Chuyên đề Nguyên Hàm - Lê Kỳ Hội

+ +
∫ ∫ ∫ 
2 2
1 1
2 2
2 1t t
t t
Ax BM N
Ax Bx C Ax Bx C
dx dx+= +
+ + + +
∫ ∫ 
 12. Dạng ( )( )
2
1
1t
t
dx
x a x b∫ + +
. 
 Phương phỏp : 
 ðặt t x a x b= + + + với 
0
0
x a
x b
+ >

+ >
. 
 13. Dạng dx
ax b cx d+ + +∫
. 
 Phương phỏp : 
 ðặt t cx d= + ủưa về dạng ( )( )
P x
dxQ x∫ . 
 14. Dạng ( )
dx
ax b cx d+ +∫
. 
 Phương phỏp : 
 ðặt 
1
t
ax b
=
+
 ủưa về dạng ( )( )
P x
dxQ x∫ . 
 Bài tập : 
 Bài 1: Tỡm nguyờn hàm của cỏc hàm số sau. 
 1. 1
1 1
dx
x+ +∫
. 2. 1
2
x dx
x x
+
−
∫ . 
 3. 
3
1
1 1
dx
x+ +∫
. 4. 
4
1 dx
x x+∫
. 
Chuyờn ủề : Tớch phõn và ứng dụng Biờn Soạn : Lờ Kỳ Hội ðT:0929468794 
 Trang 21 
 5. 
3
x dx
x x−
∫ . 6. ( )1
x dx
x x +∫
. 
 7. 
3 42
dx
x x x+ +∫
. 8. 1 1
1
x dx
x x
−
+∫
. 
 9. 31 1
1
x dx
x x
−
+∫
. 
 10. 
( )23 2 1 2 1
dx
x x+ − +
∫ . 11. 2 5 6
dx
x x− +
∫ . 
 12. 
2 6 8
dx
x x+ +
∫ . 
 C. Dạng 3: ( )f x là hàm lượng giỏc. 
 Ta sử dụng cỏc phộp biến ủổi lượng giỏc thớch hợp ủể ủưa về cỏc nguyờn hàm cơ bản. Chẳng hạn. 
 + ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
sin1 1
.
sin .sin sin sin .sin
x a x b
x a x b a b x a x b
+ − +  
=
+ + − + +
( )
( )
 
=  
 
sin -
 1
sin -
a b
Sử dụng
a b
. 
 + ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
sin1 1
.
cos .cos sin cos .cos
x a x b
x a x b a b x a x b
+ − +  
=
+ + − + +
( )
( )
 
=  
 
sin -
 1
sin -
a b
Sử dụng
a b
. 
 + ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
cos1 1
.
sin .cos cos sin .cos
x a x b
x a x b a b x a x b
+ − +  
=
+ + − + +
( )
( )
 
=  
 
cos -
 1
cos -
a b
Sử dụng
a b
. 
 + Nếu ( ) ( )sin ,cos sin ,cosR x x R x x− = − thỡ ủặt cost x= . 
 + Nếu ( ) ( )sin , cos sin ,cosR x x R x x− = − thỡ ủặt sint x= . 
 + Nếu ( ) ( )sin , cos sin ,cosR x x R x x− − = − thỡ ủặt tant x= (Hoặc cott x= ). 
 1. Dạng ( ) sin .cosf x ax bx= hoặc ( ) cos .cosf x ax bx= hoặc ( ) sin .sinf x ax bx=  
 Phương phỏp : 
 Dựng cụng thức ủổi tớch số thành tổng số. 
Chuyờn ủề : Tớch phõn và ứng dụng Biờn Soạn : Lờ Kỳ Hội ðT:0929468794 
 Trang 22 
 + ( ) ( )1sin .cos sin sin
2
ax bx a b x a b x= + + −   . 
 + ( ) ( )1cos .cos cos cos
2
ax bx a b x a b x= + + −   . 
 + ( ) ( )1sin .sin cos cos
2
ax bx a b x a b x= − + − −   . 
 2. Dạng ( ) 2sin nf x ax= . 
 Phương phỏp : 
 Dựng phương phỏp hạ bậc, thay : 
2 21 cos 2 1 cos 2sin , cos
2 2
ax ax
ax ax
− +
= = 
2 1 cos 2sin
2
n
n axxdx dx− ⇒ =  
 
∫ ∫ . 
 3. Dạng ( ) 2cos nf x ax= . 
 Phương phỏp : 
 Như trờn : 2 1 cos 2cos
2
n
n xxdx dx+ =  
 
∫ ∫ . 
 4. Dạng ( ) 2 2sin cosn mf x ax ax= . 
 Phương phỏp : 
 Thay 2 2cos 1 sinax ax= − chuyển về dạng 2 hoặc thay 2 2sin 1 cosax ax= − chuyển về dạng 3. 
 5. Dạng ( )
2
2
sin
cos
n
m
x af x
x b
+
=
+
. 
 Phương phỏp : 
 ðặt tant x= . 
 Bài tập: 
 Bài 1: Tỡm nguyờn hàm của cỏc hàm số sau. 
 1. sin 2 sin 5x xdx∫ . 2. cos sin 3x xdx∫ . 
Chuyờn ủề : Tớch phõn và ứng dụng Biờn Soạn : Lờ Kỳ Hội ðT:0929468794 
 Trang 23 
 3. ( )2 4tan tanx x dx+∫ . 4. cos 21 sin cos
x dx
x x+∫
. 
 5.
2sin 1
dx
x +∫
. 6. 
cos
dx
x∫
. 
 7. 
sin
dx
x∫
. 8. 1 sin
cos
xdx
x
−
∫ . 
 9. 
3sin
cos
xdx
x∫
. 10. 
cos cos
4
dx
x x
pi + 
 
∫ . 
 11. cos cos 2 cos3x x xdx∫ . 12. 
3cos xdx∫ . 
 13. 4sin xdx∫ . 
Chuyờn ủề : Tớch phõn và ứng dụng Biờn Soạn : Lờ Kỳ Hội ðT:0929468794 
 Trang 24 
 1. Khỏi niệm tớch phõn : 
 - Cho hàm số ( )f x liờn tục trờn K và , a b K∈ . Nếu ( )F x là một nguyờn hàm trờn K thỡ : 
 ( ) ( )F b F a− ủược gọi là tớch phõn của hàm ( )f x từ a ủến b và kớ hiệu là ( )
b
a
f x dx∫ . 
 Hay 
 - ðối với biến số lấy tớch phõn, ta cú thể chọn bất kỡ một chữ khỏc thay cho x, tức là. 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )....
b b b
a a a
f x dx f t dx f u dx F b F a= = = = −∫ ∫ ∫ . 
 - í nghĩa hỡnh học : Nếu hàm số ( )y f x= liờn tục và khụng õm trờn ủoạn [ ],a b thỡ diện tớch S của 
 hỡnh thang cong giới hạn bỡi ủũ thị ( )y f x= , trục Ox và 2 ủường thẳng , x a x b= = là : 
 ( )
b
a
S f x dx= ∫ . 
 2. Tớnh chất của tớch phõn : 
 1. ( )
0
0
0f x dx =∫ . 
 2. ( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx= −∫ ∫ . 
 3. ( ) ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx=∫ ∫ (k là một hằng số). 
 4. ( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx± = ±  ∫ ∫ ∫ . 
Chuyờn ủề 2 : Tớch phõn. 
( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a= −∫
Chuyờn ủề : Tớch phõn và ứng dụng Biờn Soạn : Lờ Kỳ Hội ðT:0929468794 
 Trang 25 
 5. ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫ . 
 6. Nếu ( ) 0f x ≥ trờn [ ],a b thỡ ( ) 0
b
a
f x dx ≥∫ . 
 7. Nếu ( ) ( )f x g x≥ trờn [ ],a b thỡ ( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx≥∫ ∫ . 
 3. Phương phỏp tớnh tớch phõn : 
 a. Phương phỏp ủổi biến số. 
 ( ) ( ) ( )
( )
( )
'
u bb
a u a
f u x u x dx f u du=  ∫ ∫ . 
 Trong ủú : ( )u u x= cú ủạo hàm liờn tục trờn K , ( )y f u= liờn tục và hàm hợp ( )f u x   xỏc ủịnh 
 trờn K và , a b K∈ . 
 b. Phương phỏp tớch phõn từng phần. 
 Nếu , u v là hai hàm cú ủạo hàm liờn tục trờn K và , a b K∈ thỡ : 
b b
a a
b
udv uv vdu
a
= −∫ ∫ . 
 Chỳ ý : 
 - Cần xem lại cỏc phương phỏp tỡm nguyờn hàm. 
 - Trong phương phỏp tớch phõn từng phần, ta cần chọn sao cho 
b
a
vdu∫ dễ tớnh hơn 
b
a
udv∫ . 
 I. Vấn ủề 1: Tớnh tớch phõn bằng cỏch sử dụng bảng nguyờn hàm. 
 Biến ủổi biểu thức hàm số ủể sử dụng ủược bảng cỏc nguyờn hàm cơ bản. Tỡm nguyờn hàm ( )F x 
 của ( )f x , Rồi sử dụng trực tiếp ủịnh nghĩa tớch phõn. 
 ( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a= −∫ 
 Chỳ ý : ðể sử dụng phương phỏp này cần phải : 
Chuyờn ủề : Tớch phõn và ứng dụng Biờn Soạn : Lờ Kỳ Hội ðT:0929468794 
 Trang 26 
 - Nắm vững bảng cỏc nguyờn hàm. 
 - Nắm vững phộp tớnh vi phõn. 
 Bài tập: 
 Bài 1: Tớnh cỏc tớch phõn sau. 
 1. ( )2 3
1
2 1x x dx+ +∫ . 2. 
2
2 3 1
1
3 xx e dx
x
+ + + 
 
∫ . 
 3. 
2
2
1
1x dx
x
−
∫ . 4. 
2
2
1 2
x dx
x
−
+∫
. 
 5. 
( )241
2
2
4x
dx
x
−
−
+
∫ . 6. ( )2 2 3
1
x x x x dx+ +∫ . 
 7. ( )4 3 4
1
2 4x x x dx+ −∫ . 8. 
2 2
3
1
2x xdx
x
−
∫ . 
 9. 
8
3 2
1
14
3
x dx
x
 
− 
 
∫ . 10. 
2
1
1x dx+∫ . 
 11. 
5
2 2 2
dx
x x+ + −∫
. 12. 
2
2
0 1
xdx
x−
∫ . 
 13. 
2 2
3
0
3
1
x dx
x+
∫ . 14. 
4
2
0
9x x dx+∫ . 
 15. 
0
sin 2
6
x dx
pi pi 
+ 
 
∫ . 16. ( )
6
3
2sin 3cosx x x dx
pi
pi
+ +∫ . 
 17. ( )
6
0
sin 3 cos 2x x dx
pi
+∫ . 18. 
4
2
0
tan
cos
x dx
x
pi
∫ . 
 19. 
3
2
4
3tan xdx
pi
pi
∫ . 20. ( )
4
2
6
2cot 5x dx
pi
pi
+∫ . 
 21. 
2
0 1 sin
dx
x
pi
+∫
. 22. 
2
0
1 cos
1 cos
x dx
x
pi
−
+∫
. 
Chuyờn ủề : Tớch phõn và ứng dụng Biờn Soạn : Lờ Kỳ Hội ðT:0929468794 
 Trang 27 
 23. 
2
2 2
0
sin .cosx xdx
pi
∫ . 24. ( )
3
2
6
tan cotx x dx
pi
pi
−∫ . 
 25. 
2
2
sin
4
sin
4
x
dx
x
pi
pi
pi
pi
−
 
− 
 
 + 
 
∫ . 26. 
4
4
0
cos xdx
pi
∫ . 
 27. 
1
0
x x
x x
e e dx
e e
−
−
−
+∫
. 28. ( )
2
2
1
1
ln
x
dx
x x x
+
+∫
. 
 29. 
1 2
0
4
2
x
x
e dx
e
−
+∫
. 30. 
ln 2
0 1
x
x
e dx
e +∫
. 
 31. 
4
1
xe dx
x
∫ . 32. 
1
1 lne x dx
x
+
∫ . 
 33. 
1
lne x dx
x∫
. 34. 
2
1
0
xxe dx∫ . 
 35. 
1
0
1
1 x
dx
e+∫
. 
 II. Vấn ủề 2: Tớnh tớch phõn bằng phương phỏp ủổi biến số. 
 Dạng 1 : Giả sử cần tớnh ( )
b
a
g x dx∫ . 
 Nếu viết ủược ( )g x dưới dạng : ( ) ( ) ( ). 'g x f u x u x=    thỡ ( ) ( )
( )
( )u bb
a u a
g x dx f u du=∫ ∫ . 
 Dạng 2 : Giả sử cần tớnh ( )f x dx
β
α
∫ . 
 ðặt ( ) ( ) x x t t K= ∈ và , a b K∈ thỏa món ( ) ( ), x a x bα β= = thỡ 
 ( ) ( ) ( ) ( )'
b b
a a
f x dx f x t x t dt g t dt
β
α
= =  ∫ ∫ ∫ với ( ) ( ) ( )'g t f x t x t=    . 
 Dạng 2 thường gặp ở cỏc trường hợp. 
Chuyờn ủề : Tớch phõn và ứng dụng Biờn Soạn : Lờ Kỳ Hội ðT:0929468794 
 Trang 28 
( )f x cú chứa Cỏch ủổi biến 
2 2a x− 
ðặt sinx a t= với 
2 2
t
pi pi
− ≤ ≤ 
Hoặc cosx a t= với 0 t pi≤ ≤ 
2 2a x+ 
ðặt tanx a t= với 
2 2
t
pi pi
− < < 
Hoặc cosx a t= với 0 t pi< < 
2 2x a− 
ðặt 
sin
a
x
t
= với { }, 0
2 2
t
pi pi 
∈ −  
Hoặc 
cos
a
x
t
= với [ ]0,
2
t
pi
pi
 
∈  
 
 Bài tập: 
 Bài 1: Tớnh cỏc tớch phõn sau (ðổi biến dạng 1). 
 1. ( )
1
19
0
1x x dx−∫ . 2. ( )
1 3
32
0 1
x dx
x+
∫ . 
 3. 
1 5
2
0 1
x dx
x +∫
. 4. 
1
0 2 1
x dx
x +∫
. 
 5. 
1
2
0
1x x dx−∫ . 6. 
1
3 2
0
1x x dx−∫ . 
 7. 
2 3
2
5 4
dx
x x +
∫ . 8. 
3 5 3
2
0
2
1
x x dx
x
+
+
∫ . 
 9. 
ln 2
0 1
x
x
e dx
e+∫
. 10. 
( )
ln3
3
0 1
x
x
e dx
e+
∫ . 
 11. 
1
2 ln
2
e
xdx
x
+
∫ . 12. 
1
1 3ln lne x xdx
x
+
∫ . 
Chuyờn ủề : Tớch phõn và ứng dụng Biờn Soạn : Lờ Kỳ Hội ðT:0929468794 
 Trang 29 
 13. 
2
2 2
0
sin 2
cos 4sin
x dx
x x
pi
+
∫ . 14. 
32
2
0
cos .sin
1 sin
x xdx
x
pi
+∫
. 
 Bài 2: Tớnh cỏc tớch phõn sau (ðổi biến dạng 2). 
 1. 
1
2
2
0 1
dx
x−
∫ . 2. 
1 2
2
0 4
x dx
x−
∫ . 
 3. 
1
2 2
0
4x x dx−∫ . 4. 
3
2
0 3
dx
x +∫
. 
 5. ( )( )
1
2 2
0 1 2
dx
x x+ +∫
. 6. 
1
4 2
0 1
xdx
x x+ +∫
. 
 7. 
0
2
1 2 2
dx
x x
−
+ +
∫ . 8. 
2 2
3
1
1x dx
x
−
∫ . 
 9. 
( )
1
520 1
dx
x+
∫ . 10. 
2
3
2
2 1
dx
x x −
∫ . 
 11. 
2
22
2
0 1
x dx
x−
∫ . 12. 
2
2
0
2x x x dx−∫ . 
 III. Vấn ủề 3: Tớnh tớch phõn bằng phương phỏp tớch phõn từng phần. 
 Với ( )P x là ủa thức của x ta thường gặp cỏc dạng sau. 
 ( ). xP x e dx∫ ( ).cosP x xdx∫ ( ).sinP x xdx∫ ( ).lnP x xdx∫ 
u ( )P x ( )P x ( )P x ln x 
dv xe dx cos xdx sin xdx ( )P x 
Chuyờn ủề : Tớch phõn và ứng dụng Biờn Soạn : Lờ Kỳ Hội ðT:0929468794 
 Trang 30 
 Bài tập: 
 Bài 1: Tớnh cỏc tớch phõn sau. 
 1. 
4
0
sin 2x xdx
pi
∫ . 2. ( )
2
2
0
sin cosx x xdx
pi
+∫ . 
 3. 
2
2
0
cosx xdx
pi
∫ . 4. 
2
4
0
cosx xdx
pi
∫ . 
 5. 
3
2
4
tanx xdx
pi
p