)= và { }min f(x), g(x) f(x)= . 
Ví dụ 12. Tính tích phân { }
4
2
0
I max x 1, 4x 2 dx= + −∫ . 
Giải 
 15 
Đặt ( ) ( )2 2h(x) x 1 4x 2 x 4x 3= + − − = − + . 
Bảng xét dấu 
x 0 1 3 4 
h(x) + 0 – 0 + 
( ) ( ) ( )
1 3 4
2 2
0 1 3
80
I x 1 dx 4x 2 dx x 1 dx
3
= + + − + + =∫ ∫ ∫ . 
Vậy 
80
I
3
= . 
Ví dụ 13. Tính tích phân { }
2
x
0
I min 3 , 4 x dx= −∫ . 
Giải 
Đặt ( )x xh(x) 3 4 x 3 x 4= − − = + − . 
Bảng xét dấu 
x 0 1 2 
h(x) – 0 + 
( )
1 2 21x 2
x
0 10 1
3 x 2 5
I 3 dx 4 x dx 4x
ln 3 2 ln 3 2
 = + − = + − = +  ∫ ∫ . 
Vậy 
2 5
I
ln 3 2
= + . 
IV. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN 
Phương pháp giải toán 
1. Dạng 1 
Để chứng minh 
b
a
f(x)dx 0≥∫ (hoặc 
b
a
f(x)dx 0≤∫ ) ta chứng minh f(x) 0≥ (hoặc f(x) 0≤ ) với 
[ ]x a; b∀ ∈ . 
Ví dụ 14. Chứng minh 
1
3 6
0
1 x dx 0− ≥∫ . 
Giải 
Với [ ]
1
3 36 6 6
0
x 0; 1 : x 1 1 x 0 1 x dx 0∀ ∈ ≤ ⇒ − ≥ ⇒ − ≥∫ . 
2. Dạng 2 
Để chứng minh 
b b
a a
f(x)dx g(x)dx≥∫ ∫ ta chứng minh f(x) g(x)≥ với [ ]x a; b∀ ∈ . 
Ví dụ 15. Chứng minh 
2 2
10 11
0 0
dx dx
1 sin x 1 sin x
pi pi
≤
+ +∫ ∫ . 
 16 
Giải 
Với 11 10x 0; : 0 sin x 1 0 sin x sin x
2
pi ∀ ∈ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤  
10 11
10 11
1 1
1 sin x 1 sin x 0
1 sin x 1 sin x
⇒ + ≥ + > ⇒ ≤
+ +
. 
Vậy 
2 2
10 11
0 0
dx dx
1 sin x 1 sin x
pi pi
≤
+ +∫ ∫ . 
3. Dạng 3 
Để chứng minh 
b
a
A f(x)dx B≤ ≤∫ ta thực hiện các bước sau 
Bước 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được m f(x) M≤ ≤ . 
Bước 2. Lấy tích phân 
b
a
A m(b a) f(x)dx M(b a) B= − ≤ ≤ − =∫ . 
Ví dụ 16. Chứng minh 
1
2
0
2 4 x dx 5≤ + ≤∫ . 
Giải 
Với [ ] 2 2x 0; 1 : 4 4 x 5 2 4 x 5∀ ∈ ≤ + ≤ ⇒ ≤ + ≤ . 
Vậy 
1
2
0
2 4 x dx 5≤ + ≤∫ . 
Ví dụ 17. Chứng minh 
3
4
2
4
dx
4 23 2 sin x
pi
pi
pi pi
≤ ≤
−∫ . 
Giải 
Với 2
3 2 1
x ; : sin x 1 sin x 1
4 4 2 2
pi pi ∀ ∈ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ 
 
2
2
1 1
1 3 2 sin x 2 1
2 3 2 sin x
⇒ ≤ − ≤ ⇒ ≤ ≤
−
( ) ( )
3
4
2
4
1 3 dx 3
1
2 4 4 4 43 2 sin x
pi
pi
pi pi pi pi
⇒ − ≤ ≤ −
−∫ . 
Vậy 
3
4
2
4
dx
4 23 2 sin x
pi
pi
pi pi
≤ ≤
−∫ . 
Ví dụ 18. Chứng minh 
3
4
3 cotgx 1
dx
12 x 3
pi
pi
≤ ≤∫ . 
Giải 
Xét hàm số 
cotgx
f(x) , x ; 
x 4 3
pi pi = ∈   
 ta có 
 17 
2
/
2
x
cotgx
sin xf (x) 0 x ; 
4 3x
−
− pi pi = < ∀ ∈   
( ) ( )f f(x) f x ; 3 4 4 3
pi pi pi pi ⇒ ≤ ≤ ∀ ∈   
3 cotgx 4
 x ; 
x 4 3
pi p