Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ – lôgarit - Phạm Sơn Hà

Phương pháp 1: Đưa về cùng một cơ số
 Với a > 0 và a 1,ta có:
Ví dụ: Giải pt sau
	a) 
	b) 
Phương pháp 2: Lôgarit hoá hai vế.
+ 
	+ 
Ví dụ: Giải pt sau:
	a) 
	b) 
Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ
3.1) Trong phương trình có chứa ax và a2x ( ax và a- x ) thì ta đặt:
● t = ax t2 = a2x ( t > 0 )
● t = ax ( t > 0 )
3.2) Nếu phương trình có dạng: 
● Nếu b2 = a.c thì chia 2 vế phương trình cho và đặt
	t = 
● Cũng có thể chia 2 vế phương trình cho và đặt 
● Khi đặt ẩn phụ thì nhớ điều kiện của ẩn phụ
Ví dụ: Giải pt sau
	a) 
	Đặt: , t > 0 . Ta có: ,t > 0
	Với t = 2 
	b) 
	Đặt: , t > 0 . Ta có:
	 ,t > 0
	Với t = 4 
	c) 
	Chia 2 vế của pt cho 4x ta được: 
	Đặt > 0. Ta có:
	2t2 – 9t + 7 = 0 
Phương pháp 4: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ
Ví dụ: Giải pt sau
	 (1)
	Ta thấy x = 2 là nghiệm của pt (1), ta sẽ chứng minh nghiệm đó là duy nhất. Chia 2 vế pt (1) cho 5x ta được:
	 (2)
	Với x > 2, ta có:
	+ 
	Điều này chứng tỏ (2) vô nghiệm khi x > 2 hay pt (1) vô nghiệm khi x > 2
	Với x < 2, ta có:
	+ 
	Điều này chứng tỏ (2) vô nghiệm khi x < 2 hay pt (1) vô nghiệm khi x < 2
 BÀI TẬP
Đưa về cùng cơ số:
Giải các pt sau:
1/ ( Đs x = -1, x = -3 )	2/ 	( Đs x = -2, x = 3 )
3/ 	4/ 	 
5/ 	6/ 	7/ 
Đặt ẩn phụ: 
1) 	( ĐS x = 0 )	2) 	( ĐS x = 0 ; x = 2 )	
3) ( ĐS x =1/4 )	4) ( ĐS x = -1; 2 ) 
5) ( Đs )	6) ( Đs x = 1 ; x = 2)
7) 	( Đs x = -2)	8) 10) 	( Đs x = 1 )
10/ 	11/ = 0 	
12/ 4	13/ 	
14/ 	15/ 	
16/ 	17/ 
18/	19/ 
20/ 	 	21) 
II) BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ:
1) Phương pháp 1: Đưa về cùng cơ số
	 Bpt: (1)
	- Neáu 0 < a < 1 : bpt (1) 
	- Neáu a > 1 : bpt (1) 
Ví dụ: Giải pt sau
	a) 
	b) 
	< 2 < 0
	 3
2) Phương pháp 2: Đặt ẩn số phụ
Ví dụ: Giải pt sau
	a) 
	Đặt: t = 2x, t > 0. Ta có : 
	b) 
	Chia 2 vế pt cho 9x ta được:
	Đặt: t= , t > 0. Ta có
3) Phương pháp 3: Phương pháp lôgarit hóa
Ví dụ: Giải pt sau
	1) 
B- BÀI TẬP
Đưa về cùng cơ số:
1) 	( ĐS )	2) 	( ĐS x > 0 )
3) ( ĐS x - 2/5 )	4) 	( ĐS 1 < x < 4 )
5) 	( ĐS x > 1/100 ) 	6) ( ĐS 2/3 < x < 1 ; 2 < x < 6 ) 
7) 	( Đs )	8) 	( Đs -3 < x < 1)
9/ 	10/ 
11) ( Đs x < 10) 12) 
Đặt ẩn phụ:
1) 	 ( Đs x 1/2)	2) ( Đs)
3/ 	3/ 14/ 	
4/ 	5/ 	6/ 	
PHẦN 2. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT:
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
	+ ; 
	+ ; 	
	+ ; , 
	+ 	; ( a, b1, b2 > 0; a¹1)
	+ 	; ( a, b1, b2 > 0; a¹1 )
	+ 	; ( a,b > 0; a¹1 ) 
	+ 	; ( a,b > 0; a¹1, ) 
	+ 	( a,b, c > 0; a, c ¹1 ) 
+ ( a,b > 0; a¹1 )
	+ ( a,b > 0; a¹1)
	+ 	( a,b, c > 0; a¹1 ) 
II. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT:
	1) Phương trình cơ bản:
	* Dạng : 	 + hoaëc 
	* Mũ hóa:	 + 
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
	1) 
Giải
	2) 
	Giải 
2) Đưa về cùng cơ số:
Đưa phương trình đã cho về dạng: (*)
(*) Û 
Ví dụ: Giải phương trình (1)
Giải
(1) 
3) Phương pháp đặt ẩn phụ : 
Chọn ẩn phụ thích hợp để đưa phương trình đã cho về dạng phương trình đại số.
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
	1) (1)
Giải
Đặt t = 
(1) Û t2 + 4t – 5 = 0 Û t = 1 hoặc t = -5
* t = 1 
* t = - 5
4) Phương pháp sử dụng tính đơn điệu : 
Dạng 1:
Cách giải: 
- Đưa phương trình đã cho về dạng f(x) = m ( với m là hằng số)
	- Nhẩm một nghiệm (Giả sử x = x0 là nghiệm của phương trình)
- Chứng minh nghiệm đó là duy nhất : Dựa vào tính đơn điệu của hàm số chứng minh x > x0 (hoặc x <x0) thì phương trình vô nghiệm.	
	Ví dụ: (1)
Giải
	Ta thấy: x = 2 là nghiệm của (1).
	- Nếu x > 2 thì: vậy (1) vô nghiệm.
	- Nếu x < 2 thì: vậy (1) vô nghiệm.
Vậy x = 2 là nghiệm của PT
	Dạng 2: 
	Cách giải:
- Đưa phương trình đã cho về dạng f(x) = g(x)
- Sử dụng tính đơn điệu chứng minh hàm số y = f(x) đồng biếm và y = g(x) nghịch biến hoặc là hàm số hằng.
- Nhẫm một nghiệm, giả sử x = x0 là nghiệm của phương trình thì nghiệm đó là duy nhất.
	Ví dụ: (1)
Giải
Điều kiện: 
(1)
- Hàm số y = là hàm đồng biến (vì a = 2> 0)
- Hàm số y = 3 – x nghịch biến trên R.
Ta thấy x = 3 là nghiệm của PT (1) 
Vậy PT có nghiệm duy nhất x = 3
BÀI TẬP 
Đưa về cùng cơ số:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) 	b) 
	c) 	d) 
	e) 	f) lg(3x – 2) + lg(5x + 2) = lg(10x – 3)
g) 	h) lg( x+5) + lg(x -16) = 2
Bài 2: Giải các phương trình sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) lg4(x – 2)2 + lg2(x – 1) = 25
	e) 	f) 
	g) 	h) 
i/ 	j/ lg(3x +25) -lg( x-15)= 1
Bài 3: Giải các phương trình sau:
	a) 	b) =2	
	c) 	d) 
	e) 	f) 
Bài 4: Giải các phương trình sau:
	a) 	b) 	
	c) 	d) 
	e) 	f) 
	g) 
	h) 
Đặt ẩn phụ: 
Bài 1: Giải các phương trình sau:
	a) 	b) 	
	c) 	d) 	
e) 	f) 	 
Bài 2: Giải các phương trình sau:
	a) lg2 x - lg x3 = -2 	b/ 	
c/ 	d/ 
e/	 	f) 
g/ 
	h/ 	 	i/ 	j/ 
Bài 3: Giải các phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 	d) 
	f) 	
III. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT :
	1) Bất phương trình cơ bản:
	* Dạng 1: (1)
	- Nếu a > 1: (1) 
	- Nếu 0 < a < 1: (1) 
* Dạng 2: (1)
	- Nếu a > 1 : (1) 
	- Nếu 0 < a < 1 : ( 1) 
	* Dạng 3: (1)
	* Dạng 4: + (1)
	- Nếu a > 1 : (1) 
	- Nếu 0 < a < 1 : (1) 
2) Phương pháp đặt ẩn phụ : 
Chọn ẩn phụ thích hợp để đưa phương trình đã cho về dạng bất phương trình đại số.
3) Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số
Cách giải:
	- Biến đổi bất phương trình đã cho về dạng f(x) > m (m: là hằng số).
- Xét hàm số y = f(x), dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (Đồng biến hoặc nghịch biến).
	+ Với x £ x0 Þ BPT vô nghiệm.
	+ Với x > x0 Þ BPT nghiệm đúng.
Vậy x > x0 là nghiệm của BPT.
BÀI TẬP
Đưa về cùng cơ số:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
e) lg(x2 – 16) £ lg(4x – 11)	f) 
g) 	h) 
Bài 2: Giải các bất phương trình sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
	e) 	f) 
	g) ln(x+3) + ln(2x – 5) > ln(x – 15)	h) ln(x2 – 4) > ln(3x + 6)
Đặt ẩn phụ:
Bài 1: Giải các bất phương trình sau:
a) 	b) 
	c) 	d) 
	e) 	f) 
Bài 2: Giải các bất phương trình sau:
	a) 	b) 
	c) ln2x – lnx – 2 > 0	d) 
	e) 	f) 
	g) 
PHẦN 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGAGÍT:
Để giải phương trình mũ và lôgarít thường áp dụng hai phương pháp chính: phương pháp thế và phương pháp đặt ẩn phụ. Ngoài ra có thể sử dụng phương pháp tương đương, tức là dùng phép biến đổi về hàm số mũ và hàm số lôgarít đối với các phương trình của hệ (như mũ hoá, lôgarít hoá).
Lưu ý khi giải các hệ phương trình mũ và lôgarít phải đặt điều kiện cho các hàm số lôgarít hoặc đối với cơ số của hàm số mũ.
1) Phương pháp thế:
Là giải một phương trình để tìm ra một ẩn ( phụ thuộc vào ẩn cìn lại) và thế nó vào phương trình còn lại để được phương trình một ẩn.
VD1: Giải hệ phương trình: 
Giải:
	Điều kiện: x > 0. 
	Từ (2) Þ . Thay y vào phương trình (1) ta được: 
 Û (x>0)
Û Û 
Từ đó: a) x = 1 Þ y = 1 Vậy (1;1) là nghiệm của hệ phương trình trên.
	b) 1,5x – 0,5x= 0 Þ 1,5x1,5 – 0,5= 0 
 Û x= Û x3 = Û x = Khi đó y = = . 
Bằng cách khử trực tiếp thì x = ; y = cũng là nghiệm của hệ phương trình.
VD 2: Giải hệ phương trình 
	Giải:
(loại)
	+ Từ (2) Þ Þ y = 2x > 0 thay vào (1) ta được:
	y3= 5y2 – 4y Û y ( y2 – 5y + 4) = 0 Û 
+ Với y = 1 Þ x = 0
+ Với y = 1 Þ x = 2
Vậy nghiệm của hệ phương trình (0; 1) ; (2; 4).
VD 3: Giải hệ phương trình 
	Giải:
	Điều kiện: x > 0; y > 0.
	Từ (2) Ûlog4 = 1 Û log4= log44
	 Û = 4 Ûx = 4y
	Thay x = 4y vào (1) ta được: logy4y - log2y2 = 1
	Û logy4 + logyy - 2log2y = 1 Û logy4 + 1 - 2log2y = 1 
Û logy4 = 2log2y 	 Û 
Û 2 = 2(log2y)2 Û Û 
	+ Với y = 2 Þ x = 8
	+ Với y = Þ x = 2
	Vậy nghiệm của hệ phương trình là (8; 2); (2; ).
2) Phương pháp đặt ẩn phụ:
Khi giải hệ phương trình mũ và lôgarít, đôi khi đặt ẩn phụ hợp lý dẫn đến hệ đại số, sau khi giải xong hệ đại số này ta quay lại giá trị của ẩn cần tìm.
VD4: Giải hệ phương trình: 
Điều kiện: x > 0; y > 0; y ¹ 1.
Đặt u = logx, v = log8y (v¹0).
Chú ý: log8x.y = log8x + log8y 
log8 = log8x - log8y 
	Ta được hệ phương trình đại số: (*)
	Û 4(u2 – v2) = 3 u2 Û u2 = 4v2 Û 
	Thay u = 2v vào (*) ta được 4v = 2 Þ v = Þ u = 1
	+ u = 1 Þ log8 x = 1 Þ x = 8.
+ u = 1 Þ log8 y= Þ y = 2 
	Thay u = -2v vào (*) ta được: 12v = 2 Þ v = Þ u = 
	+ u = Þ log8 x = Þ x = = 
	+ u = Þ log8 y = Þ y = = 
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (8; 2) ; (;).
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: 
Giải
Đặt u= x4+ y, v= x4-y, ta được:
	Vậy nghiệm của hệ phương trình: và 
3) Phương pháp tương đương: 
Dùng phép biến đổi vầ hàm số mũ và lôgarit đối với các phương trình của hệ.
1/ Mũ hoá: đưa hai vế của phương trình về hàm số mũ có cùng cơ số, sau đó cho số mũ bằng nhau, rồi giải hệ phương trình đại số.
	Ví dụ 6: Giải hệ phương trình: 
Giải
	Vậy nghiệm của hệ phương trình là (2;1), (1;2)
2/ Lôgarit hoá: đưa phương trình về hàm số lôgarit có cùng cơ số, rồi biến đổi đưa về hệ phương trình đại số để giải.
Ví dụ 7: Giải hệ phương trình: 
Giải
	ĐK: x> 0, y> 0
	Từ (1) 
	Thay x= 2y vào phương trình (2) ta được: 
	4y2 + 2y-12= 0 
	Với y= 
	Vậy nghiệm của hệ phương trình là (3; )
	Ví dụ 8: Giải hệ phương trình: 
Giải
	ĐK: x> 0, y>0 
	 (x= -106 loại)
	Vậy nghiệm của hệ phương trình là (106; )
BÀI TẬP
Giải các hệ phương trình sau:
1/ ĐS: (0;-3)	2) 	ĐS: (-1;-3/2)
3/ ĐS: (-2;0)	4/ 	ĐS: (-2;3)
5/ ĐS: (-3;2), (3;2)	6/ 	
7/ 	8/ 	
9/ 	10/ 	
11/ 	12/ 
BÀI TẬP NÂNG CAO
Dạng 1. Đưa về cùng cơ số. 
 1. Giải các phương trình: 
a. log2 (log3 (log2 x)) = 1.	b. log4 (log2 x) + log2 (log4 x) = 2.
c. 	
d. log2(x2 + 3x + 2) + log2(x2 + 7x + 12) = 3 + log23
 2. Giải các phương trình: 
	a. 
b. 
 3. Giải các bất phương trình:
	a. 	b. 
	c. 
 Dạng 2. Đặt ẩn phụ.
 1. Giải các phương trình: 
	a. x + log2(9 –2x) = 3x	b. .
	c. (x –1)log53 + log5(3x+1 + 3) = log5(11.3x –9)	d. .
	e. lg4(x –1)2 + lg2(x –1)3 = 25	f. 
 2. Giải các phương trình:
a. 25x + 15x = 2.9x.	b. 72x + 102x = 149.70x - 1.
 3. Giải các phương trình: 
a. 	b. 
c. 	
 4. Giải các bất phương trình: 
	a. 	b. 
c. 	d. 
 6. Giải bất phương trình : 
Dạng 3. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu. 
 1. Giải các phương trình:
a. 	b. 	c. 3x +5x = 6x +2
d. 	e. 
f. 
Dạng 4. Phương pháp đánh giá.
 1. Giải cá