Chuyên đề Giới hạn - Liên tục - Đạo hàm - Trần Công Diêu

tinhbantoan123@yahoo.com  THÁNG 4. 2009
   mùa thi 2009  Trang 
9 
Từ đây là ngon ăn quá rồi nha! 
3 4
3
0 00
1 2 1 1 3 1 1 4 1lim lim 1 2 lim 1 2 1 3
x xx
x x xT x x x
x x x 
      
       
 
3 4
0 0 0
1 2 1 1 3 1 1 4 1lim lim lim
x x x
x x xT
x x x  
      
     
 
2 3 4
2 3 4
   
@ Hoàn toàn bạn có thể tạo ra những bài toán như ý muốn của bạn từ những ý tưởng cơ bản, 
thế mới biết toán học là muôn màu muôn vẻ! 
 Thí dụ 19. Tính giới hạn sau 
4
lim tan 2 . tan( )
4x
T x x



  ( ĐHSPHN 2000 ) 
Lời giải. nhẩm nhẩm ta thấy nếu mà thế 
4
x  vào thì T không xác định. Để cho gọn ta đặt 
4
a x  20 0 0 0
os2 sin os2 1lim tan 2 .t ana limcot 2 . tan lim lim
4 sin 2 cos 2cos 2a a a a
c a a c aT a a a
a a a

   
        
 
Phần 2. Các bài toán về tính liên tục và có đạo hàm của hàm số 
 Hàm số liên tục tại điểm 0x x khi và chỉ khi  
0 0
0lim ( ) lim ( )x x x xf x f x f x    
 Đạo hàm của hàm số ( )y f x tại điểm 0x x là giới hạn hữu hạn ( nếu có ) của 
0
0
0
( ) ( )lim
x x
f x f x
x x


, kí hiệu là 0'( )f x . Chú ý đạo hàm tồn tại khi 
0 0
0 0
0 0
( ) ( ) ( ) ( )lim lim
x x x x
f x f x f x f x
x x x x  
 

 
 ( bạn hãy hiểu thật rõ về 
đạo hàm nhé ) 
Định lí: Nếu hàm số ( )f x có đạo hàm tại 0x thì liên tục tại điểm đó. ( điều ngược lại không phải 
lúc nào cũng đúng ) 
@ Sau đây chúng ta cùng giải một số bài toán về : “ tính liên tục và đạo hàm “. Các dạng này chỉ 
nhằm kiểm tra một tiết, thi học kì dành cho khối 11 hoặc dành cho kì thi tốt nghiêp thời tiền sử 
(he), nhưng ( tôi đang nhấn mạnh ) nếu người ra đề muốn thì họ có thể biến chuyển thành những 
bài toán hay, khá khó, thường có mặt trong các kì thi học sinh giỏi. Giải phần này để ta hiểu hơn 
về lí thuyết từ đó có thể ứng dụng tính liên tục để giải phương trình, cái này mới quan trọng vì thi 
đại học thường có! 
 Thí dụ 20. Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm 1x  : 
lim
x
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN 
 PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN 
 Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com  THÁNG 4. 2009
   mùa thi 2009  Trang 
10
 
 
3 2 2 1
( ) ; 1 11
; 1 2
x x
y f x xx
m x
   

  
 
Lời giải. Trước hết cần hiểu liên tục tại một điểm là như thế nào đã, cái này chúng tôi đã trình bày 
trong phần lí thuyết tóm tắt của phần này! 
 Hàm số liên tục tại điểm 0x x khi và chỉ khi 
 
0 00
0lim ( ) lim ( ) lim ( )
x x x xx x
f x f x f x f x
  
   
Bài toán chúng ta đang xét ứng với 0 1x  , bạn cũng nên biết rằng hàm số của chúng ta đang cần 
xét là hàm hai quy tắc, một điều rất quan trọng nữa là khi 1x  đồng nghĩa với x chưa bằng 1 
hay 1x  . Với nhận xét này chúng ta bắt đầu giải như sau: 
Xét giới hạn 
3 3
1 1 1
2 2 1 2 1 2 1 1 4lim ( ) lim lim
1 1 1 3x x x
x x x xf x
x x x  
       
        
 (?) với những gì 
bạn có trong những ví dụ phần 1 thì việc tính giới hạn này chỉ còn là trò trẻ con! 
Bạn thấy một chút gì đó khó hiểu, ừ đúng, hãy đọc lại đề một lần nữa thật kĩ. Người ta yêu cầu “ 
tìm m “ để hàm số liên tục tại điểm x=1 vậy nên ta đã có một giả thiết cực kì quan trọng là hàm số 
này liên tục tại điểm x=1, điều này tương đương với 
1
lim ( ) (1)
x
f x f

 4
3
m  . Hãy nhớ đây là bài toán tìm m và đề cho hàm số của chúng ta đã liên 
tục tại điểm x=1 rồi. Bài toán này khác với bài toán xét tính liên tục của một hàm số! 
 Thí dụ 21. Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm 
3
x  
t anx 3cot
3( ) ;
3;
3
x
xy f x x
m x



   
 

Lời giải. Như vậy các bạn chỉ cần trình bày như sau 
Xét giới hạn 
3 3
t anx 3cotlim ( ) lim
3x x
xf x a
x   

 

 ( một kết quả nào đó – các bạn tự tìm ha ) 
Vì hàm số liên tục tại 
3
x  nên : 
3
lim ( ) ( )
3x
f x f



 a m  ( nếu bạn vẫn thấy khó hiểu thì nên ngẫm nghĩ lại những gì mình mới 
đọc rồi hãy tiếp tục nha, toán liên quan đến lí thuyết hay lém ) 
@ Hehe, bạn đang tự tin, ui dễ ợt mà có gì không hiểu, ừ nếu như từ những bài giới hạn ban đầu 
mà chúng tôi đề cập đến bạn có thể tạo ra được những bài liên tục như thế này, thì chắc chắn bạn 
đã hiểu rồi đấy! Nào chúng ta cùng qua một số bài tính đạo hàm mà phải dùng đến định nghĩa 
mới mong có solution đẹp! 
lim
x
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN 
 PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN 
 Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com  THÁNG 4. 2009
   mùa thi 2009  Trang 
11
 Thí dụ 22. Tính đạo hàm hàm số sau tại điểm 0x  
t anx sinx
2
1
( ) ; 0
0; 0
e
y f x xx
x
 

  
 
Lời giải. Bạn có thật sự hiểu mình cần làm gì không? 
Xét giới hạn 
t anx sinx t anx sinx
3 30 0 0
( ) (0) 1 1 t anx s inx 1lim lim lim .
0 t anx s inx 2x x x
f x f e eT
x x x
 
  
   
   
 
 ( chú ý đổi 
cận giới hạn nha, khuya quá rồi đang làm biến, thông cảm, các bạn làm cho ra kết quả như trên 
nghen ) 
Vậy 1'(0)
2
f  
@ Liệu có ai trong các bạn đặt ra câu hỏi này : ‘ ủa sao hàm số chưa biết có liên tục hay không 
mà tính đạo hàm trời ‘. Hehe, việc có đạo hàm tại một điểm sẽ làm hàm số liên tục tại điểm đó 
chứ không phải liên tục tại một điểm thì hàm số có đạo hàm tại điểm đó ( làm ơn nhớ dùm ). 
 Thí dụ 23. Tính đạo các hàm số sau 
a. 2
0; 0
( ) 1sin ; 0
x
f x
x x
x


 

 tại điểm x=0 
b. 
0; 0
( ) 1 cos ; 0
x
f x x x
x


 

 tại điểm x=0 
Lời giải. a. 
0 0
( ) (0) 1'(0) lim lim sin 0
0x x
f x ff x
x x 

  

 (?) 
Vì sao giới hạn này bằng không chúng ta hãy dùng nguyên lí kẹp nhá, xem lại ví dụ 11 
b. thí dụ này các bạn làm tương tự. 
@ Các bạn có đặt ra câu hỏi là vì sao chúng tôi lại đặt phần này sau phần giới hạn không, uhm, 
vì khi thành thạo giới hạn rồi việc tính các giới hạn hệ quả như trên mới dễ dàng được. Chúc các 
bạn may mắn, đi ngủ đây ( 30-31/3/2009), hôm nay khuya quá rồi, ngày mới lại đến! 
 Thí dụ 24. Tìm a, b để hàm số : 
2
( ) ; 0(1)
( )
ax 1: 0(2)
bxx a e x
f x
bx x
  
 
  
có đạo hàm tại 0 0x  
Lời giải. Giả sử ( )f x có đạo hàm tại 0 0x  thì ( )f x liên tục tại 0 0x  
0 0
lim ( ) lim ( ) (0)
x x
f x f x f
  
   2
0 0
lim(ax 1) lim( ) bx
x x
bx x a e a
 

 
      ( chú ý x dần tới phía trái 
‘ 0 ’ thì hàm số theo quy tắc (1) và x dần tới phía phải ‘ 0 ’ thì hàm số theo quy tắc (2), ai mong 
lun về khái niệm hàm số thì nên ôn lại nhen ) 
lim
x
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN 
 PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN 
 Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com  THÁNG 4. 2009
   mùa thi 2009  Trang 
12
1 a a   1 a  thay vào hàm số ban đầu ta được 
 
2
1 ; 0
( )
1; 0
bxx e x
f x
x bx x
  
 
  
Điều kiện cần và đủ để ( )f x có đạo hàm tại 0 0x  ( xem lại phần lí thuyết ) : 
0 0
( ) (0) ( ) (0)lim lim
0 0x x
f x f f x f
x x  
 

 
 2
0 0
1 11 1lim lim
0 0
bx
x x
x ex bx
x x 

 
   
 
 
1b b   (?) ( các 
bạn tính ra nghen ) 1
2
b  
Vậy 11;
2
a b  
@ Hãy nhớ lúc này các bạn đã có công lực kha khá về giới hạn rồi nhe, nên việc tính ở trên xin 
dành cho các bạn. Như vậy để giải bài toán dạng này ta căn cứ vào 2 điều kiện: thứ nhất có đạo 
hàm thì phải liên tục, điều kiện thứ hai là điều kiện tồn tại của đạo hàm ( xin nhắc lại rằng bạn 
cần phải hiểu lí thuyết một cách thật cặn kẽ ) 
 Thí dụ 25. Tìm a, b để hàm số 
a) 
2
2
2 ; 2 1( )
ax ; 1
x xf x
x b x
    
 
  
 có đạo hàm tại 0 1x  
b) 
2
; 1
( )
; 1
x x
f x
ax b x

 
 
 có đạo hàm tại 0 1x  
Gợi ý. Với hai bài toán này cách giải hoàn toàn tương tự, toán học đòi hỏi chúng ta phải suy nghĩ 
thật nhiều, tôi hi vọng các bạn chỉ qua một ít bài tập mà sẽ tiếp thu được dạng toán này! Sau đây 
xin nêu lên đáp số cho các bạn kiểm tra giúp 
a. 3; 3a b   
b. 1 1;
2 2
a b  
@ Sao chúng ta không tự tạo ra những bài toán có hệ số là năm sinh của mình hay là của người 
yêu người thân của mình nhĩ? Chúc các bạn may mắn và thật hài lòng với những bài toán mình 
tạo ra! 
 Thí dụ 26. Chứng minh rằng hàm số
1
x
y
x


 liên tục tại 0 0x  nhưng không có đạo 
hàm tại 0 1x  
Lời giải.  Trước tiên chúng ta chứng minh hàm số này liên tục tại 0 0x  
 
00
l imf ( ) lim 0 0
1xx
x
x f
x
  

 Vậy  
0
l imf ( ) 0
x
x f

 nên đại ca này liên tục tại 0 0x  
 Bây giờ chúng ta chứng minh hàm số này không có đạo hàm tại 0 0x  
lim
x
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN 
 PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN 
 Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com  THÁNG 4. 2009
   mùa thi 2009  Trang 
13
    
 0 0
0
lim lim
0 1x x
xf x f
x x x 


 
    
 0 0 0
0 1lim lim lim 1
0 1 1x x x
xf x f
x x x x    

  
  
    
 0 0 0
0 1lim lim lim 1
0 1 1x x x
xf x f
x x x x    
 
   
  
Vậy rõ ràng hàm số này không có đạo hàm tại 0 0x  
Thí dụ 27. Cho hàm số 
3 21 sin 1; 0( )
0; 0
x x xf x
x
    

 Tìm đạo hàm của hàm số tại 0x  (HSG 
Tỉnh Bảng A Nghệ An 2008 – 2009 ) 
Lời giải. cũng giống như những ví dụ trước 
3 2
20 0
( ) (0) 1 sin 1'(0) lim lim
x x
f x f x xf
x x 
  
 
 
2
0 2 32 23
sin'(0) lim
1 sin 1 sin 1x
x xf
x x x x x

      
 20 3 23
s inx 1'(0) limsinx. 0
1 sin 1 sin 1x
f
x x x x x
 
   
. Vậy  ' 0 0f  . 
Nhận xét về bài toán này: tuy là đề thi hsg nhưng rất mềm, không quá khó khăn! 
Thí dụ 28. Cho hàm số 
2 11 os ; 0
( )
0; 0
x c x
f x x
x
       
 
 tính đạo hàm của hàm số tại 0x  ( Huế 
2003 – 2004 ) 
Lời giải. Cũng không khó khăn gì 
0 0 0 0
( ) (0) 1 1'(0) lim lim 1 os lim lim . os 0
0x