Kiểm tra học kỳ II Môn: Toán 11 – Nâng cao

Kiểm tra học kỳ II
Môn : Toán 11 – Nâng cao
Thời gian : 90 phút
*****
Câu I : (2 điểm) Tính các giới hạn sau :
 1. (1đ) 	2. (1đ) 
 Câu II : (2 điểm) 
 1. (1đ) Cho hàm số :	(m là tham số)
Tìm m để hàm số f liên tục tại .
 2. (1đ) Cho phương trình : (m là tham số)
Chứng minh phương trình trên luôn có ít nhất một nghiệm dương với mọi giá trị của tham số m.
Câu III : (3 điểm)
 1. (1đ) Cho hàm số . Chứng minh rằng .
2. (1đ) Cho hàm số . Tính .
3. (1đ) Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng .
Câu IV : (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a và 
góc . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a.
 1. (1đ) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD). 
 2. (1đ) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) vuông góc với nhau.
 3. (1đ) Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng SC. Xác định 
 thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (P). Tính diện tích của thiết diện 
 này theo a.
-------------HẾT-------------
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Câu
Nội dung
Điểm
I
(2đ)
1
0,25
0,25
0,25
0,25
2
0,25
Vì và 
0,50
 nên 
0,25
II
(2đ)
1
0,50
Hàm số f liên tục tại x = 0
0,25
0,25
2
Hàm số là hàm đa thức nên liên tục trên , do đó nó liên tục trên đoạn .
0,25
; 
0,50
Suy ra nên phương trình f(x) = 0 có một nghiệm thuộc khoảng (0 ; 2) nên nó luôn có ít nhất một nghiệm dương với mọi giá trị của tham số m.
0,25
III
(3đ)
1
0,75
Vì nên do đó 
0,25
2
0,75
0,25
3
Gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho.
Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng 
với 
0,25
Tiếp tuyến song song với đường thẳng khi và chỉ khi :
0,25
với thì nên ta có phương trình tiếp tuyến là 
0,25
với thì nên ta có phương trình tiếp tuyến là 
0,25
IV
(3đ)
1
Vì nên AC là hình chiếu của SC lên mp(ABCD), do đó góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) bằng góc giữa đường thẳng SC và AC và bằng góc .
0,25
ABCD là hình thoi và góc nên suy ra , suy ra các tam giác ABC, ADC là những tam giác đều nên AC = a.
Mặt khác SA = a và nên . Suy ra SAC vuông cân tại A.
0,25
0,25
Vậy góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) bằng góc và bằng 45o
0,25
2
ABCD là hình thoi nên suy ra (1)
0,25
 (2)
0,25
Từ (1), (2) suy ra 
0,25
Mà nên suy ra 
0,25
3
Gọi H là hình chiếu của A lên SC, suy ra (3)
Gọi I là giao điểm của SO và AH. Qua I, vẽ MN // BD.
Vì nên , do đó (4)
Từ (3), (4) suy ra (AMHN) SC nên mặt phẳng (P) chính là mặt phẳng (AMHN). 
0,25
Suy ra thiết diện là tứ giác AMHN.
. Vậy tứ giác AMHN có hai đường chéo vuông góc.
0,25
AH là đường cao của tam giác vuông cân SAC nên 
MN // BD (vì I là trọng tâm của SAC), suy ra 
Mà BD = 2BO = 2 = nên MN = 
0,25
(đvdt)
0,25
HẾT