Chuyên đề luyện thi Đại học, Cao đẳng môn Toán - Hàm số

t 
§å thÞ hµm sè lu«n nhËn Oy lµ trôc ®èi xøng.
NÕu hµm sè cã ba cùc trÞ trÞ chóng t¹o thµnh mét tam gi¸c c©n.
D¹ng to¸n: Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè
VÝ dô 1 (TNTHPT-2008)
Cho hµm sè 
Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè.
ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x = -2
VÝ dô 2. Cho hµm sè 
Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m =0
Víi gi¸ trÞ nµo cña m hµm sè cã 3 cùc trÞ
Bµi tËp hµm sè trïng ph­¬ng
Bµi 1. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ c¸c hµm sè sau:
Bµi 2. 
Cho hµm sè 
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m =1
T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè cã ba cùc trÞ lµ ba ®Ønh cña tam gi¸c vu«ng c©n.
Bµi 3 (§H §µ L¹t - 2002)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh 
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè y = 
BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh 
Bµi 4 (§H Th¸i Nguyªn - 2002) 
Cho hµm sè 
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 1
H·y x¸c ®Þnh m ®Ó hµm sè ®å thÞ hµm sè cã 3 cùc trÞ
Bµi 5. (§H Vinh - 2002)
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè 
X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 4 nghiÖm ph©n biÖt.
Bµi 6
Cho hµm sè 
Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè
BiÖn luËn theo k sè giao ®iÓm cña (C) víi ®å thÞ (P) cña hµm sè 
Bµi 7
Cho hµm sè 
Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè khi m = 1
X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè ®· cho tiÕp xóc víi trôc hoµnh t¹i 2 ®iÓm
Bµi 8. (§H CÇn th¬ - 2002)
Cho hµm sè (Cm)
Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 0
T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ (Cm) cña hµm sè chØ cã hai ®iÓm chung víi Ox
Chøng minh víi mäi m tam gi¸c cã 3 ®Ønh lµ ba cùc trÞ lµ mét tam gi¸c vu«ng c©n.
HOÏ ÑÖÔØNG CONG
BAØI TOAÙN TOÅNG QUAÙT:
Cho hoï ñöôøng cong ( m laø tham soá )
Bieän luaän theo m soá ñöôøng cong cuûa hoï ñi qua ñieåm cho tröôùc.
PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI:
Ta coù : 
 Hoï ñöôøng cong ñi qua ñieåm (1)
Xem (1) laø phöông trình theo aån m. 
Tuøy theo soá nghieäm cuûa phöông trình (1) ta suy ra soá ñöôøng cong cuûa hoï (Cm) ñi qua M0
Cuï theå:
Neáu phöông trình (1) coù n nghieäm phaân bieät thì coù n ñöôøng cong cuûa hoï (Cm) ñi qua M0
Neáu phöông trình (1) voâ nghieäm thì moïi ñöôøng cong cuûa hoï (Cm) ñeàu khoâng ñi qua M0
Neáu phöông trình (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi m thì moïi ñöôøng cong cuûa hoï (Cm) ñeàu ñi qua M0
 Trong tröôøng hôïp naøy ta noùi raèng M0 laø ñieåm coá ñònh cuûa hoï ñöôøng cong 
D¹ng 1: 
TÌM ÑIEÅM COÁ ÑÒNH CUÛA HOÏ ÑÖÔØNG CONG
BAØI TOAÙN TOÅNG QUAÙT:
Cho hoï ñöôøng cong ( m laø tham soá )
	Tìm ñieåm coá ñònh cuûa hoï ñöôøng cong (Cm)	
PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI
Böôùc 1: Goïi laø ñieåm coá ñònh (neáu coù) maø hoï (Cm) ñi qua. Khi ñoù phöông trình:
 nghieäm ñuùng m (1)
Böôùc 2: Bieán ñoåi phöông trình (1) veà moät trong caùc daïng sau:
 Daïng 1: 
	 Daïng 2: 
 AÙp duïng ñònh lyù: (2)
 (3)
 Böôùc 3: Giaûi heä (2) hoaëc (3) ta seõ tìm ñöôïc 
Bµi tËp 
Bµi 1. Cho hä (Cm) . CMR: Khi m thay ®æi th× hä ®­êng cong lu«n qua mét ®iÓm cè ®Þnh.
Bµi 2. Cho hä ®å thÞ (Cm): . T×m c¸c ®iÓm cè ®Þnh mµ ®å thÞ cña hµm sè lu«n ®i qua víi mäi 
Bµi 3. Cho hä (Cm) cã ph­¬ng tr×nh: . Chøng minh r»ng (Cm) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.
Bµi 4. Cho hµm sè (Cm): 
Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 1.
Chøng minh r»ng hä ®­êng cong lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.
Bµi 5. Cho hµm sè: . Gäi (Hm) lµ ®å thÞ cña hµm sè ®· cho.
Chøng minh r»ng víi mäi , hä ®­êng cong lu«n qua 2 ®iÓm cè ®Þnh.
Gäi M lµ giao ®iÓm cña 2 tiÖm cËn. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M khi m thay ®æi.
Bµi 6. Cho hµm sè: . Chøng minh r»ng hä ®å thÞ lu«n qua ba ®iÓm cè ®Þnh vµ 3 ®iÓm cè ®Þnh ®ã cïng n»m trªn mét ®­êng th¼ng.
D¹ng 2: T×m ®iÓm hä ®å thÞ hµm sè kh«ng ®i qua
Ph­¬ng ph¸p:
B1: Gi¶ sö M(x0; y0) lµ ®iÓm mµ hä ®­êng cong kh«ng thÓ ®i qua.
B2: Khi cã ph­¬ng tr×nh: v« nghiÖm víi m tõ ®ã t×m ®­îc (x0; y0)
B3: KÕt luËn vÒ ®iÓm mµ hä ®­êng cong kh«ng thÓ ®i qua.
Bµi 1. Cho hµm sè . T×m c¸c ®iÓm mµ (Cm) kh«ng thÓ ®i qua.
Bµi 2. Cho hµm sè 
Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 1.
T×m c¸c ®iÓm trªn ®­êng th¼ng x = 1, sao cho kh«ng thÓ cã gi¸ trÞ nµo cña m ®Ó ®å thÞ hµm sè ®i qua.
Bµi 3. Cho ®å thÞ hµm sè . Chøng minh r»ng trªn ®­êng cong y = x2 cã hai ®iÓm mµ (Cm) kh«ng ®i qua víi mä m.
CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 
1. Bình phương 2 vế của phương trình 
Phương pháp 
Thông thường nếu ta gặp phương trình dạng : , ta thường bình phương 2 vế , điều đó đôi khi lại gặp khó khăn hãy giải ví dụ sau
và ta sử dụng phép thế :ta được phương trình : 
Ví dụ 
 Giải phương trình sau : 
Giải: Đk 
Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta được:, để giải phương trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơi phức tạp một chút .
Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trình : 
Bình phương hai vế ta có : 
Thử lại x=1 thỏa
Nhận xét : Nếu phương trình : 
Mà có : , thì ta biến đổi phương trình về dạng : sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả 
Bài 2. Giải phương trình sau : 
Giải:
Điều kiện : 
Bình phương 2 vế phương trình ?
Nếu chuyển vế thì chuyển như thế nào? 
Ta có nhận xét : , từ nhận xét này ta có lời giải như sau :
Bình phương 2 vế ta được: 
Thử lại : l nghiệm 
Qua lời giải trên ta có nhận xét : Nếu phương trình :
 Mà có : thì ta biến đổi 
2. Trục căn thức 
2.1. Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung 
Phương pháp 
Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm như vậy phương trình luôn đưa về được dạng tích ta có thể giải phương trình hoặc chứng minh vô nghiệm , chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía vô nghiệm 
 Ví dụ 
Bài 1 . Giải phương trình sau : 
Giải: 
Ta nhận thấy : v 
Ta có thể trục căn thức 2 vế : 
Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình .
Bài 2. Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) : 
Giải: Để phương trình có nghiệm thì : 
Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng 
, để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau :
Dễ dàng chứng minh được : 
Bài 3. Giải phương trình :
Giải :Đk 
Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình 
Ta chứng minh : 
Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3
2.2. Đưa về “hệ tạm “
a) Phương pháp 
Nếu phương trình vô tỉ có dạng , mà : 
ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của . Ta có thể giải như sau :
, khi đĩ ta có hệ: 
b) Ví dụ 
Bài 4. Giải phương trình sau :
Giải:
Ta thấy : 
 không phải là nghiệm 
Xét 
Trục căn thức ta có : 
Vậy ta có hệ: 
Thử lại thỏa; vậy phương trình có 2 nghiệm : x=0 v x=
Bài 5. Giải phương trình : 
Ta thấy : , như vậy không thỏa mãn điều kiện trên.
Ta có thể chia cả hai vế cho x và đặt thì bài toán trở nên đơn giản hơn
Bài tập đề nghị
Giải các phương trình sau :
 (HSG Toàn Quốc 2002)
 (OLYMPIC 30/4-2007)
3. Phương trình biến đổi về tích 
Sử dụng đẳng thức 
Bài 1. Giải phương trình : 
Giải: 
Bi 2. Giải phương trình : 
Giải:
+ , không phải là nghiệm 
+ , ta chia hai vế cho x: 
Bài 3. Giải phương trình: 
Giải: 
pt
Bài 4. Giải phương trình : 
Giải: 
Đk: 
Chia cả hai vế cho : 
 Dùng hằng đẳng thức 
Biến đổi phương trình về dạng :
Bài 1. Giải phương trình : 
Giải:
Đk: khi đó pt đ cho tương đương :
Bài 2. Giải phương trình sau :
Giải:
Đk: phương trình tương đương : 
Bài 3. Giải phương trình sau : 
Giải : pttt 
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ
1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường 
Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải chúng ta có thể đặt và chú ý điều kiện của nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo thì việc đặt phụ xem như “hoàn toàn ” .Nói chung những phương trình mà có thể đặt hoàn toàn thường là những phương trình dễ .
Bài 1. Giải phương trình: 
Điều kiện: 
Nhận xét. 
Đặt thì phương trình có dạng: 
Thay vào tìm được 
Bài 2. Giải phương trình: 
Giải
Điều kiện: 
Đặt thì . Thay vào ta có phương trình sau:
Ta tìm được bốn nghiệm là: 
Do nên chỉ nhận các gái trị 
Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình l: 
Cách khác: Ta có thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện 
Ta được: , từ đó ta tìm được nghiệm tương ứng.
Đơn giản nhất là ta đặt : và đưa về hệ đối xứng (Xem phần dặt ẩn phụ đưa về hệ)
Bài 3. Giải phương trình sau: 
Điều kiện: 
Đặt thì phương trình trở thnh: ( với 
Từ đó ta tìm được các giá trị của 
Bài 4. (THTT 3-2005) Giải phương trình sau :
Giải: đk 
Đặt pttt
Bài 5. Giải phương trình sau : 
Giải:
Điều kiện: 
Chia cả hai vế cho x ta nhận được:
Đặt , ta giải được.
Bài 6. Giải phương trình : 
Giải: không phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được: 
Đặt t=, Ta có : 
Bài tập đề nghị 
Giải các phương trình sau
Nhận xét : đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết được một lớp bài đơn giản, đôi khi phương trình đối với lại quá khó giải 
2. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :
Chúng ta đã biết cách giải phương trình: (1) bằng cách 
Xét phương trình trở thành : 
 thử trực tiếp 
Các trường hợp sau cũng đưa về được (1)
Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này .
a) . Phương trình dạng : 
Như vậy phương trình có thể giải bằng phương pháp trên nếu 
Xuất phát từ đẳng thức :
Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như:
Để có một phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai giải “ nghiệm đẹp”
Bài 1. Giải phương trình : 
Giải: Đặt 
Phương trình trở thành : 	Tìm được: 
Bài 2. Giải phương trình :
Bài 3: giải phương trình sau :
Giải: 
Đk: 
Nhận xt : Ta viết 
Đồng nhất thức ta được: 
Đặt , ta được: 
 Ta được :
Bài 4. Giải phương trình :
Giải:
Nhận xét : Đặt ta hãy biến pt trên về phương trình thuần nhất bậc 3 đối với x và y :
Pt có nghiệm :
b).Phương trình dạng : 
Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưg nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên.
Bài 1. giải phương trình : 
Giải: 
Ta đặt : khi đó phương trình trở thành : 
Bài 2.Giải phương trình sau : 
Giải 
Đk