Chuyên đề Ôn thi Đại học - Đại số tổ hợp - Nguyễn Thị Ngọc Minh

chuyên đề đại số tổ hợp
I/PHƯƠNG TRìNH -Hệ PHƯƠNG TRìNH BấT PHƯƠNG TRìNH Tổ HợP
Bài1: Tìm x biết :
Bài 2: (Đề ĐHAN-2000) Tìm số hạng âm của dãy 
 Bài tập tương tự
 1/ Tìm số hạng dương của dãy 
 2/ Tìm số hạng âm của dãy 
Bài3: Giải PT 
 Bài 4: Tìm x biết Px.A+72=6(A+2 Px) (1) 
Bài5: Tìm x biết 12. 
Bài 6: Tìm k; x biết 1/ 2/ (2) 
 Bài 7: tìm x;y thoả mãn 
 HD: Đặt điều kiện ...kq x=2; y=7
Bài 8: Tìm x;y biết 
 Bài 9: Giải PT C 
 Bài10: Tìm x; y biết (A KQx=7; y=3
II/ khai triển nhị thức niu tơn
IBài số 1 : Trong khai triển : Tìm số hạng không phụ thuộc vào x biết : 
 (1)
KQ : Số hạng thứ 5 : T6 = = 792
Bài 1a: (THTT -T7/2006) Bình luận về đề thi ĐH 
Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển 
Bài số 2 : Trong khai triển của : Tìm số hạng chứa a và b có những luỹ thừa giống nhau ? 
 T10 = 
Bài 3a ( Đềthi ĐHKA- 04) Tìm hệ số của x8trong khai triển đa thức 
Bài4a: Với giá trị nào của x thì số hạng thứ 3 trong khai triển : bằng 3600
Bài 4b: Cho hệ số của số hạng thứ ba của khai triển : bằng 36 . Hãy tìm số hạng thứ 7
Bài5: Tìm số nguyên dương x sao cho hạng tử thứ 5 của khai triển là 240 
KQ : x = 2
Bài6: Tìm số thực x biết hạng tử thứ 4 trong khai triển là 200
Bài7: tìm giá trị của x biết hạng tử thứ 6 trong khai triển sau là 84
Bài 8: Tìm số hạng thứ 5 trong khai triển của nếu số hạng cuối cùng của khai triển bằng KQ : Số hạng thứ 5 là 
Bài11 : Trong khai triển của Biết ba hệ số đầu tiên theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng .Tìm tất cả các số hạng trong đó luỹ thừa của y có số mũ tự nhiên .
 HD:.....
Chú ý : Nếu bài toán cho 3 hệ số của ba số hạng đầu tiên lập thành một CSC mà không cho thứ tự cần phải xét ba trường hợp : Công việc tương tự
Bài12:Có bao nhiêu số hạng nguyên trong khai triển của 
KQ: Các số hạng là và chỉ các số hạng đó là số nguyên 
Bài 15: Trong khai triển P(x)=(1+2x)12 thành dạng a0+a1x+a2x2+.......+a12x12Tìm max(a0,a1,a2....a12) HD: KQ: a8 =C=126720
Bài 16 Tìm hệ số lớn nhất trong khai triẻn (a+b)ncho biết tỏng của tất cả các hệ số là 4096 .
 HD : Có tổng của tất cả các hệ số là 2n do đó có phương trình 2n=4096 n=12hệ số lớn nhất là =924 
Bài 17 Tìm giá trị của luỹ thừa n của khai triển cho biết hạng tử thứ 9 có hệ số lớn nhất. HD:Viết lại = suy ra n=12 thoả mãn bài toán 
Bài18: Tìm tổng của tất cả các hệ số trong khai triển nhị thức (4x-5)21
Bài19: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển P(x) =( 1 + 2x - .
Bài20: Tìm hệ số của số hạng chứa khi khai triển : 
Bài 20: 1/ Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển sau KQ: T5 = 5x4
2/ Tìm số hạng độc lập với x trong khai triển 
3/ Tìm số hạng không chứa x trong khai triển KQ : 
Bài 22: 1/. Tìm hai số hạng đứng chính giữa của khai triển : 
 KQ : 
2/. Tìm hai số hạng đứng giữa trong các khai triển :
 ; 
3/. Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển : 
III/chứng minh các đẳng thức - Bất đẳng thức tổ hợp
I/Lý thuyết:+)Nh ớ các công thức tính , ;Pn Điều kiện ...
+)Các quy tắc đối xứng ; quy tắc Pas-Can; công thức khai triển Niu-Tơn ,Tính chất của khai triển Niu Tơn(T/C tổng các hệ số hay số các tập con của tập có n phần tử)
+)Các phương pháp chứng minh đẳng thức tổ hợp :Sử dụng các công thức tổ hợp và các quy tắc trên ;sử dụng các phép toán tích phân và đạo hàm hai vế khai triển Niu-Tơn; đồng nhất các hệ số trong khai triển Niu-Tơn...
II/Bài tập:
Bài 1:( Dạng áp dụng công thức tổ hợp)
 Chứng minh rằng: Hay Hay 
Bài 2:(Dạng áp dụng quy tắc pas-can)
 Chứng minh 
Bài toánTQ: (1)Với 0
HDCM bài toán tổng quát :
 *) PPQuynạp + (1) đúng với m=2,3,4
 + Giả sử (1) đúng với m=p 
 + Chứng minh (1) đúng với m=p+1
 Tức pcm: 
VT= 
Bài3:CM Với n1
Cách 2:sử dụng công thức (3)
Bài4:CMR: 
 HD:Cách1: Nhận dạng pp tích phân hàm số..... xét......có kq cần cm
Bài 5:CMR 
 HD : Cách 1: Sử dụng kq bài3 
Bài6:CMR .
 Bài7: CMR .
Bài8: Tính tổng 
 Bài9: CMR 
Bài10: CMR 
Bài11: CMR 
Bài12: Tính tổng sau : 
Bài13: Tính tổng sau : 
Bài14: Chứng minh rằng 
 HD: Từ đồng nhất hệ số của xn trong hai cách khai triển (1+x)2n và (1+x)n 
 Hay thực chất là đặc biệt hoá bài toán tổng quát 2 khi m=n=k .
Bài15 : CMR
Bài16: (HVQY-2001) Chứng minh rằng
 Nếu thì 
Bài17: Chứng minh rằng : Nếu 
 thì ta có : 
Bài17b /Chứng minh đẳng thức sau:
Bài18: CMR:
 HD: áp dụng bất đẳng thức BuNhia 
Bài19:. Với n nguyên dương CMR :
Bài toán chọn
I/Lý thuyết: 
 +)Quy tắc cộng ,quy tắc nhân
 +)Định nghĩa hoán vị , chỉnh hợp ,tổ hợp 
 +)Các công thức tính.
II/Bài tập: 
Bài1: ( Đề thi ĐH y HN - 2000 )
 Có 5 nhà toán học nam ; ba nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam . Cần lập một đoàn công tác có ba người mà phải có cả nam , nữ , có cả toán , lý. Hỏi có bao nhieu cách thành lập đoàn công tác như vậy ?
 KQ : Tất cả có : 90 cách chọn
Bài2: ( Đề thi ĐH Huế - 2000 )
 Một lớp có 30 học sinh nam , 15 học sinh nữ ; chọn một tốp ca gồm 6 học sinh . Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu ít nhất có hai học sinh nữ .
 Kết luận : số cách chọn thoả mãn bài toán là : 
 = 5413695
Bài3: Một đội văn nghệ gồm có 20 người trong đó có 10 nam , 10 nữ . Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 người sao cho có ít nhất 2 nam và một nữ .
 HD : 
Bài4: Cho các số tự nhiên 1,2,...,6 có thể thiết lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau .
 HD : (Loại trừ ) = 480.
Bài5: Có bao nhiêu số có 8 chữ số được viết từ các chữ số 1,2....6
 trong đó số 1 có mặt ba lần còn các chữ số khác có mặt đúng một lần 
 HD: 
Bài6Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số mà trong đó số 2 có mặt đúng hai lần số 3 có mặt ba lần còn các chữ só khác có mặt không quá một lần.
Bài6b : Cho các số tự nhiên 0,1,2...,7 có bao nhiêu số tự nhiên có 10 chữ số mà trong đó số 5 có mặt ba lần còn các chữ số khác có mặt đúng một lần
 KQ: =544320
Bài7:
(ĐHGTVT-01) Cho 8 chữ số : 0 ;1;2;3;4;5;6;7. Có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau từ các chữ số trên trong đó nhất thiết phải có chữ số 4. 
KQ:5.5.
Bài8:Từ ba chữ số 2,3,4 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số mà phải có đủ mặt các chữ số trên.
 KQ: Cả thảycó 3.+ =150 số
Bài9: Tính tổng các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau viết từ các số 2,3,4,5,6
KQ : Suy ra tổng của 120 số là 88888. 60 =5 333 280
Bài10Một cửa hàng có 10 lon nước giải khát tất cả đều khác nhau người ta xếp các lon đó hình tháp từ hàng dưới cùng đến hàng trên cùng lần lượt là 4,3,2,1 lon hàng ngày người ta đổi vị trí sao cho không có hai ngày nào bày như nhau
Hỏi có thể thực hiện như vậy trong bao nhiêu ngày
 KQ:10!=36288000 ngày =9935 năm+66 ngày
Bài11: ( ĐH SPII - 2001)
Tính tổng của tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số : 1;3;4;5;7;8 
HD Tổng tất cả các số đó là :
 S = 3360 ( 104 +103 +102 +101 +1)= 3733290
Bài12: ( ĐH Y HN - 2001) Với các số 1;2;3;4;5;6;7;8;9 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau và không lớn hơn 789 
 KQ: 171 số
Bài13:Tổ chức kỳ thi tuyển sinh đại học hội đồng ra đề môn toán ra 20 bài dễ 30 bài trung bình,10 bài khó. Người ta chọn từ đó ra 5 bài để lập một đề thi .Hỏi có bao nhiêu cách thành lập đề sao cho có đủ các bài dễ, TB,và khó và số bài TB không ít hơn 2
Bài14: Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau sao cho tổng các chữ số trong mỗi số đó là một số lẻ.
 Bài15: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau ,mỗi dãy có 6 ghế người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 h/s nam và 6 h/s nữ .hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau
1/Bất kỳ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc ngồi đối diện thì khác giới tính.
 2/Bất cứ hai h/s ngồi đối diện với nhau không cùng giới
 tính .
KQ: 1/1036800 2/33177600 
Bài16 Một hội nghị bàn tròn có phái đoàn các nước Việt Nam 3 người,Nga 5 người Anh 3 người ,Pháp 4 ngườiĐức 2 người .hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi sao cho những người cùng quốc tịch thì ngồi cạnh nhau.
 HD: Hội nghị gồm 5 nước vì bàn tròn
Bài17 Cho đa giác lồi 20 cạnh .Xét các tam giác có các đỉnh là các đỉnh của đa giác .Có bao nhiêu đa giác mà các cạnh của nó đều không phải là các cạnh của đa giác
Bài18Trong mặt phẳng có 25 điểm không có 3 điểm bất kỳ nào thẳng hàng 
1/Hỏi có bao nhiêu đường gấp khúc kín có 10 cạnh
 2/ Hỏi có bao nhiêu đường gấp khúc hở có 15 cạnh
Bài19
Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau sao cho số đứng sau lớn hơn số đứng trước.
Bài20:
Cho tập hợp A= trong đó n>1 có bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x,y) sao cho x>y 
Bài21:Cho đa giác có 20 cạnh không có ba đường chéo nào đồng quy tại các điểm khác đỉnh của đa giác
1/Hỏi có bao nhiêu đường chéo 
2/Có bao nhiêu giao điểm giữa các đường chéo
Bài22:
Cho 10 đường thẳng và 10 đường tròn tìm số giao điểm tối đa giữa 
1/Các đường thẳng 
2/Số giao điểm tối đa giữa các đường tròn
3/Số giao điểm tối đa giữa các đường thẳng và các đường tròn
Bài23:
Cho tam giác AB C trên cạnh AB lấy 15 điểm không trùng với A và B ,cũng lấy tương tự trên BC 20 điểm trên CA lấy 8 điểm .Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành từ các điểm đó không tính các đỉnh của tam giác 
 Bài25 
Cho các số 0,1,3,4,5 hỏi có thể lập được bao nhiêu 
1/ Số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau?
2/Số có ba chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 5?
3/Số có ba chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 9?
Bài26Xếp 3 bi đỏ có bán kính khác nhau 3 bi xanh có bán kính giống nhau vào một dãy gồm 7 ô trống 
1/ Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau
2/ Có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau sao cho 3 bi đỏ 
xếp cạnh nhau và ba bi xanh xếp cạnh nhau
Bài27
Có 25 quả cầu giông hệt nhau người ta thả chúng vào 9 hộp khác nhau sao cho hộp nào cũng có cầu hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy?
28.DB 06:
BG: