Chuyên đề Ứng dụng phương pháp tọa độ trong không gian

0
4
a h
MN AC AM    
  
  MN và AC chéo nhau 
 
4
2
2
4
],[
].,[
,
22
2
a
ha
ha
ACMN
AMACMN
ACMNd 
Ví dụ 4 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a ; SA a ; 3SB a 
và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các 
cạnh AB, BC . Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai 
đường thẳng SM, DN ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối B năm 2008 ) 
Hướng dẫn Bài giải 
Dựng hình : 
 Gọi H là hình chiếu vuông góc 
của S trên AB  SH  (ABCD) 
Ta có : 
2 2 2 2 23SA SB a a AB    
 SAB vuông tại S SM a  
Do đó : SAM đều 3
2
a
SH  
 Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông 
góc Oxyz như sau : (0;0;0)H ; 
S
3
0;0;
2
a 
  
 
 ; A ;0;0
2
a  
 
 ; 
B
3
;0;0
2
a 
 
 
 ; D ;2 ;0
2
a
a
  
 
 ; 
M ;0;0
2
a 
 
 
 ; N
3
; ;0
2
a
a
 
 
 
3
;0;
2 2
a a
SM
 
   
 

3 3
; ;
2 2
a a
SN a
 
   
 

3 3
;0;
2 2
a a
SB
 
   
 

+ Thể tích khối chóp S.BMDN 
.S BMDN SMNB SMNDV V V  
2 2 23 3
, ; ;
2 2 2
a a a
SM SN
 
       
 
 
3 3
,
2
a
SM SN SB   
  
 ; 
33 3
,
2
a
SM SN SD   
  
31 3
,
6 12SMNB
a
V SM SN SB   
  
31 3
,
6 4SMND
a
V SM SN SD   
  
 S 
A 
B 
C 
D 
N 
M 
x 
y 
z 
H K 
 7 
3
;2 ;
2 2
a a
SD a
 
    
 

 2 ; ;0DN a a 

3 3 3
.
3 3 3
12 4 3S BMDN SMNB SMND
a a a
V V V     
+ Công thức tính góc giữa SM, DN 
 
.
cos ,
.
SM DN
SM DN
SM DN

 
  
+ Tính cosin của góc giữa SM, DN 
  
2
2 2
2 2
1
cos ,
53
4
4 4
a
SM DN
a a
a a
 
 
Ví dụ 5. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB BC a  , 
cạnh bên ' 2AA a . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ 
ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C ( trích đề thi tuyển sinh ĐH 
&CĐ khối D năm 2008 ) 
Hướng dẫn Bài giải 
Dựng hình : 
 Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc 
Oxyz như sau : 
 (0;0;0)B 
A  0; ;0a ; C  ;0;0a ; B’  0;0; 2a 
M ;0;0
2
a 
 
 
; ;0
2
a
AM a
   
 

 ;  ' ;0; 2B C a a 

 ' 0; ; 2AB a a 

Chứng minh AM và B’C chéo nhau 
2
2 2, ' 2; ;
2
a
AM B C a a
        
 
+ Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ 
 3. ' ' '
1
'. 2
2ABC A B C ABC
V AA S a  đvtt 
+ Khoảng cách giữa AM và B’C 
Vì : 
3
, ' '
2
a
AM B C AB   
  
 AM và B’C chéo nhau 
 
, ' '
, '
, '
AM B C AB
d AM B C
AM B C
 
 
 
 
  
  
3
4 4 4
72
71
2
2
a
a
a a a
 
 
 A’ 
B 
C’ 
M 
x 
z 
B’ 
C 
A 
y 
 8 
Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ,   090BAD ABC  
AB BC a  , 2AD a , SA vuông góc với đáy và 2SA a . Gọi M,N lần lượt là trung điểm 
của SA và SD. Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp 
S.BCNM theo a ( trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng năm 2008 ) 
Hướng dẫn Bài giải 
Dựng hình : 
 Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc 
Oxyz như sau : 
(0;0;0)A ; B  ;0;0a ; C  ; ;0a a ; 
D  0;2 ;0a ; S  0;0;2a 
M  0;0;a ; N  0; ;a a 
 0; ;0MN a

 ;  0; ;0BC a

 ;0;MB a a 

 0;0;SM a 

 ;  ; ;SC a a a 

 ;0; 2SB a a 

 ;  0; ;SN a a 

 2 2, ; ;0SM SC a a    
 
3,SM SC SB a   
  
3,SM SC SN a    
  
+ Chứng minh BCNM là hình chữ nhật 
. 0
MN BC
MN MB
 


 
  BCNM là hình chữ nhật 
+ Tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo a 
.S BCNM SMCB SMCNV V V  
31
,
6 6SMCB
a
V SM SC SB   
  
31
,
6 6SMCN
a
V SM SC SN   
  
3
. 3S BCNM SMCB SMCN
a
V V V   đvtt 
Ví dụ 7 . Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh đều bằng a . 
a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD 
b. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) 
c. Tính góc giữa SB và mặt phẳng (SCD) 
Hướng dẫn Bài giải 
Dựng hình : 
 Gọi O AC BD  
 )(ABCDSO  
2
2 2 2 2
2 2
a a
SO SC OC a     
 Chọn hệ trục toạ độ Đêcac 
vuông góc Oxyz như sau : 
B 
M 
x 
z 
C 
A y 
N 
D 
S 
z 
S 
A 
B C 
D 
O 
x 
y 
 9 
)0;0;0(O ; S
2
0;0;
2
a 
  
 
 ; 
A
2
;0;0
2
a 
  
 
 ; C
2
;0;0
2
a 
  
 
D 







0;
2
2
;0
a
 ; B 







 0;
2
2
;0
a
Phương trình mặt phẳng (SCD) 
(SCD): 1
2 2 2
2 2 2
x y z
a a a
   
2
0
2
a
x y z     
a.Tính thể tích khối chóp S.ABCD 
3
2
.
1 1 2
. . .
3 3 62
S ABCD ABCD
a a
V SO S a   
a. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng 
(SCD) 
Phương trình mặt phẳng (SCD) 
(SCD):
2
0
2
a
x y z    
 
2 2
2 2 2 6
, ( )
33 3
a a
a a
d A SCD
 
   
Ví dụ 8 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ,   090ABC BAD  AB BC a  , 
2AD a , SA vuông góc với đáy và 2SA a . Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Chứng 
minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) ( trích đề 
thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2007 ) 
Hướng dẫn Bài giải 
Dựng hình : 
 Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc 
Oxyz như sau : 
(0;0;0)A ; B  ;0;0a ; C  ; ;0a a ; 
D  0;2 ;0a ; S  0;0;2a 
 ;0; 2SB a a 

 ; ; 2SC a a a 

 0;2 ; 2SD a a 

 2 2 2, 2; 2;2SC SD a a a   
 
  2 2 1;1; 2a 
+ Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu 
vuông góc của A trên SB 
Phương trình tham số của SB : 
SB : 0
2
x a at
y
z a t
  




 ( t R ) 
+ Chứng minh tam giác SCD vuông 
 ; ; 2SC a a a 

 ;  ; ;0CD a a 

. 0SC CD SC CD  
 
Tam giác SCD vuông tại C 
+ Tính ( theo a ) khoảng cách từ H đến (SCD) 
Tọa độ điểm H : 
 ( ; ; ) ;0; 2H x y z SB H a at a t   
B 
I 
x 
z 
C 
A 
y 
H 
D 
S 
 10 
+ Viết phương trình mặt phẳng (SCD) 
(SCD) đi qua điểm S và nhận vectơ 
 1;1; 2n 

 làm pháp vectơ 
(SCD) : 1( 0) 1( 0) 2( 2) 0x y z a      
( ;0; 2 )AH a at a t 

. 0AH SB AH SB  
 
 2 2
1
3 0
3
a t a t      
2 2
;0;
3 3
a a
H
 
   
 
+ Khoảng cách từ H đến (SCD) 
Phương trình mặt phẳng (SCD) 
(SCD) : 2 2 0x y z a    
 
2 2
2
3 3
, ( )
2 3
a a
a
a
d H SCD
 
  
\ 
Ví dụ 9 . Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = 2a . Gọi M, N, P lần lượt là 
trung điểm của các cạnh SA, SB và CD. Chứng minh rằng đường thẳng MN vuông góc với đường 
thẳng SP. Tính theo a thể tích của khối tứ diện AMNP. 
Giải 
Gọi O là tâm của ABCD. Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ với 
O(0;0;0), C(
2
2
a
;0;0), A(
2
2
a
 ;0;0), D(0;
2
2
a
;0), 
B(0; 
2
2
a
 ;0), S(0;0;
6
2
a
) ( 2 2
6
2
a
SO SA OA   ). 
M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh 
SA, SB và CDM(
2
4
a
 ;0; 
6
4
a
), 
N(0; 
2
4
a
 ;
6
4
a
), P(
2
4
a
;
2
4
a
;0). 
Khi đó 
2 2
( ; ;0)
4 4
a a
MN  

, 
2 2 6
( ; ; )
4 4 2
a a a
SP  
 2 22 2 6
. 0.( ) 0
16 16 2
a a a
MN SP MN SP       
 
. 
Mặt khác, ta lại có 
2 6
( ;0; )
4 4
a a
AM 

, 
3 2 2
( ; ;0)
4 4
a a
AP 

, 
2 2 6
( ; ; )
2 4 4
a a a
AN  

3 6
, . 0
8
a
AM AP AN     
   31 6
, . .
6 48AMNP
a
V AM AP AN    
  
Ví dụ 10 (ĐH khối D – 2007). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,   90ABC BAD   , 
BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA = 2a . Gọi H là hình chiếu vuông 
góc của A lên SB. 
Chứng minh tam giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD). 
Giải 
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, với A O(0;0;0), B(a;0;0), D(0;2a;0), C(a;a;0), S(0;0; 2a ). 
Khi đó ( ; ; 2), ( ; ;0)SC a a a CD a a   
 
. 0SC CD SC CD   
 
, hay tam giác SCD vuông tại 
C. 
Mặt khác (SCD) có VTPT là 2 2 2, ( 2; 2;2 )SC CD a a a   
 
O 
A 
B C 
x 
D 
y 
S 
z 
N 
M 
P 
 11 
( ) :1.( ) 1.( ) 2.( 0) 0SCD x a y a z       
hay (SCD): 2 2 0x y z a    . 
Đường thẳng SB có phương trình tham số là 
 0
2
x a t
y
z t
  


  
( ;0; 2 )H SB H a t t    . 
. 0
3
a
AH SB AH SB t     
 
. 
Vậy 
2 2
( ;0; )
3 3
a a
H . 
Từ đó suy ra khoảng cách từ H đến (SCD) là 
2 2
2
3 3( ,( ))
31 1 2
a a
a
a
d H SCD
 
 
 
. 
Ví dụ 11 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt 
phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua 
SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. 
Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a. 
Giải 
Theo giả thiết (SAB), (SAC) cùng 
vuông góc với (ABC) nên SA (ABC). 
Góc giữa (SBC) và (ABC) là 
  60SBA   . 
. tan60 2 3SA AB a   . 
Mặt phẳng qua SM, song song BC, cắt AC 
tại NMN // BCN là trung điểm AC. 
Do đó tam giác AMN vuông cân tại M. 
Khi đó, ta có 
.
1 1
. .( )
3 3S BCNM BCNM ABC AMN
V SA S SA S S   
2 2
31 4.2 3.( ) 3
3 2 2
a a
a a   . 
Bây giờ ta tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, SN bằng phương pháp tọa độ. 
Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, với B là gốc tọa độ, (2 ;0;0), (0;2 ;0), (0;2 ;2 3)C a A a S a a . 
N là trung điểm AC ( ; ;0) ( ; ; 2 3)N a a SN a a a    

. 
Mặt khác 2 2(0;2 ;0) , (4 3;0;2 )BA a SN BA a a    
  
. 
Lại có ( ; ;0)BN a a
 3
2
, . 4 3 2 39
( , )
132 13,
SN BA BN a a
d SN AB
aSN BA
     
  
  
  . 