Chuyên đề Ôn thi Đại học về Phương trình, bất phương trình có chứa mũ và logarit - Phạm Xuân Trung

Chuyªn ®Ị: ? PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG 
CÓ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT.
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ 
1. Các định nghĩa:
 ( )
2. Các tính chất :
3. Hàm số mũ: Dạng : ( a > 0 , a1 )
Tập xác định : 
Tập giá trị : ( )
 0<a<1
 y=ax
Tính đơn điệu:
 	* a > 1 : đồng biến trên 
 a>1
 y=ax
	* 0 < a < 1 : nghịch biến trên 
Đồ thị hàm số mũ :
Minh họa:
II. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT
1. Định nghĩa: Với a > 0 , a 1 và N > 0
 Điều kiện có nghĩa: có nghĩa khi 
2. Các tính chất :
 Đặc biệt : 
3. Công thức đổi cơ số :
 * Hệ quả:
 và 
 4. Hàm số logarít: Dạng ( a > 0 , a 1 )
Tập xác định : 
Tập giá trị 
Tính đơn điệu:
0<a<1
 y=logax
* a > 1 : đồng biến trên 
* 0 < a < 1 : nghịch biến trên 
 a>1
 y=logax
Đồ thị của hàm số lôgarít:
5. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:
 1. Định lý 1: Với 0 < a 1 thì : aM = aN M = N
 2. Định lý 2: Với 0 N (nghịch biến)
 3. Định lý 3: Với a > 1 thì : aM < aN M < N (đồng biến )
 4. Định lý 4: Với 0 0;N > 0 thì : loga M = loga N M = N
 5. Định lý 5: Với 0 N (nghịch biến)
 6. Định lý 6: Với a > 1 thì : loga M < loga N M < N (đồng biến)
III. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:
 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : aM(x) = aN(x) (đồng cơ số)
 Ví dụ : Giải các phương trình sau :
 Bài tập rèn luyện:
 	 a, (x=10)	b, 
c, 	d, 	e,
 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số
 c¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n sau:
víi b=a.c ta chia 2 vÕ cho c2f(x) råi ®Ỉt Èn phơ
víi ta ®Ỉt Èn phơ t= ()f(x) 
víi (a+b)(a-b)=1 ta ®Ỉt Èn phơ t= (a+b)f(x) 
 Ví dụ : Giải các phương trình sau :
	1) 2) 3) 
	4) 5) 6) 
	7, 
 Bài tập rèn luyện:
	1) ()
	2) (x=0)
	3) (x=0)
	4) (x=0)
	5) (
 6) (x=0)
 3. Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0 ...
	 Ví dụ : Giải phương trình sau :
 1) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x 2) 
 Bài tập rèn luyệnï:
	 a, ()
b, 
 4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh 
 nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm)
 * Ta thường sử dụng các tính chất sau:
Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn tại x0 (a;b) sao cho 
 f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C) 
Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) . ( do đó nếu tồn tại x0 (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x)) 
 c¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n sau:
víi b ≠ a.c
víi (a+b).(a-b) ≠1
víi 
 Ví dụ : Giải các phương trình sau :
 1) 3x + 4x = 5x 2) 2x = 1+ 3) 	
 	 4; 3.25x-2+9(3x-10).5x-2+3-x=0 5; 
 Bài tập rèn luyện:	
 1) (x=2) 2) (x=1)
 3; 4; 
 5; 2x + 3x = x + 4 6; 
IV. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : (đồng cơ số)
 Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1) 2) 
3) () 
 	 4; 
 2. Phương pháp 2: Ph­¬ng ph¸p l«garÝt ho¸
 Tỉng qu¸t: 
 VÝ dơ : gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau.
 a, 2x.3x+1 =12	b; c; 
	d; e; 
3. Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số.
 Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1) 2) 
3; 4; 
5; 
6; 
3. Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0 
 Ví dụ : Giải phương trình sau :
 Bài tập rèn luyệnï:
	 (x=1;x=4)
 4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất.
 (thường là sử dụng công cụ đạo hàm)
 * Ta thường sử dụng các tính chất sau:
Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong kho¶ng (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong kho¶ng (a;b). ( do đó nếu tồn tại x0 (a;b) sao cho 
 f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C) 
Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong kho¶ng (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong kho¶ng (a;b) .
do đó nếu tồn tại x0 (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x)) 
 Ví dụ : Giải các phương trình sau :
	a; b; 
 c; 
V. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:
 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : aM < aN ()
 Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
 1) 2) 3; 
 Bài tập rèn luyện:	a; ()b; 
 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
 Ví dụ : Giải các phương trình sau :
 	 1) 2) 3)
	 4) ( 5) () 
	 6; ()
VI. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:
 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : ()
 Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
	1)	 2)
	3)	 4)
	5) 
 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
 Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1) 2)
3) ()
 3. Phương pháp 3: Ph­¬ng ph¸p l«garÝt ho¸
 Tỉng qu¸t: 
 VÝ dơ : gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau.
	 a, 2x.3x+1 <24	 b; 	c; d; 
VII. PHƯƠNG PHÁP Gi¶i pt-bpt mị vµ LOGARIT cã tham sè
DẠNG 1: Sử dụng công cụ đại số giải các bài toán có chứa tham số 
Bài 1: Với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm: ( ) 
Bài 2: Cho phương trình: 
 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho (m=4)
Bài 3: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu: () 
DẠNG 2: Sử dụng công cụ đạo hàm giải các bài toán có chứa tham số
Bài 1: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: ()
Bài 2: Tìm m sau cho bất phương trình: 
 có nghiệm x ()
 Bài 3: Tìm m để phương trình: có nghiệm ()
Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 
BÀI TẬP RÈN LUYỆN ?
Bài 1: Giải các phương trình 
	1) (x=1)
	2) ()
	3) (x=49)
	4) (x=5)
	5) (x=1)
	6) ()
	7) (x=1,x=2,x=4)
	8) ()
 9) ()
 10) (x=2,x=8)
 Bài 2: Giải các bất phương trình 
	1) (x>5)
	2) ()
	3) ()
	4) ()
	5) ()
	6) ()
	7) ()
	8) ()
	9) (-2 < x <-1)
Bài 3 : Tìm tập xác định của các hàm số sau:
	1. 2.