Chuyên đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng - Trần Sĩ Tùng

= Û a
a
2
1
é =
ê =ë
 Þ I(2; –2) hoặc I(1; –5). 
 + Với I(2; –2) Þ C(1; –1) + Với I(1; –5) Þ C(–2; –10). 
Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A B(1;0), (0;2) , diện tích tam 
giác bằng 2 và trung điểm I của AC nằm trên đường thẳng d: y x= . Tìm toạ độ điểm C. 
 · Phương trình AB x y: 2 2 0+ - = . Giả sử I t t d( ; )Î Þ C t t(2 1;2 )- . 
 Theo giả thiết: ABCS AB d C AB
1 . ( , ) 2
2D
= = Û t6 4 4- = Û t t 40;
3
= = . 
 + Với t 0= Þ C( 1;0)- + Với t 4
3
= Þ C 5 8;
3 3
æ ö
ç ÷
è ø
. 
Câu 9. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; 5); B(4; –3), đường phân 
giác trong vẽ từ C là d x y: 2 8 0+ - = . Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác 
ABC. 
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng 
Trang 29 
 · Gọi E là điểm đối xứng của A qua d Þ E Î BC. Tìm được E(1;1) 
 Þ PT đường thẳng BC: x y4 3 1 0+ + = . C d BC= Ç Þ C( 2;5)- . 
 Phương trình đường tròn (ABC) có dạng: x y ax by c a b c2 2 2 22 2 0; 0+ - - + = + - > 
 Ta có A, B, C Î (ABC) Þ 
a b c
a b c a b c
a b c
4 10 29
1 5 996 10 34 ; ;
2 8 4
8 6 25
ì - + = -
ì -ï- - + = - Û = = =íí
îï - + + = -î
 Vậy phương trình đường tròn là: x y x y2 2 5 99 0
4 4
+ - - - = . 
Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh AB là 
M( 1;2)- , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là I(2; 1)- . Đường cao của tam giác kẻ từ A có 
phương trình x y2 1 0+ + = . Tìm toạ độ đỉnh C. 
 · PT đường thẳng AB qua M và nhận MI (3; 3)= -
uuur
làm VTPT: AB x y( ) : 3 0- + = . 
 Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: x y
x y
3 0
2 1 0
ì - + =
í + + =î
 Þ A 4 5;
3 3
æ ö
-ç ÷
è ø
. 
 M( 1;2)- là trung điểm của AB nên B 2 7;
3 3
æ ö
-ç ÷
è ø
. 
 Đường thẳng BC qua B và nhận n (2;1)=r làm VTCP nên có PT: 
x t
y t
2 2
3
7
3
ì
= - +ï
í
ï = +
î
 Giả sử C t t BC2 72 ; ( )
3 3
æ ö
- + + Îç ÷
è ø
. 
 Ta có: IB IC t t
2 2 2 2
8 10 8 102
3 3 3 3
æ ö æ ö æ ö æ ö
= Û - + + = +ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø è ø
Û 
t loaïi vì C B
t
0 ( )
4
5
é = º
ê
=ê
ë
 Vậy: C 14 47;
15 15
æ ö
ç ÷
è ø
. 
Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với AB 5= , đỉnh C( 1; 1)- - , 
đường thẳng AB có phương trình x y2 3 0+ - = , trọng tâm của DABC thuộc đường thẳng 
d x y: 2 0+ - = . Xác định toạ độ các đỉnh A, B của tam giác ABC. 
 · Gọi I a b( ; ) là trung điểm của AB, G là trọng tâm DABC Þ CG CI2
3
=
uuur uur
 Þ 
G
G
ax
by
2 1
3
2 1
3
ì -
=ï
í -ï =
î
 Do G dÎ nên a b2 1 2 1 2 0
3 3
- -
+ - = Þ Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ: 
a b
a b
2 3 0
2 1 2 1 2 0
3 3
ì + - =ï
- -í + - =ïî
 Þ a
b
5
1
ì =
í = -î
 Þ I(5; 1)- . 
 Ta có 
A B AB
IA IB
, ( )
5
2
ì Î
ï
í
= =ïî
 Þ Toạ độ các điểm A, B là các nghiệm của hệ: 
x y
x y2 2
2 3 0
5( 5) ( 1)
4
ì + - =ï
í - + + =ïî
PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng 
Trang 30 
 Û 
x y
x y
14;
2
36;
2
é
= = -ê
ê
ê = = -
ë
 Þ A B1 34; , 6;
2 2
æ ö æ ö
- -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
 hoặc A B3 16; , 4;
2 2
æ ö æ ö
- -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
. 
Câu 12. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm G(2;1) và hai đường thẳng 
d x y1 : 2 7 0+ - = , d x y2 : 5 8 0+ - = . Tìm toạ độ điểm B d C d1 2,Î Î sao cho tam giác ABC 
nhận điểm G làm trọng tâm, biết A là giao điểm của d d1 2, . 
 · Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: x y
x y
2 7 0
5 8 0
ì + - =
í + - =î
 Û x
y
1
3
ì =
í =î
 Þ A(1;3) . 
 Giả sử B b b d C c c d1 2(7 2 ; ) ; ( ;8 5 )- Î - Î . 
 Vì G là trọng tâm của DABC nên:
A B C
G
A B C
G
x x x
x
y y y
y
3
3
ì + +
=ïï
í + +ï =
ïî
 Þ b c
b c
2 2
5 8
ì - =
í - = -î
 Þ b
c
2
2
ì =
í =î
. 
 Vậy: B C(3;2), (2; 2)- . 
Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;1) . Đường cao BH có 
phương trình x y3 7 0- - = . Đường trung tuyến CM có phương trình x y 1 0+ + = . Xác định 
toạ độ các đỉnh B, C. Tính diện tích tam giác ABC. 
 · AC qua A và vuông góc với đường cao BH Þ AC x y( ) : 3 7 0- - = . 
 Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ: x y
x y
3 7 0
1 0
ì - - =
í + + =î
 Þ C(4; 5)- . 
 Trung điểm M của AB có: B BM M
x y
x y
2 1
;
2 2
+ +
= = . M CM( )Î Þ B B
x y2 1
1 0
2 2
+ +
+ + = . 
 Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ: B B
x y
x y
3 7 0
2 1
1 0
2 2
ì - - =ï
+ +í + + =ïî
 Þ B( 2; 3)- - . 
 Toạ độ điểm H là nghiệm của hệ: x y
x y
3 7 0
3 7 0
ì - - =
í + - =î
 Þ H 14 7;
5 5
æ ö
-ç ÷
è ø
. 
 BH AC8 10 ; 2 10
5
= = Þ ABCS AC BH
1 1 8 10. .2 10. 16
2 2 5D
= = = (đvdt). 
Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4; 2)- , phương trình đường 
cao kẻ từ C và đường trung trực của BC lần lượt là: x y 2 0- + = , x y3 4 2 0+ - = . Tìm toạ độ 
các đỉnh B và C. 
 · Đường thẳng AB qua A và vuông góc với đường cao CH Þ AB x y( ) : 2 0- + = . 
 Gọi B b b AB( ;2 ) ( )- Î , C c c CH( ; 2) ( )+ Î Þ Trung điểm M của BC: b c b cM 4;
2 2
æ ö+ - +
ç ÷
è ø
. 
 Vì M thuộc trung trực của BC nên: b c b c3( ) 4(4 ) 4 0+ + - + - = Û b c7 12 0- + + = (1) 
 BC c b c b( ; )= - +
uuur
là 1 VTPT của trung trực BC nên c b c b4( ) 3( )- = + Û c b7= (2) 
 Từ (1) và (2) Þ c b7 1,
4 4
= - = - . Vậy B C1 9 7 1; , ;
4 4 4 4
æ ö æ ö
- -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
. 
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng 
Trang 31 
 Câu 15. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại A( 1;4)- và các đỉnh B, C thuộc đường 
thẳng x y: 4 0D - - = . Xác định toạ độ các điểm B, C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18. 
 · Gọi H là trung điểm của BC Þ H là hình chiếu của A trên D Þ H 7 1;
2 2
æ ö
-ç ÷
è ø
 Þ AH 9
2
= 
 Theo giả thiết: ABCS BC AH BC
118 . 18 4 2
2D
= Þ = Þ = Þ HB HC 2 2= = . 
 Toạ độ các điểm B, C là các nghiệm của hệ: 
x y
x y
2 2
4 0
7 1 8
2 2
ì - - =
ï
íæ ö æ ö
- + + =ç ÷ ç ÷ïè ø è øî
 Û 
x y
x y
11 3;
2 2
3 5;
2 2
é
= =ê
ê
ê = = -
ë
 Vậy B C11 3 3 5; , ;
2 2 2 2
æ ö æ ö
-ç ÷ ç ÷
è ø è ø
 hoặc B C3 5 11 3; , ;
2 2 2 2
æ ö æ ö
-ç ÷ ç ÷
è ø è ø
. 
Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x y 5 0+ + = , d2: 
x y2 – 7 0+ = và tam giác ABC có A(2; 3), trọng tâm là điểm G(2; 0), điểm B thuộc d1 và 
điểm C thuộc d2 . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
 · Do B Î d1 nên B(m; – m – 5), C Î d2 nên C(7 – 2n; n) 
 Do G là trọng tâm DABC nên m n
m n
2 7 2 3.2
3 5 3.0
ì + + - =
í - - + =î
 m
n
1
1
ì = -Û í =î
 Þ B(–1; –4), C(5; 1) 
 Þ PT đường tròn ngoại tiếp DABC: x y x y2 2 83 17 338 0
27 9 27
+ - + - = 
Câu 17. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4;6) , phương trình các 
đường thẳng chứa đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh C lần lượt là d x y1 : 2 13 0- + = và 
d x y2 : 6 13 29 0- + = . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 
 · Đường cao CH : x y2 13 0- + = , trung tuyến CM : x y6 13 29 0- + = C( 7; 1)Þ - - 
 PT đường thẳng AB: x y2 16 0+ - = . M CM AB= Ç Þ M(6;5) Þ B(8;4) . 
 Giả sử phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp ABC x y mx ny p2 2: 0.D + + + + = 
 Vì A, B, C Î (C) nên 
m n p
m n p
m n p
52 4 6 0
80 8 4 0
50 7 0
ì + + + =
ï + + + =í
ï - - + =î
m
n
p
4
6
72
ì = -
ïÛ =í
ï = -î
. 
 Suy ra PT đường tròn: x y x y2 2 4 6 72 0+ - + - = . 
Câu 18. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0). Hai 
đỉnh B và C lần lượt nằm trên hai đường thẳng d x y1 : 5 0 + + = và d x y2 : 2 – 7 0+ = . Viết 
phương trình đường tròn có tâm C và tiếp xúc với đường thẳng BG. 
 · Giả sử B b b d C c c d1 2( 5 ; ) ; (7 2 ; )- - Î - Î . 
 Vì G là trọng tâm DABC nên ta có hệ: B C
B C
x x
y y
2 6
3 0
ì + + =
í + + =î
 Þ B(–1;–4) , C(5; 1). 
 Phương trình BG: x y4 –3 –8 0= . Bán kính R d C BG 9( , )
5
= = 
 Þ Phương trình đường tròn: x y2 2 81( – 5) ( –1)
25
+ = 
PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng 
Trang 32 
 Câu 19. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A( 3;6)- , trực tâm H(2;1) , 
trọng tâm G 4 7;
3 3
æ ö
ç ÷
è ø
. Xác định toạ độ các đỉnh B và C. 
 · Gọi I là trung điểm của BC. Ta có AG AI I2 7 1;
3 2 2
æ ö
= Þ ç ÷
è ø
uuur uur
 Đường thẳng BC qua I vuông góc với AH có phương trình: x y 3 0- - = 
 Vì I là trung điểm của BC nên giả sử B BB x y( ; ) thì B BC x y(7 ;1 )- - và B Bx y 3 0- - = . 
 H là trực tâm của tam giác ABC nên CH AB^ ; B B B BCH x y AB x y( 5 ; ), ( 3; 6)= - + = + -
uuur uuur
 B B B B
B B B B B
x y x x
CH AB
x x y y y
3 1 6. 0
( 5)( 3) ( 6) 0 2 3
ì ì ì- = = =
= Û Û Úí í í- + + - = = - =î î î
uuur uuur
 Vậy ( ) ( )B C1; 2 , 6;3- hoặc ( ) ( )B C6;3 , 1; 2- 
Câu 20. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(1; –2), đường cao 
CH x y: 1 0- + = , phân giác trong BN x y: 2 5 0+ + = . Tìm toạ độ các đỉnh B, C và tính diện 
tích tam giác ABC. 
 · Do AB CH^ nên phương trình AB: x y 1 0+ + = . 
 + B = AB BNÇ Þ Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ:
x y
x y
2 5 0
1 0
ì + + =
í
+ + =î
 Û x
y
4
3
ì = -
í =î
Þ B( 4;3)- . 
 + Lấy A’ đối xứng với A qua BN thì A BC'Î . 
 Phương trình đường thẳng (d) qua A và vuông góc với BN là (d): x y2 5 0- - = . 
 Gọi I d BN( )= Ç . Giải hệ: 
x y
x y
2 5 0
2 5 0
ì + + =
í
- - =î
. Suy ra: I(–1; 3) A '( 3; 4)Þ - - 
 + Phương trình BC: x y7 25 0+ + = . Giải hệ: BC x y
CH x y
: 7 25 0
: 1 0
ì + + =
í
- + =î
Þ C 13 9;
4 4
æ ö
- -ç ÷
è ø
. 
 + BC
2 2
13 9 4504 3
4 4 4
æ ö æ ö
= - + + + =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
, d A BC
2 2
7.1 1( 2) 25
( ; ) 3 2
7 1
+ - +
= =
+
. 
 Suy ra: ABCS d A BC BC
1 1 450 45( ; ). .3 2. .
2 2 4 4
= = = 
Câu 21. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ABCD , với đỉnh A(1; –3) phương trình đường phân 
giác trong BD: x y 2 0+ - = và phương trình đường trung tuyến CE: x y8 7 0+ - = . Tìm toạ độ 
các đỉnh B, C. 
 · Gọi E là trung điểm của AB. Giả sử B b b BD( ;2 )- Î b bE CE1 1;
2 2
æ ö+ +
Þ - Îç ÷
è ø
 Þ b 3= - 
 Þ B( 3;5)- . Gọi A¢ là điểm đối xứng của A qua BD Þ A¢ Î BC. Tìm được A¢(5; 1) 
 Þ Phương trình BC: x y2 7 0+ - = ; x yC CE BC C
x y
8 7 0: (7;0)
2 7 0
ì + - == Ç Þí + - =î
. 
Câu