Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2010 - Phương pháp tọa độ trong không gian

heo đoạn chắn để viết phương trình mặt phẳng 
Hướng giải: Sử dụng PTMP theo đoạn chắn 1x y z
a b c
+ + = 
 Tìm a, b, c 
VD5: Viết phương trình mặt phẳng (P) biết nó đi qua điểm ( )1;2;3G và cắt các trục toạ độ Ox, ,Oy Oz 
lần lượt tại A, B, C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC. 
Đáp số: 6 3 2 18 0x y z+ + − = 
VD6: Viết phương trình mặt phẳng (P) cắt các trục toạ độ Ox, ,Oy Oz lần lượt tại A, B, C sao cho ABC 
là tam giác đều và có diện tích bằng 2 3 . 
Đáp số: 2 0; 2 0; 2 0; 2 0x y z x y z x y z x y z+ + − = + + + = − − − = − + − − = 
2 0; 2 0; 2 0; 2 0x y z x y z x y z x y z− − + − = + − − = − + − = − + + − = 
VD7: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ( ) ( )1;1;1 , 3;0;1M N , cắt các trục toạ độ Ox, ,Oy Oz lần 
lượt tại A, B, C và có khoảng cách từ O đến (P) bằng 4 14
7
Đáp số: 11 22 9 42 0x y z+ + − = 
Loại 3: Các bài toán khác về thiết lập phương trình mặt phẳng 
Hướng giải: - Hướng 1: Cố gắng đưa về bài toán cơ bản 
 - Hướng 2: Sử dụng trực tiếp PTTQ của mp: Ax + By + Cz + D = 0 
 tìm A, B, C 
VD8 (Khối A - 2008) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm ( )2;3;5A và đường thẳng 
1 2
:
2 1 2
x y zd − −= = . 
a) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của A trên d. 
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến P là lớn nhất 
Đáp số: 
a) Hình chiếu vuông góc của A trên d là ( )3;1;4M 
b) (P) qua A và nhận AM


 làm vtpt: ( ) : 4 3 0P x y z− + − = 
Chuyên đề ôn thi đại học 2010 
GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX – HNDN Lục Yên. Yên Bái Trang 3 
VD9 (Khối A - 2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ với 
( ) ( ) ( ) ( )0;0;0 , 1;0;0 , 0;1;0 , ' 0;0;1A B D A . Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng 
(Oxy) một góc α , biết 1os
6
c α = 
Đáp số: 2 1 0x y z− + − = hoặc 2 1 0x y z− − + = 
VD10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ( ) ( ) ( )1;2;0 , 0;4;0 , 0;0;3A B C . Viết phương trình mặt 
phẳng (P) chứa OA sao cho khoảng cách từ B và C đến (P) là bằng nhau 
Đáp số: 6 3 4 0x y z− + + = hoặc 6 3 4 0x y z− + = 
II. Bài toán lập phương trình đường thẳng 
1. Kiến thức cơ bản: 
• Phương trình tham số: 
0
0
0
x x at
t y bt
z z ct
= +

= +

= +
• Phương trình tham số: 0 0 0x x y y z z
a b c
− − −
= = 
 2. Phương pháp chung: 
• Tìm một điểm đi qua M và một VTCP u


• Tìm một điểm đi qua M và vuông góc với hai véc tơ ,a b

 

 khi đó ,u a b =  

 
 

 là một VTCP 
• Tìm hai điểm đi qua A và B 
3. Các ví dụ: 
VD11 (Khối B - 2007) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm ( ) ( )1;4;2 , 1;2;4A B − . Gọi 
G là trọng tâm của tam giác OAB. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (OAB) tại 
G. 
Đáp số: 2 2
2 1 1
x y z− −
= =
−
VD12 (Khối D - 2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm ( )1;2;3A và hai đường thẳng 
1 2
2 2 3 1 1 1
: : 
2 1 1 1 2 1
x y z x y zd d− + − − − += = = =
− −
. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, vuông 
góc với d1 và cắt d2. 
Đáp số: 1 2 3
1 3 5
x y z− − −
= =
− −
Chuyên đề ôn thi đại học 2010 
GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX – HNDN Lục Yên. Yên Bái Trang 4 
VD13 (Khối B - 2004) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm ( )4; 2;4A − − và đường thẳng 
( )
3 2
: 1
1 4
x t
d t t
z t
= − +

= −

= − +
. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, cắt và vuông góc với d. 
Đáp số: 4 2 4
3 2 1
x y z+ + −
= =
−
VD14 (Khối D - 2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng 2 2:
1 1 1
x y z+ −∆ = =
−
và mặt phẳng ( ) : 2 2 4 0P x y z+ − + = . Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mp(P), vuông góc và 
cắt ∆ 
Đáp số: 3 1 1
1 2 1
x y z+ − −
= =
−
VD15 (Khối A - 2007) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1
1 2
:
2 1 1
x y zd − += =
−
và 2
1 2
: 1
3
x t
d y t
z
= − +

= +

=
và mặt phẳng ( ) : 7 4 0P x y z+ − = . Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với 
mặt phẳng (P) cắt cả d1 và d2. 
Đáp số: 2 1:
7 1 4
x y zd − += = 
VD16 (Khối A - 2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng 1 3 3:
1 2 1
x y zd − + −= =
−
và mặt phẳng ( ) : 2 2 9 0P x y z+ − + = . Gọi A là giao điểm của d với (P). Viết phương trình đường thẳng 
∆ nằm trong (P), biết ∆ qua A vuông góc với d. 
Đáp số: 1
4
x t
y
z t
=

= −

= +
VD17 (CĐ GTVT - 2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm ( )1;2; 1H − và đường thẳng 
3 3
:
1 3 2
x y zd − −= = . Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua H, cắt d và song song với mặt phẳng (P): 
3 0x y z+ − + = . 
Đáp số: 1 2 1
1 2 1
x y z− − +
= =
−
VD18: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng 
1 2
1 2
1 2
: :
2 1 1
3
x t
x y zd d y t t
z
= − +
− + 
= = = +

=
. Lập phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2. 
Đáp số: 2 1
1 2 4
x y z− +
= =
− −
Chuyên đề ôn thi đại học 2010 
GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX – HNDN Lục Yên. Yên Bái Trang 5 
VD19: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm ( )2; 1;1A − và hai đường thẳng 
1 2
1
1 3 1
: : 3 2
1 1 2
0
x t
x y zd d y t
z
= − +
− + − 
= = = −
− 
=
. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A và vuông góc với 
cả hai đường thẳng d1 và d2. 
Đáp số: 2 1 1
4 2 1
x y z− + −
= =
−
VD20 (Khối D - 2009) Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng 
3
: 1
5
x t
y t
z t
=
∆ = −

= +
 và cắt 
cả hai đường thẳng 1
1 2 2
:
1 4 3
x y zd − + −= = và 2
4 7
:
5 9 1
x y zd + += = . 
Đáp số: 
35 3
47
142
47
58
47
x t
y t
z t

= +


= − −


= +

VD21 (Khối D - 2009) Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( ) : 2 0P y z+ = và cắt cả 
hai đường thẳng 1
1
:
4
x t
d y t
z t
= −

=

=
 và 2
2
: 4 2
1
x t
d y t
z
= −

+ +

=
. 
Đáp số: 1
4 2 1
x y z−
= =
−
VD22 (Khối B - 2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2 2 5 0P x y z− + − = và 
hai điểm ( )3;0;1A − và ( )1; 1;3B − . Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết 
phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đó là nhỏ nhất. 
Đáp số: 3 1
26 11 2
x y z+ −
= = 
Loại 3: Định điểm và các yếu tố khác trong hình học giải tích không gian 
VD23 (Khối A - 2009): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2 2 1 0P x y z− + − = và 
hai đường thẳng 1
1 9
:
1 1 6
x y zd + += = và 2
1 3 1
:
2 1 2
x y zd − − += =
−
. Tìm điêm M trên d1 sao cho khoảng 
cách từ M đến d2 bằng khoảng cách từ M đến mp(P). 
Đáp số: ( )1 2 18 53 30;1; 3 ; ; ;35 35 35M M
 
−  
 
Chuyên đề ôn thi đại học 2010 
GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX – HNDN Lục Yên. Yên Bái Trang 6 
VD24 (Khối B - 2008) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm 
( ) ( ) ( )0;1;2 , 2; 2;1 , 2;0;1A B C− − và mặt phẳng ( ) : 2 2 3 0P x y z+ + − = . 
a) Viết phương trình mp(ABC) 
b) Tìm điểm ( )M P∈ sao cho MA MB MC= = . 
Đáp số: ( )2;3; 7M − 
VD25 (Khối D - 2007): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm ( ) ( )1;4;2 , 1;2;4A B − và 
đường thẳng 1 2:
1 1 2
x y z− +∆ = =
−
. Tìm điểm M ∈ ∆ sao cho đại lượng 2 2MA MB+ nhận giá trị nhỏ 
nhất. 
Đáp số: ( )1;0;4M − 
VD26 (Khối B - 2006): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm ( )0;1;2A và hai đường thẳng 
1
1 1
:
2 1 1
x y zd − += =
−
 và 2
1
: 1 2
2
x t
d y t
z t
= +

= − −

= +
. Tìm toạ độ các điểm 1M d∈ và 2N d∈ sao cho A, M, N thẳng 
hàng. 
Đáp số: ( ) ( )0;1; 1 , 0;1;1M N− 
VD27 (Khối D - 2006): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm ( )1;2;3A và hai đường thẳng 
2 2 3
:
2 1 1
x y zd − + −= =
−
. Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua d. 
VD28 (CĐSP TP HCM – 2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mp ( ) : 4 0P x y z+ + − = và 
ba điểm ( ) ( ) ( )3;0;0 , 0; 6;0 , 0;0;6A B C− . Tìm tất cả các điểm M sao cho: MA MB MC+ +
 
 
 là nhỏ nhất. 
Đáp số: ( )0; 2;2M − 
VD29: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm ( ) ( )1;3;2 , 9;4;9A B− − và mặt phẳng 
( ) : 2 0P x y z− + = . Tìm điểm ( )K P∈ sao cho AK + BK nhỏ nhất. 
Đáp số: ( )1;2;3K − 
VD30: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A(2;4;–1), B(1;4;–1), C(2;4;3), D(2;2;–1). 
Tìm tọa độ điểm M để MA2 + MB2 + MC2 + MD2 đạt giá trị nhỏ nhất. 
Đáp số : ≡M 7 14; ;0
4 4
G   
 
 (G là trong tâm tứ diện ABCD). 
Chuyên đề ôn thi đại học 2010 
GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX – HNDN Lục Yên. Yên Bái Trang 7 
B – BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN TRONG HỆ TOẠ ĐỘ OXYZ 
VD31 (Khối A - 2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ 
với ( ) ( ) ( ) ( )0;0;0 , 1;0;0 , 0;1;0 , ' 0;0;1A B D A . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính 
khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN. 
Đáp số : 2
4
VD32 (Khối A - 2004) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là 
hình thoi, AC và BD cắt nhau tại gốc toạ độ O. Biết ( ) ( ) ( )2;0;0 , 0;1;0 , 0;0;2 2A B S . Gọi M là trung 
điểm của SC, N là giao điểm của SD và mặt phẳng (ABM). 
a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BM. 
b) Tính thể tích khối chóp S.ABMN 
Đáp số : 2 6
3
, 2V = 
VD33 (Khối A - 2003) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ 
có A trùng với gốc toạ độ, ngoài ra ( ) ( ) ( )( );0; , 0; ;0 , ' 0;0; 0, 0B a a D a A b a b> > . Gọi M là trung điểm 
của CC’ . 
a) Tìm tỉ số a
b
 để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau. 
b) Tìm thể tích khối đa diện A’BMD theo a và b 
Đáp số : 
2
1, 
4
a a bV
b
= = 
VD34 (Khối D – 2004) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng với 
( ) ( ) ( ) ( )1;0;0 , ;0;0 , 0;1;0 , ;0;A a B a C B a b− − với a > 0, b > 0. 
a) Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng B1C và AC1 theo a và b. 
b) Cho a, b thay đổi và thoả mãn a + b = 4 . Tìm a, b để khoảng cách ở ý a là lớn nhất. 
Đáp số : 
2 2
) ) 2aba b a b
a b
= =
+
VD35 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình hộp c