Chuyên đề ôn thi Đại học - Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng - Nguyễn Văn Lâm

∫ 9. 
5
2
4 9
x dx
x −∫
10.
2
2
2
1
9
dx
x
−
−
∫ 11. 
0
2
1
4 6
3 2
x dx
x x
−
−
− +∫
 12. 
4
2
3
1
3 2
dx
x x− +∫
 Giaûi: 
1. 
3
3 2
1
4 3 2 10( x x x )dx
−
− + +∫ =
34 3 2
1
10 100(x x x x)
−
− + + = . 
2. 
2
2
4
72( cosx )dx
sin x
pi
pi
−∫ = 2
4
2 7 2 7 2 7
2 2 4 4
( sinx cot gx) ( sin cot g ) ( sin cot g )
pi
pi
pi pi pi pi
+ = + − + 
Nếu f(x)dx F(x) C= +∫ thì = = −∫
b
b
a
a
f(x)dx F(x) F(b) F(a). 
TRƯỜNG THPT NGUYỄN HÙNG SƠN Tổ Toán 
ThS. Nguyễn Văn Lâm Chúc các em học tốt! 5 
 2 2 7 2 5( )= − + = − − . 
3. 
( ) 222 2 2 2 2 2 13 8 32 2 15 5 5 5 5 5
5 52 2
1 1 1 1
2 1 4 4 1 20 5 54 4
13 2 3
− − −
−  
− +
= = − + = − +  
 
∫ ∫ ∫
x x xdx dx ( x x x )dx x x x
x x
2 5
5 5 513 8 3 5
1
20 5 5 80 5 55 220 8 555 8
13 2 3 13 3 78 39
    −
= − + = − + − =   
   
x x x . 
4. 
1
0
4 1sin( x )dx+∫
1
0
1 14 1 5 1
4 4
cos( x ) (cos cos )= − + = − − 
5. 
2
11
3
2 7( x ) dx
−
−
+∫ =
2 212 12
12
3 3
1 2 7 2 7 1 664303 1
2 12 24 24 3
( x ) ( x ) ( )
− −
− −
+ +
= = − = . 
6. 
2
4
0
sin x.cosxdx
pi
∫ =
52 2
4
0 0
1
5 5
sin xsin xd(sinx)
pi pi
= =∫ . 
7. 
1
0 1
x
x
e dx
e +∫
1
1
0
0
1 1 1 2
1
x
x
x
d(e ) ln(e ) ln(e ) ln
e
+
= = + = + −
+∫
. 
8. 
3
1
2 3e ( lnx ) dx
x
+
∫
4
3 4 4
1 1
1 2 3 12 3 2 3 5 3 68
2 8 8
ee ( lnx )( lnx ) d( lnx ) ( )+= + + = = − =∫ . 
9. 
5
2
4 9
x dx
x −∫
=
55 2
2
2
44
1 9 1 1 19 16 7 4 2 7
2 9 2 2 2
d(x ) ln x (ln ln ) ( ln ln )
x
−
= − = − = −
−
∫ . 
10. 
2
2
2
1
9
dx
x
−
−
∫ =
22
2 2
2 2
1 1 3 1 1 55
3 6 3 6 5 3
x lndx ln (ln ln )
x x
− −
− −
= = − =
− +∫
. 
11. 
0
2
1
4 6
3 2
x dx
x x
−
−
− +∫
0 2 02
2 1
1
3 22 2 3 2 2 2 6 2 3
3 2
d(x x ) ln x x (ln ln ) ln
x x −
−
− +
= = − + = − = −
− +∫
. 
12. 
4
2
3
1
3 2
dx
x x− +∫
44
3 3
1 2 2 1 2 2 3
2 1 1 3 2
xdx ln ln ln ln ln
(x )(x ) x
−
= = = − = −
− − −
∫ . 
Ví dụ 2. Tính
5
2
2
4 3x x dx− +∫ 
Xét dấu 2 4 3x x− + : x -∞ 1 2 3 5 +∞ 
 2 4 3x x− + + 0 − 0 + 
→
5
2
2
4 3x x dx− +∫ =
3
2
2
4 3x x dx− +∫ +
5
2
3
4 3x x dx− +∫ =
3
2
2
4 3(x x )dx− − +∫ +
5
2
3
4 3(x x )dx− +∫ 
 = 
33
2
2
2 3
3
x( x x)− − + + 
53
2
3
2 3
3
x( x x)− + = 2 20 22
3 3 3
( )− − + = 
TRƯỜNG THPT NGUYỄN HÙNG SƠN Tổ Toán 
ThS. Nguyễn Văn Lâm Chúc các em học tốt! 6 
 Ví dụ 3. Chứng minh rằng 
1. 
1 2
0
4 51
2 2
x dx+≤ ≤∫ 2. 
1
3
1
2 2
9 8 7
dx
x
−
≤ ≤
+∫
 3. 
2
2
4
53 2
2 4
sin xdx
pi
pi
pi pi≤ + ≤∫ 
Bài 3. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 
I. Phương pháp đổi biến số Tính 
b
a
f(x)dx∫ 
Dạng 1. Đặt t (x)= ϕ . 
 * Đặt t (x)= ϕ dt '(x)dx⇒ = ϕ (
bieán ñoåi
f (x)dx g(t)dt→ ) 
 * Đổi cận x a b 
 t c d 
 * Tính =∫ ∫
b d
a c
f(x)dx g(t)dt . 
 Ví dụ. Tính 
 1. 
2e
e
dx
x.lnx∫
 2. 
2
3 2
0
1x .x dx+∫ 3. 
2
0 1 3
sinx dx
cosx
pi
+∫
4. 
2
2
1 2 1
dx
( x )−∫
 5. 
1
2
0
4 2
1
x dx
x x
+
+ +∫
 6. 
2
2
1
5 1
6
(x ) dx
x x
−
− −
∫ . 
Dạng 2. Đặt x (t)= ϕ 
 * Đặt x (t)= ϕ dx '(t)dt⇒ = ϕ ( 
bieán ñoåi
f (x)dx g(t)dt→ ). 
 * Đổi cận x a b 
 t α β 
 * Tính 
β
α
=∫ ∫
b
a
f(x)dx g(t)dt 
Chú ý. Ta có hai cách đặt cơ bản sau 
i) Gặp 2 2
2 2
1 0a x dx hoaëc dx (a )
a x
− >
−
∫ ∫ ta đặt x=asint, 2 2
t [ ; ]pi pi∈ − . 
TRƯỜNG THPT NGUYỄN HÙNG SƠN Tổ Toán 
ThS. Nguyễn Văn Lâm Chúc các em học tốt! 7 
ii) Gặp 2 2 0
dx (a )
a x
>
+∫
 ta đặt x=atant, 
2 2
t ( ; )pi pi∈ − . 
Ví dụ. Tính 
1. 
1
2
0
4 x dx−∫ 2. 
1
2
2
0
1
1
dx
x−∫
 3. 
1
2
0 3
dx
x +∫
4. 
1
2
0 1
dx
x x+ +∫
 5. 
1
2 2
0
x 4 3x dx−∫ 6. ( )
1
22
0
dx
1 3x+∫
II. Phương pháp tích phân từng phần 
• Ta đưa 
b
a
f(x)dx∫ về dạng 
b
a
udv∫ . 
• Áp dụng công thức: 
b b
b
a
a a
udv (u.v) vdu= −∫ ∫ 
 Chú ý. Về cơ bản thứ tự ưu tiên cho việc đặt u như sau 
1. Hàm logarít. 
2. Hàm đa thức, luỹ thừa. 
3. Hàm số mũ. 
4. Hàm lượng giác. 
Ví dụ. Tính 
 1. 2
1
e
x .lnxdx∫ 2. 
2
0
x.cosxdx
pi
∫ 3. 
1
2
0
xx.e dx∫ 4. 
2
0
xe .sinxdx
pi
∫ 5. 
2
1
e
lnxdx∫ . 
Bài 4. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 
I. Diện tích 
1. Diện tích hình thang cong 
Hình phẳng: 
y f(x)lieân tuïc treân [a;b]
truïc hoaønh(y=0)
x=a;x=b
=




 có diện tích là: 
2. Diện tích hình phẳng 
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. 
 Hình phẳng: 
y f(x)
y=g(x)
x=a;x=b
=




 có diện tích là 
• Chú ý. 
b
a
S f(x) dx= ∫ 
b
a
S f(x) g(x) dx= −∫ 
TRƯỜNG THPT NGUYỄN HÙNG SƠN Tổ Toán 
ThS. Nguyễn Văn Lâm Chúc các em học tốt! 8 
 i/ Hình phẳng: 
x f(y)lieân tuïc treân [c;d]
truïc tung(x=0)
y=c;y=d
=




 có diện tích là 
 ii/ Cho hai hàm số f(y) và g(y) liên tục trên đoạn [c; d]. 
 Hình phẳng: 
x f(y)
x=g(y)
y=c;y d
=



=
 có diện tích là 
II. Thể tích 
 1. Vật thể tr 
òn xoay sinh bởi hình phẳng: 
y f(x)lieân tuïc treân [a;b]
truïc hoaønh(y=0)
x=a;x=b
=




khi quay quanh Ox, 
có thể tích là 
 2. Vật thể tr 
òn xoay sinh bởi hình phẳng: 
x f(y)lieân tuïc treân [c;d]
truïc tung(x=0)
y=c;y=d
=




khi quay quanh Oy, có 
thể tích là 
Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 
 1. 2 4 3 0 2 5y x x ;y ;x ;x .= − + = = = 2. 2 1 3 0y x ; x y .= + + − = 
Giaûi: 
 1. pt: 2
1
4 3 0
3
x
x x
x
=
− + = ⇔ 
=
 → 
5 3 5
2 2 2
2 2 3
4 3 4 3 4 3S x x dx x x dx x x dx= − + = − + + − +∫ ∫ ∫ 
3 5
2 2
2 3
4 3 4 3(x x )dx (x x )dx= − + + − +∫ ∫ =
3 53 3
2 2
2 3
2 3 2 3
3 3
x x( x x) ( x x)− + + − + 
 =
2 20 2 20 22
3 3 3 3 3
− + = + = (ñvdt) 
2. Ta có 2 1y x= + =f(x); 3 0 3x y y x g(x)+ − = ⇔ = − + = . 
 Pt: 2
1
2 0
2
x
f(x) g(x) x x
x
=
− = + − = ⇔ 
= −
2
b
ox
a
V y dx= pi∫ 
2
d
oy
c
V x dy= pi∫ 
d
c
S f(y) dy= ∫ 
d
c
S f(y) g(y) dy= −∫ 
TRƯỜNG THPT NGUYỄN HÙNG SƠN Tổ Toán 
ThS. Nguyễn Văn Lâm Chúc các em học tốt! 9 
→ ( )
11 1 1 3 2
2 2
2 2 2 2
9 92 2 2
3 2 2 2
x xS f(x) g(x) dx x x dx x x dx x
− − −
−
 
= − = + − = + − = + − = − = 
 
∫ ∫ ∫ 
 Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 31 1y x;y x ;truïc Ox= − = + . 
 Ta có 3 31 1y x x y f(y);= + ⇔ = − = 1 1y x x y g(y)= − ⇔ = − = 
 Pt: 3 2 0 1f(y) g(y) y y y− = + − = ⇔ = , truïc Ox: y=0 
→ ( )
11 1 1 4 2
3 3
0 0 0 0
5 52 2 2
4 2 4 4
y yS f(y) g(y) dy y y dy y y dy y
 
= − = + − = + − = + − = − = 
 
∫ ∫ ∫ 
 Ví dụ 3. Tính thể tích vật thể tr
òn xoay sinh bởi 
1. Hình phẳng: y=sinx; y=0; x=0; x= / 4pi quay quanh Ox. 
2. Hình phẳng: y=cosx; y=0; x=0; x= / 2pi quay quanh Ox. 
3. Hình phẳng: y=tanx; y=0; x=0; x= / 4pi quay quanh Ox. 
4. Hình phẳng: y=cotx; y=0; x= / 4pi ; x= / 2pi quay quanh Ox. 
Giải: 
 1. 
4 4 4 4
2 2
0 0 0 0
1 1 21 2 2
2 2 2 2 4 2 8ox
( )V y dx sin xdx ( cos x)dx x sin x ( )
pi pi pi pi
pi pi pi pi pi pi − 
= pi = pi = − = − = − = 
 
∫ ∫ ∫ . 
 2. 
22 2 2 2
2 2
0 0 0 0
11 2 2
2 2 2 2 2 4ox
V y dx cos xdx ( cos x)dx x sin x .
pi pi pi pi
pi pi pi pi pi 
= pi = pi = + = + = = 
 
∫ ∫ ∫ . 
 3. ( ) ( )4 4 42 2 4Ox 2 0
0 0 0
41V y dx tan xdx 1 dx tan x x 1
cos x 4 4
pi pi pi
pi pi − pipi   
= pi = pi = pi − = pi − = pi − =   
   
∫ ∫ ∫ . 
 4. ( ) ( )
4 2 2
2 2 2
Ox 2
40
4 4
41V y dx cot xdx 1 dx cot x x 1
sin x 2 4 4
pi pi pi
pi
pi
pi pi
pi − pipi pi   
= pi = pi = pi − = pi − − = pi − + + =   
   
∫ ∫ ∫ 
Ví dụ 4. Tính thể tích vật thể tr 
òn xoay sinh bởi 
1.Hình phẳng: 2
1 2 4 0
2
y x ,y ,y ,x= = = = quay quanh Oy. 
2.Hình phẳng: 3 2
1
3
y x ,y x= = quay quanh Ox. 
3.Hình phẳng: 
1
2 0 1 2xy x .e ,y ,x ,x= = = = quay quanh Ox. 
4.Hình phẳng: 0 2y lnx,y ,x= = = quay quanh Ox. 
Giải: 
1. 
2 2
0
2 4
oy
x y
V : x
y ,y
 =

=

= =
→ ( )4 4 42 2
2
2 2
2 12oyV x dy ydy y= pi = pi = pi = pi∫ ∫ . 
TRƯỜNG THPT NGUYỄN HÙNG SƠN Tổ Toán 
ThS. Nguyễn Văn Lâm Chúc các em học tốt! 10
2. Phương trình hoành độ giao điểm: 
3
2 3 2 2 03 0 3 0
33
xx x x x x (x )
x
=
= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ 
=
Thể tích cần tìm: 1 2V V V= − 
• 
3
33 3 7
3 2 6
1 1
0 0 0
1
3 1 2430
3 9 9 7 7
0 3
y x
xV : y quayquanhOx V ( x ) dx x dx
x ,x

=
  pi pi pi
= → = pi = = =  
 
= =


∫ ∫ 
• 
2
33 3 5
2 2 4
1 1
0 0 0
2430
5 5
0 3
y x
xV : y quayquanhOx V (x ) dx x dx
x ,x
 =
  pi
= → = pi = pi = pi =  
 
= =
∫ ∫ 
Vậy 
243 243 486 486
7 5 35 35
V pi pi pi pi= − = − = (đvtt) 
 3. 
1
x2
0x
y x .e
V : y 0
x 1,x 2

=

=

= =

 →
2 2
2 2
1 1
x
oxV y dx x.e dx= pi = pi∫ ∫ 
* Tính: 
2
2
1
xx.e dx∫ đặt 2x2x
du dxu x
1v edv e .dx
2
=
= 
→ 
== 
 → ( )
2 22 2 4 2
2 2 2 4 2 2
11 11
1 1 1 1 32
2 2 2 4 4
x x x x e ex.e dx xe e dx e e e − = − = − − = 
 
∫ ∫ 
 Vậy 
4 23
4ox
e eV −= pi (đvtt) 
4. Hình phẳng: 0 2y lnx,y ,x= = = quay quanh Ox. 
 Pt: ln x 0 x 1= ⇔ = nên ta có: 0x
y lnx
V : y 0
x 1,x 2
=

=

= =
 →
2 2
2 2
1 1
oxV y dx ln xdx= pi = pi∫ ∫ 
• Tính 
2
2
1
ln xdx∫ đặt 
2 1du 2 lnxdxu ln x
x
dv dx v x

 == 
→ 
=  =
 → ( )2 222 2 2
1
1 1
2 2 2 2ln xdx x ln x lnxdx ln I= − = −∫ ∫ 
TRƯỜNG THPT NGUYỄN HÙNG SƠN Tổ Toán 
ThS. Nguyễn Văn Lâm Chúc các em học tốt! 11
• 
2
1
I lnxdx= ∫ đặt 
1u lnx du dx
x
dv dx v x

= = 
→ 
=  =
→ ( )
2
2 2
11
1
I x lnx dx 2ln2 x 2ln2 1= − = − = −∫ 
 Vậy 2 22 2 2 2 2 4 2 2oxV ( ln I) ( ln ln )= pi − = pi − + (đvtt) 
BÀI TẬP 
Bài 1. Tìm nguyên hàm sau 
 1. ( )( )f(x) (1 x) 1 2x 1 3x= − − − . 2. ( )22f(x) 2x x= − . 3. ( )32f(x) 2x x= − 
4. 
2x 3x 3f(x)
x 2
+ +
=
+
 . 5. 
3xf(x)
x 1
=
+
. 6. 
4 2
2
x 2x x 1f(x)
x x 1
+ + +
=
+ +
. 
7. ( )2x xf(x) 2 3= + . 8. +=
+
3x
x
e 1f(x) .
e 1
 9. 2 2
1f(x)
sin xcos x
= . 
10. = 2f(x) tan x . 11. 4
1f(x)
cos x
= . 12. = 4f(x) tan x . 
Bài 2. 
1. Tìm hai số A, B sao cho