Chuyên đề Phương trình lượng giác 11

 Giải phương trình lượng giác: 
a) sinx = x	b) sinx = + x + 1
c) = – cosx
5) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất:
 – 2msin(cosx) + 2 = 0 (1)
Giải. (phương pháp điều kiện cần và đủ)
Điều kiện cần: giả sử (1) có nghiệm duy nhất x = cũng là nghiệm của (1). Vậy = = 0 
 m = .
Điều kiện đủ: 
Với m = thì phương trình (1) trở thành:
 + 2 = (**)
– 1 cosx 1, x R cosx sin(cosx) < sin1.
do đó = 2 + 2.
vậy phương trình (**) x = 0.
do đó m = là giá trị cần tìm.
6) Tìm m để phương trình có 8 nghiệm phân biệt: = 1.
Giải.
TXĐ: x R
phương trình = 2k, k 
Xét y = 
y = là nửa đường tròn tâm O bán kính |m| = R.
y = 2k, k là họ các đường thẳng song song với Ox.
Phương trình đã cho có 8 nghiệm phân biệt họ đường thẳng nói trên cắt nửa đường tròn tại 8 điểm phân biệt.
 6 < R < 8 6 < |m| < 8 
7) Tìm m để phương trình = 0 có đúng 7 nghiệm? 2003 nghiệm?
Giải.
pt = k, k Z
 + 2x + m = , k 
 m = – – 2x + , k 
Xét họ parabol: = – – 2x + , k 2
do đó parabol = – – 2x + 2 có đỉnh cao nhất.
 = – – 2x + 1
 = – – 2x + 
 = – – 2x + 
Dễ thấy phương trình có 7 nghiệm y = m cắt 3 parabol = – – 2x + , k = 1, 2, 3 và tiếp xúc với parabol = – – 2x + 
 m = = 
* Phương trình có 2003 nghiệm y = m cắt 1001 parabol = – – 2x + , k = 1, 2, 3, ..., 1001 và tiếp xúc với parabol = – – 2x + 
 m = = 1 + = 
* Phương trình có 2004 nghiệm < m < 
 < m < 
II. Một số phương trình lượng giác thường gặp:
1. Phương trình bậc nhất hay bậc hai, bậc cao đối với một hàm số lượng giác sinx, cosx, tgx, cotgx.
Ta coi các hàm số lượng giác đó là 1 ẩn X. Rồi đi giải phương trình đại số tìm X. Tiếp theo là giải phương trình lượng giác cơ bản.
Ví dụ 1. Giải và biện luận các phương trình sau:
a) acosx = 2	
b) – (a + 2)sinx + 2a = 0
c) a – 2 tgx + a = 0	
d) 2 – cotgx + 1 = 0
e) – – sinx = 
Bài tập áp dụng:
1) Tìm m để phương trình có nghiệm: + = m
2) Tìm m để phương trình có nghiệm: 
sinx(sinx + 2)(sinx + 4)(sinx + 6) = m
3) Tìm m để phương trình có nghiệm trên :
 2 + 2sin2x = m
Giải:
1) Đặt sinx = X. (có thể đặt t = X + )
Xét f(x) = + , X [– 1; 1]
f ’(x) = 4 + 4 = 4(2X + 1)( + X + 1) = 0 X = 
Bảng biến thiên:
X
– 1
1
f ’(X)
–
0
+
f(X)
1
17
Vậy phương trình có nghiệm m 17
3) TH1: cosx = – 1 VT VP
TH2: cosx – 1 m = 
Đặt t = , x t [– 1; 1]
 = – 4 + 2 + 4t + 1, t [– 1; 1]
f(t) = – 4 + 2 + 4t + 1, t [– 1; 1]
f ’(t) = 4 – 12 + 4t + 4 = 0 4(t – 1)( – 2t – 1) = 0
Bảng biến thiên:
t
– 1
1 – 
1
f ’(t)
–
0
+
f(t)
1
0
1
Vậy để phương trình có nghiệm thì 0 1 0 m 2.
4) Tìm m để phương trình có nghiệm: = 2mtg2x.
5) = .
2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
Phương trình dạng: asinx + bcosx = c, a, b, c R; + > 0.
Cách 1: Giả sử a 0: phương trình sinx + cosx = 
 sinx + cosx = với = R
 = 
 , k Z, 1
Cách 2: Vì + 0 nên chia 2 vế của phương trình cho ta được:
sinx + cosx = (*)
Nhận thấy + = 1
 nên [0; 2]:
 = ; = . Khi đó (*) là:
sinx + cosx = 
 = (**)
. nếu > 1 + < thì phương trình đã cho vô nghiệm.
. nếu 1 + thì phương trình đã cho tương đương với:
, k Z
Cách 3: Đặt t = , t R
phương trình (a + c) – 2bt + c – a = 0.
Ví dụ 1. Tìm x để: y = là các số nguyên?
Giải.
Hàm số đã cho xác định với x R.
Gọi là một giá trị thuộc TGT của hàm số. Khi đó phương trình: 
 = có nghiệm ẩn x
 – cosx + sinx = 2 – 1 có nghiệm ẩn x
 + 
 3 – 4 0 0 
Tập giá trị của y là [0; ]
Khi đó y nguyên 
 , k Z x = , k Z, k 4
Ví dụ 2. Tìm k để giá trị nhỏ nhất của hàm số sau nhỏ hơn – 1:
y = .
Ví dụ 3. Cho + > 0; c R. Chứng minh rằng một trong 2 phương trình
acosx + bsinx = c (1)
acotgx + btgx = c (2)
có nghiệm.
Giải. 
+ nếu + thì (1) có nghiệm
+ nếu + < thì (2) trở thành: at + b = c
với cotgx = t
 a + b – ct = 0
. nếu a = 0 thì ct = b có nghiệm vì c 0
. nếu a 0 ta có 
= 2 – 4ba = 2( – 2ab) >2( + – 2ab) =2 0
Vậy phương trình (2) có nghiệm.
3. Phương trình thuần nhất bậc hai, bậc cao đối với 
sinx và cosx:
_ Các phương trinh dạng:
a + bsinxcosx + c = 0
a + bsinx + ccosx + d = 0
a + bsinx + c + dcosx + e = 0
gọi là phương trình thuần nhất bậc hai, ba, bốn, ... đối với sinx và cosx
_ Cách giải:
. nếu cosx = 0 thay vào phương trình
. nếu cosx 0 chia cả 2 vế cho với k là bậc của phương trình ta được phương trình bậc hai, bậc ba, bậc bốn, ... đối với một hàm số lượng giác.
(có thể thay việc xét cosx bằng cách xét sinx).
Ví dụ. Giải các phương trình sau:
a) + cos3x = 0
b) + = 1
c) + 2sin2x + 3 = 0
d) 2 + 4cosx + sinx + 2 = 0
Nhận xét. Phương trình a + bsinxcosx + c = d luôn đưa được về dạng phương trình thuần nhất bậc hai:
a + bsinxcosx + c – d( + ) = 0
hoặc đưa về phương trình bậc nhất đối với cos2x, sin2x bằng công thức hạ bậc.
4. Phương trình đối xứng đối với sinx, cosx. Phương trình đối xứng đối với tgx và cotgx:
Phương trình đối xứng giữa sinx và cosx: 
Ví dụ: a(cosx + sinx) + bsinxcosx = 0.
_ cách giải: đại số hóa bởi phép đặt: sinx + cosx = X 
Khi đó: sinxcosx = 
 + = 
 + = 
ta đi đến giải phương trình ẩn X
Ví dụ 1. Giải các phương trình:
a) + = 2(sinx + cosx) – 1
b) sin2x – 12(sinx + cosx) + 12 = 0
Phương trình đối xứng giữa tgx và cotgx:
_ cách giải: đại số hóa bởi phép đặt: X = cotgx + tgx 
 X = ; điều kiện 2
Khi đó: + = – 2
 + = – 3X
 + = – 4 + 2
biến phương trình đã cho về phương trình ẩn X
Ví dụ 2. Giải phương trình: 
tgx + + + cotgx + + = 6
Giải.
điều kiện: x , k Z (*)
Đặt X = tgx + cotgx; 2, phương trình trở thành:
X + – 2 + – 3X – 6 = 0
 + – 2X – 8 = 0
 (X – 2)( + 3X + 4) = 0 X = 2
Khi đó cotgx + tgx = 2 sin2x = 1 x = + k thỏa mãn (*) 
Vậy phương trình có nghiệm là x = + k
Cách 2: do tgx, cotgx cùng dấu x nên:
phương trình tgx(1 + tgx + ) + cotgx(1 + cotgx + ) = 6
ta thấy tgxcotgx > 0 nên theo Cauchy:
VT 2 + 2tgxcotgx + 2 = 6
Vậy phương trình tgx = 1 x = + k, k Z
 6. Phương trình không mẫu mực:
Thông thường ta sử dụng các nhận xét sau để giải:
Nhận xét 1. Cho phương trình f(x) = 0. Nếu : = 0 và f(x) đơn điệu thì x = là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = 0.
Ví dụ 1. Giải phương trình: sinx + x = 0.
Nhận xét 2. Cho phương trình f(x) = g(x), x D. Nếu hằng số k: f(x) k g(x) x D thì phương trình f(x) = g(x), x D , x D
Ví dụ 2. Giải phương trình: + = sin3x.
Nhận xét 3. Cho phương trình: f(x) = 0, x D. Nếu , : f(x) = + , x D thì phương trình: f(x) = 0 , x D
Ví dụ 3. Giải phương trình: + + = 1.
Giải.
ĐK: x ; x (1)
cotg3x = cotg(2x + x) = tgxtg2x + tg2xcotg3x + tgxcotg3x = 1
pt + + = tgxtg2x + tg2xcotg3x + tgxcotg3x
 + + = 0
 vô nghiệm (không thỏa mãn (1))
Do đó phương trình đã cho vô nghiệm.
_ Tổng quát: giải phương trình: + + = 
Ví dụ 4. Giải phương trình: sinx = + x + 1.
Giải.
TXĐ: x R
TH1: – 1 x 0 < x 0 sinx 0
mà + x + 1 > 0, x [– 1; 0]
 phương trình vô nghiệm trên [– 1; 0]
TH2: ta có: + x + 1 = + 
Vì x + > hoặc x + 
 + x + 1 > 1 sinx, x [; – 1) (0; )
Vậy phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 5. Giải phương trình: sinx + sin2x + sin3x = .
Giải.
TXĐ: R
pt 2sin2xcosx + sin2x = 
 4sinx + sin2x = 
Ta có: sin2x 1, x R
 = 16.4 32.2. = 
 4sinx 
VT + 1 = < , x R
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 6. Giải phương trình: 
 = + , n = 2, 3, ...
Giải.
Ta có: 2 (Cauchy)
TH1: n = 2 thì VP = 1, x do đó
VT = 1 = tgx = x = + k
TH2: n > 2 thì = 1 x = , k Z. Nhưng khi đó VP không xác định 1 > 
Do đó n > 2 thì phương trình vô nghiệm.
Bài tập áp dụng:
1) Giải các phương trình sau:
a) 3 = 1 – 2cosx
b) + = 32( + )
c) 3( + + ) = 
d) + + = 2
2) Giải các phương trình 2 ẩn sau:
a) + + = 1
b) + + 2 = 3 + 
7. Phương trình lượng giác chứa căn, giá trị tuyệt đối, chứa hàm mũ, logarit:
_ Hướng giải: dùng các phép biến đổi về căn thức, giá trị tuyệt đối, mũ, logarit để đưa về phương trình lượng giác quen thuộc.
Ví dụ 1. Giải phương trình
 = 4sinx (1)
(Đ108II)
Giải.
pt = 4sinxcosx (2) (vì cosx = 0 không thỏa mãn (2))
Dễ thấy x = là nghiệm của (2) thì x = + là nghiệm của (2) nghiệm của (1) tuần hoàn với chu kỳ . Do đó ta sẽ tìm nghiệm của (1) trong [0; ].
Khi đó [0; ] , > 0:
(2) = 2sin2x
 2 = 2sin2x = sin2x
 mà x [0; ] nên 
Vậy (1) có nghiệm là: , m Z
Ví dụ 2. Giải phương trình: 
(1 + cotgx) + (1 + tgx) = 2 (Đ113)
Giải.
TXĐ: sinxcosx > 0. Khi đó:
pt + + sinxcosx(sinx + cosx) = 2
 (sinx + cosx)( + – sinxcosx + sinxcosx) = 2
 sinx + cosx = 2 (*)
Do sinxcosx > 0 nên từ (*) sinx, cosx > 0. Khi đó:
(*) = 0 = 
 x = + k, k Z
Ví dụ 3. Giải phương trình
 + = 2 (1) (Đ111II)
Giải.
(1) + = 2
TXĐ (1): 
TH1: Nếu sinx – cosx = 0 thì phương trình đúng tức là x = + k, k Z là nghiệm.
TH2: Nếu sinx – cosx > 0 thì phương trình (1) tương đương:
( + – 2) = 0
 + – 2 = 0
 – 2cosx + 2 = 4 (1 + cosx) + 1 – = 0
 x = + k2, k Z
Ví dụ 4. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
 + = m.
Giải.
Xét hàm y = + 
dễ thấy y là hàm tuần hoàn với chu kì 2 nên xét x [– ; ]
TXĐ: x 
Khi đó = 2 + 2(cosx + sinx) + 2
Đặt t = cosx + sinx = ; x + + 
 t 
hàm z = 2 + 2t + 2; t [; ]
z’ = 2 + > 0 z = + 1 t z() = 4( + 1)
 m 2.
Ví dụ 5. Giải phương trình: + = 3 (1)
Giải.
Dễ thấy là nghiệm của (1) thì + là nghiệm của (1) nên ta chỉ xét (1) trên [0; ]
Khi đó (1) + = 3.
Đặt f(x) = + , x [0; ].
f ’(x) = ln2(cosx. – sinx.) = 0
 cosx. = sinx. (*)
Dễ thấy x = 0, không là điểm tới hạn
(*) + sinx = + cosx, x (0; )
 – cosx = – sinx, x (0; )
Xét g(t) = – t, t (0; 1).
g ’(t) = – 1 + = < 0 g(t) đồng biến trên (0; 1)
Mà g(cosx) = g(sinx) cosx = sinx x = + k, k Z.
Lại có x (0; ) x = .
Bảng biến thiên:
x
0
f ’(x)
–
0
+
f(x)
3
f()
3
Từ bảng biến thiên phương trình đã cho có nghiệm là x = , k Z
Cách 2: + = 2 + + 
( – – 1) + ( – – 1) = 0
Bài tập áp dụng:
1) Giải các phương trình:
a) + = 2
b) + = 2
c) = 1
d) = 1 + 
2) Giải phương trình:
a) + = 10 + cos2y (DHQG 96)
b) + = 3 + 
c) + – ( + ) = 2cos2x
d) + = + + 2
e) – + = , a, c (1; ); b(0; 1)
g) + = 3
h) = + cosx; = + sinx
i) cosnx + cos(n – 1)x + ... + cosx = 0 cos nghiệm trong (0; )
k) sinnx + sin(n – 1)x + ... + sinx = 0 có nghiệm trong 
l) cosnx + cos(n – 1)x + ... +