Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2010 - Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

 – ĐƯỜNG THẲNG: 
1. Lý thuyết: 
 - Nhắc lại phương trình đường thẳng 
 - Nhắc lại các khái niệm cơ bản trong tam giác, hình bình hành, hình chữ nhật, hình 
thoi, hình vuông. 
2. Bài tập: 
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng 
 Phương pháp: B1: Xác định 1 điểm đi qua 
 B2: Xác định 1 điểm đi qua khác hoặc vtpt hoặc vtcp của đường thẳng. 
 B3: ADCT viết PT đường thẳng. 
 Các ví dụ: 
VD1: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(−4;−5) và hai đường cao có 
phương trình 5x+3y−4=0 và 3x+8y+13=0. 
Đáp số: 8x−3y+17=0; 3x−5y−13=0; 5x+2y−1=0. 
VD2: Viết phương trình đường trung trực của các cạnh của tam giác ABC biết tọa độ trung 
điểm của các cạnh là M(−1;1);N(1;9) và P(9;1). 
Đáp số: x−y+2=0;x−1=0;x+4y−13=0. 
VD3: Cho M(2;1), N(5;3) và P(3;−4) là trung điểm của các cạnh của tam giác ABC. Lập 
phương trình các cạnh của tam giác ABC. 
Đáp số: 2x−3y−18=0;7x−2y−12=0;5x+y−28=0 
VD4: Cho hình vuông ABCD có đỉnh A(−4;5) và một đường chéo đặt trên d:7x−y+8=0. Lập 
phương trình các cạnh và đường chéo thứ 2 của hình vuông. 
Đáp số: AB:3x−4y+32=0; AD: 4x+3y+1=0; 
BC: 3x−4y+7=0; CD:4x+3y−24=0; AI: x+7y−31=0 
Dạng 2: Tìm toạ độ điểm, khoảng cách, hình có tính chất vuông, cân, đều 
VD5: Trong mp Oxy cho đường thẳng : 3 2 0x y∆ + + = và hai điểm ( ) ( )1;3 ; 1;2A B− . 
a) Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua ∆ . 
b) Tìm điểm :P PA PB∈ ∆ + nhỏ nhất. 
Đáp số: ( )' 3;3A − 
VD6 (Khối A-2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho các đường thẳng : 
02:04:,03: 321 =−=−−=++ yxdyxdyxd 
Tìm toạ độ điểm M nằm trên đường thẳng 3d sao cho khoảng cách từ M đến đường 
thẳng 1d bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng 2d . 
Đáp số: ( ) ( )1 222; 11 , 2;1M M− − 
Chuyên đề ôn thi đại học 2010 
GV: Hoàng Ngọc Quang – TTGDTX Hồ Tùng Mậu – Lục Yên.Yên Bái Trang 2 
VD7 (Khối B-2003) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC 
có 
 0, 90AB AC BAC= = . Biết )1;1( −M là trung điểm của cạnh BC và 




 0;
3
2G là trọng tâm 
tam giác ABC. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C. 
Đáp số: (0;2),A Täa ®é cña B, C lµ (4;0), (-2;-2) 
VD8 (Khối B-2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm )2;2(A và các đường thẳng: 
02:1 =−+ yxd và 08:2 =−+ yxd 
Tìm toạ độ các điểm B và C lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. 
Đáp số: B(-1;3), C(3;5) Hoặc B(3;-1), C(5;3) 
VD9 (Dự bị I khối B-2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại B, 
với ( ) ( )1; 1 , 3;5A C− . Đỉnh B nằm trên đường thẳng : 2 0d x y− = . Viết phương trình các 
đường thẳng ,AB BC . 
VD10 (Khối B-2009) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh 
( )1;4A − và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng : 4 0x y∆ − − = . Xác định tọa độ các điểm B và 
C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18. 
Đáp số: 11 3 3 5; , ;
2 2 2 2
B C   −   
   
 hoặc 3 5 11 3; , ;
2 2 2 2
B C   −   
   
Bài tập tự luyện 
1. (Khối B-2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(1;1) và B(4;-3) .Tìm 
điểm C thuộc đường thẳng 012 =−− yx sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 
6. 
ĐS: 1 2
43 27(7;3), ;
11 11
C C  − − 
 
2. (Khối D-2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có các đỉnh 
m)C(0;B(4;0);A(-1;0); với 0≠m .Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m. Xác định 
m để tam giác GAB vuông tại G. 
ĐS: ( ) ( )1 21; 6 , 1; 6G G − 
3. (Dự bị II khối A-2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm ( )0;2A và đường 
thẳng : 2 2 0d x y− + = . Tìm trên d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB = 
2BC. 
4. (Dự bị II khối D-2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm ( )2;3A và hai đường 
thẳng 1 : 5 0d x y+ + = và 2 : 2 7 0d x y+ − = . Tìm tọa độ các điểm B trên d1 và C trên d2 sao 
cho tam giác có trọng tâm là ( )2;0G 
5. (Dự bị I khối D-2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm ( )2;1A . Lấy điểm B 
thuộc Ox có hoành độ không âm và điểm C thuộc Oy có tung độ không âm sao cho tam giác 
ABC vuông tại A. Tìm B, C sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất. 
Dạng 3: Bài toán trong tam giác 
LOẠI 1: Xác định các yếu tố trong tam giác khi biết trước tọa độ của một đỉnh và phương trình 
của hai đường có cùng tính chất (hai đường trung tuyến, hai đường cao, hai đường phân giác, 
trong) đi qua hai đỉnh còn lại 
Chuyên đề ôn thi đại học 2010 
GV: Hoàng Ngọc Quang – TTGDTX Hồ Tùng Mậu – Lục Yên.Yên Bái Trang 3 
VD11: Cho tam giác ABC, có đỉnh A(2;2) và hai đường cao lần lượt có phương trình 
0439 =−− yx ; 02 =−+ yx . Lập phương trình của các đường thẳng AB, BC và CA. 
Đáp số: AB: 0=− yx AC: 083 =−+ yx BC: 0857 =−+ yx 
VD12: Cho tam giác ABC có )11;2( −A và các đường phân giác trong của các góc B và C lần 
lượt có phương trình 012 =+− yx ; 03 =++ yx . Lập phương trình của các đường thẳng BC 
Đáp số: 034 =+− yx 
LOẠI 2: Xác định các yếu tố trong tam giác khi biết trước tọa độ của một đỉnh và phương trình 
của hai đường khác tính chất (đường trung tuyến và đường cao, đường cao và đường phân 
giác,đường trung tuyến và đường phân giác trong). 
VD13: Xác định tọa độ đỉnh A của tam giác ABC, biết ( )4; 1C − và đường cao, trung tuyến kẻ 
từ đỉnh B lần lượt có phương trình 2 3 12 0; 2 3 0x y x y− + = + = 
Đáp số: ( )8; 7A − 
VD 14: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC biết đỉnh ( )1;3A − , đường cao 
: 0BH x y− = , đường phân giác trong của góc C nằm trên đường thẳng : 3 0d x y+ = . Viết 
phương trình các cạnh của tam giác ABC. 
Đáp số: : 2 0 : 7 18 0 : 3 6 0AC x y BC x y AB x y+ − = − − = − + = 
LOẠI 3: Xác định các yếu tố trong tam giác khi biết trước tọa độ của một số điểm đặc biệt nào 
đó của tam giác (chằng hạn: Chân đường trung tuyến, chân đường cao, chân đường phân giác 
trong) 
VD 15: Cho tam giác ABC có cả ba góc đều nhọn. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh 
AC của tam giác, biết tọa độ các chân đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C lần lượt là 
( ) ( ) ( )1 1; 2 ; 2;2 ; 1;2A B C− − − . 
Đáp số: 2 6 0x y+ − = 
Dạng 4: Bài toán sử dụng tính chất hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi, hình bình hành 
VD17 (Khối A-2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng 0:1 =− yxd 
và 012:2 =−+ yxd .Tìm toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD, biết rằng đỉnh A thuộc d1, đỉnh 
C thuộc d2 và các đỉnh B, D thuộc trục hoành. 
Đáp số: A(1;1), B(0;0), C(1;-1), D(2;0) Hoặc A(1;1), B(2;0), C(1;-1), D(0;0) 
VD18 (Khối A-2009) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm 
( )6;2I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm ( )1;5M thuộc đường thẳng AB và 
trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng : 5 0x y∆ + − = . Viết phương trình đường thẳng 
AB. 
Đáp số: : 5 0AB y − = hoặc : 4 19 0AB x y− + = 
VD19 (Khối B-2002) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxy cho hình chữ nhật 
ABCD có tâm 




 0;
2
1I , phương trình đường thẳng AB là 022 =+− yx và ADAB 2= . Tìm 
toạ độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có hoành độ âm. 
Đáp số: ( 2;0), (2;2), (3;0), ( 1; 2)A B C D− − − 
Chuyên đề ôn thi đại học 2010 
GV: Hoàng Ngọc Quang – TTGDTX Hồ Tùng Mậu – Lục Yên.Yên Bái Trang 4 
Bài tập tự luyện 
1. (Dự bị I khối D-2003) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh 
(1;0)A và hai đường thẳng lần lượt chứa các đường cao vẽ từ B và C có phương trình tương 
ứng là 2 1 0x y− + = và 3 1 0x y+ − = . Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC 
2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC biết đỉnh ( )4;4A , trung tuyến 
1 : 2 3 10 0BB x y+ − = và đường phân giác trong của góc C nằm trên đường thẳng 
( ): 1 2 0d x y− + = . Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC 
Đáp số: : 0 : 0 : 4 20 0BC y AC x y AB x y= − = + − = 
3. (Khối B-2008) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy xác định toạ độ đỉnh C của tam giác 
ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(-1;-1) , đường phân 
giác trong của góc A có phương trình 02 =+− yx và đường cao kẻ từ B có phương trình 
0134 =−+ yx ĐS: ( )10 / 3;3 / 4C − 
4. (Khối D-2009) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có ( )2;0M là trung 
điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 
7 2 3 0x y− − = và 6 4 0x y− − = . Viết phương trình đường thẳng AC. 
5. Cho tam giác ABC có ( )1;3A − , đường cao BH nằm trên đường thẳng y x= , phân giác 
trong góc C nằm trên đường thẳng 3 2 0x y+ + = . Viết phương trình đường thẳng BC. 
Đáp số: 7 18 0x y− − = 
6. Xác định tọa độ đỉnh B của tam giác ABC, biết ( )4;3C và các đường phân giác trong, trung 
tuyến kẻ từ đỉnh A lần lượt có phương trình 2 5 0; 4x + 13y 10 0x y+ − = − = . 
Đáp số: ( )12;1B − 
7. ( Dự bị II khối A-2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm 
( )2;0G − . Biết phương trình các cạnh AB và AC lần lượt là 4 14 0x y+ + = và 2 2 0x y+ − = . 
Tìm tọa độ , , ?A B C 
8. Dự bị I khối D-2004: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông ở A. 
Biết ( )1;4A − , ( )1; 4B − , đường thẳng BC đi qua điểm 7 ;2
3
K   
 
. Tìm tọa độ đỉnh C. 
9. Dự bị II khối B-2006: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh 
( )2;1A , đường cao qua đỉnh B có phương trình là 3 7 0x y− − = và đường trung tuyến qua 
đỉnh C có phương trình là 1 0x y+ + = . Xác định tọa độ các đỉnh B và C của tam giác. 
10. Dự bị I khối B-2008: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với 5AB = , 
( )1; 1C − − , đường thẳng AB có phương trình 2 3 0x y+ − = và trọng tâm của tam giác ABC 
thuộc đường thẳng 2 0x y+ − = . Hãy tìm tọa độ đỉnh A và B. 
11. Dự bị I khối A-2008: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với đường 
cao kẻ từ đỉnh B và đường phân giác tỏng của góc A lần lượt có phương trình là 
3 4 10 0x y+ + = và 1 0x y− + = ; điểm ( )0;2M thuộc đường thẳng AB đồng thời cách C một 
khoảng bằng 2 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. 
12. (Dự bị II khối B-2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác cân ABC đỉnh A, 
có trọng t